Integral von (4-x²)^(1/2)

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11.06.2004, 18:47	roland.lieret	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von (4-x²)^(1/2) Hallo, ich habe bei einer Integralaufgabe ein Problem. Die Aufgabenstellung ist wie folgt: $\begin{align} \Bigint_{}^.~\sqrt{4-x^2}~dx \end{align}$ Die Aufgabe soll durch Substitution gelöst werden. Ich habe das Integral durch $\begin{align} x=2\sin(u) \end{align}$ substituiert. Durch Einsetzen und Auflösen, komme ich auf folgendes Integral: $\begin{align} \Bigint_{ }^.~(2+2\cos(u))~dx \end{align}$ Wie die 2+ integriere weiß ich, aber ich komme nicht auf die Integration von 2cos (2u) . Die Lösung lautet: $\begin{align} f(x)=\frac{1}{2}(x \sqrt{4-x^2}+4* \arcsin(\frac{x}{2}))+C \end{align*}$ Kann mir einer weiterhelfen?
11.06.2004, 19:03	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fürchte, beim Substituieren ist dir ein Fehler unterlaufen. Mit $\begin{align} x=2\sin(u) \end{align}$ erhalte ich $\begin{align} \int\sqrt{4-x^2}\,dx = \int\sqrt{4-(2\sin(u))^2}\cdot(2\cos(u))\,du\\=\int 2\sqrt{1-\sin(u)^2}\cdot2\cos(u)\,du=\int 4\sqrt{\cos(u)^2}\cos(u)\,du \end{align}$ Da der Radikand 4-x^2 nur für \|x\|<=2 nichtnegativ ist, liegt u zwischen -pi/2 und +pi/2 liegen (in dem Intervall ist sin(u) streng monoton). In diesem Intervall ist cos(u)>=0, du kannst also die Wurzel aus dem Quadrat weglassen: $\begin{align} =4\int \cos(u)^2\,du \end{align}$ Das kannst du nun partiell integrieren. Gruss, SirJective
11.06.2004, 19:15	roland.lieret	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, bei $\begin{align} \Bigint_{ }^.~4(cos(u))^2~dx \end{align*}$ war ich auch schon, ich wollte das Integral umformulieren, damit ich keine partielle Integration brauche. Wahrscheinlich bin da auf einem Irrweg. Mit partielle Integration ist es machbar. Aber trotzdem Danke!
11.06.2004, 19:25	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuchs mal mit 2*cos²(x)=1+cos(2x).
11.06.2004, 19:52	roland.lieret	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich auch schon gehabt siehe ersten Eintrag 2*(1+cos(2u) Mein Problem ist: wie integriere ich cos(2u)
11.06.2004, 20:04	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
substituieren. 2u=v $\begin{align} \Bigint_{}~cos(2u)~du = \frac{1}{2} sin(2u) \end{align*}$
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12.06.2004, 07:53	roland.lieret	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo wenn ich das so mache, bzw. danach rücksubstituiere komme ich auf folgenden Part: $\begin{align} \frac{1}{2} \sin(2arcsin (\frac{x}{2}) \end{align}$ Ich weiß leider nicht wie ich das vereinfachen kann, dass ich auf diesen Ansatz der Lösung $\begin{align} \frac{x}{2} \sqrt{4-x^2} \end{align*}$ komme.
12.06.2004, 08:26	carstenroll	Auf diesen Beitrag antworten »
Hy, ich hab das über die folgende Substituion gemacht I = Int(x,sqrt(a^2 - x ^2))dx => Int(asin(t),acos(t)), acos(t) dt mit x= asin(t) Dann komme ich nach der Substituion auf 4Int(cos^2(t))dt, mit Hilfe des Theorems cos^2(x) + sin^2(x) = 1 und nach der Rücksubstituion t=arcsin(x/a) erhalte ich I= 2sin(arcsin(x/2)) * cos(arcsin(x/2) + 2 arcsin(x/2) +C, nun kann man, um auf dein Ergebniss zu kommen, den ersten Teil mit 2/2 erweitern, und kann dann für 2*cos(arcsin(x/2)) sqrt(4-x^2) schreiben. Und schon biste durch. Gruß Carsten
12.06.2004, 09:14	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \Bigint_{}~\sqrt{4-x^2}~dx = \Bigint_{}~4cos^2(u)~du =2\Bigint_{}~1+cos(2u)~du = 2(u+\frac{1}{2} sin(2u))=2(u+\frac{1}{2}2sin(u)cos(u)) \end{align}$ Substitution x = 2sin(u) Du musst dann nur noch rücksubstituieren.
12.06.2004, 14:20	roland.lieret	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn ich den letzten Ansatz von "grybl" nehme und rücksubstituiere, bekomme Ansatz: $\begin{align} (2arcsin((\frac{x}{2}))+2sin(arcsin(\frac{x}{2}))cos(arcsin(\frac{x}{2})) \end{align}$ Der erste Teil ist o.k.. Aber der zweite Teil sollte wie folgt ausschauen: $\begin{align} \frac{1x\sqrt{4-x^2} }{2} \end{align*}$ Wie kann den zweiten Teil des ersten Ansatzes umrechnen, damit ich auf die gleiche Lösung komme?
12.06.2004, 14:23	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
sin(arcsin(x/2))=x/2 cos(arcsin(x/2))= $\begin{align} \frac{\sqrt{4-x^2}}{2} \end{align}$
12.06.2004, 14:41	roland.lieret	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist echt genial "grybl". Jetzt wie du es geschrieben hast, hätte ich auch selbst darauf kommen können. Aber trotzdem, einen großen Dank an Dich
12.06.2004, 15:17	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte!

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