Beweis: Irrationalen Zahlen

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MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Irrationalen Zahlen
hallo,

die Wurzel aus 2 ist eine irrationale Zahl und in dem Buch, welches ich gerade lese, quadrieren die autoren den unten stehenden Therm.




da kommt dann folgendes raus



ich weiß aber nicht wie die darauf kommen....sprich ich kann es selbst nicht durchführen, weil ich nicht weiß wie die das quadrieren.

Kann das einer mal ausführlich als Beispiel hier posten und es erklären? des wäre sehr nett.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Quadriere zuerst einmal beide Seiten der Gleichung separat. Dabei ändert sich nichts, weil alles positiv ist. Dann multpliziere mit dem Nenner .
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

das bedeutet ...

da ich die Wurzel weg haben möchte muss ich bei a und b den Exponenten 2 hinzu schreiben und dann hole ich b^2 auf die andere Seite

damit hätte ich dann den selben Therm wie die Autoren?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Übrigens, es heisst "Term", nicht "Therm".
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

oki,

und im ganzen heißt es das die Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist da kein Bruch mit natürlichen Zahlen das Ergebniss von "Wurzel aus 2" errechnen kann?



und die Autoren schreiben dann weiter:

"Also ist a gerade und daher a^2 durch 4 teilbar. Dann ist aber auch b gerade. Dies wiederspricht der Teilerfremdheit von a,b."


das verstehe ich nicht denn da a nur eine variable ist weiß ich doch nicht ob a durch 4 teilbar ist...es müsste dort doch eine konkrete Zahl stehen, welche ich hoch 2 nehme und das Ergebniss ist entweder durch 4 teilbar oder nicht....

und dann weiß ich nicht was Teilerfremdheit ist....
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Zahlen heissen teilerfremd, wenn es ausser der 1 keine andere Zahl gibt, die beide gleichzeitig teilt.
Zum Beispiel:
2 und 9 sind teilerfremd
3 und 22 sind teilerfremd
-3 und 22 sind teilerfremd
aber 3 und 30 sind nicht teilerfremd [3 teilt 3 und 3 teilt 30]
1005 und 2010 sind nicht teilerfremd [5 teilt 1005 und 5 teilt 2010]

Mach dir klar, dass man jeden beliebigen Bruch kürzen kann. Kann man ihn nicht weiter kürzen, dann sind die Zahl im Zähler und die im Nenner teilerfremd.

Nun die Idee des Beweises:
Angenommen, ist doch eine Bruchzahl. Dann gibt es also Zahlen so, dass

Hier sind a und b nicht länger variabel. Wir nehmen an, dass wir solche Zahlen gefunden haben.
Da du oben gesehen hast, dass man jeden Bruch auch vollständig kürzen kann und das gerade bedeutet, dass der Zähler und Nenner teilerfremd sind, kann man auch gleich noch annehmen, dass es auch in diesem Fall so ist, also dass a und b teilerfremd sind.
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MikeMoeller
"Also ist a gerade und daher a^2 durch 4 teilbar. Dann ist aber auch b gerade. Dies wiederspricht der Teilerfremdheit von a,b."


Zuerst: siehe Post über mir.
Dann:

Wir nehmen also (für "wahr") an, dass Wurzel(2) = a/b ist. Durch Umformen erhalten wir 4b² = a².
Nochmal: Wir nehmen an, es gibt (teilerfremde) a und b, so dass dies gilt. Wenn dem aber so ist, dann heißt das, wenn man es einfach wortwörtlich liest, dass a² das Vierfache einer natürlichen Zahl ist (b muss ja natürlich sein, also auch b²).

Wenn eine Zahl aber das Vierfache einer natürlichen Zahl ist, dann ist sie eben auch durch vier teilbar. Und was durch vier teilbar ist, das ist auch durch zwei teilbar.
Nun wissen wir also, dass a² durch 2 teilbar ist. Überlege dir nun, dass dann aber auch bereits a selbst durch zwei teilbar sein muss.

Danach gehts vermutlich so weiter: Wenn a durch zwei teilbar ist, ist es ein Vielfaches von zwei, also a = 2k. Und dies setzt man dann ein, ...

air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich habs ein stück mehr verstanden aber wo kommt die 4 her ?

durchs Umformen etwa? Denn dann habe ich dort etwas übersehen.

wenn ich die Wurzel weg haben möchte passiert mit der 2 gar nichts und a und b bekommen den Exponenten 2 dazu.....wenn ich jetzt b^2 rüber haben möchte (auf der Seite von 2) steht na nur 2b^2....

das is noch irgendwie ne Lücke bei mir


bisher aber danke :-)
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader

Nun wissen wir also, dass a² durch 2 teilbar ist. Überlege dir nun, dass dann aber auch bereits a selbst durch zwei teilbar sein muss.


Danach hast du also, dass durch 2 teilbar ist, das heisst ist durch 4 teilbar, da .
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

ist a gerade weil der Exponent 2 also auch gerade ist?

und warum ist a 2 ? es könnte doch jede beliebige Zahl sein?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Was hat denn der Exponent damit zu tun?

Weisst du, was eine gerade Zahl ist? Wenn ja, was denn?

Kannst du dich mit der Charakterisierung von "gerade" anfreunden:
Eine gerade Zahl ist eine, die ein Vielfaches von 2 ist?

Was bedeutet das für die Teilbarkeit?

Ist 2010 gerade? Wieso?
Also kann man 2010 auch schreiben als .
Wie kann man dann schreiben?
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

nun versuch wohl mir das mit dem Exponenten zu erklären ^^^ bei der Kurvenuntersuchung kann man anhand dessen ob der Exponent gerade oder ungerade ist die Symmetrie vorraus sagen....

daher die sache mit den Exponent^^

aber das hat ja nichts damit zu tun da 2^2 = 4 ist und damit ist die 4 gerade genauso wie die 16 bei 2^3 ...

2010^2 wäre das selbe wie 2010 x 2010
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Zwischenanmerkung:

Ich war tatsächlich kurz in Gedanken. Es ist 2b² = a² gemeint. Also ist a² durch 2 teilbar, also ist auch a durch 2 teilbar usw.

air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

ja du da is es ja ^^


was ist wenn ich für a 1 einsetze ? dann is es doch nciht mehr durch 2 teilbar ^^
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dann findest du allerdings auch keine natürliche Zahl b, so dass erfüllt ist. Dass es aber ein solches Paar natürlicher (teilerfremder) Zahlen gibt ist gerade das, was wir annehmen (um es dann zum Widerspruch zu führen).

air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn a^2 durch 2 teilbar ist ...vereinfache ich mir die ganze sache und schreibe


a x a <<< das wären ja 2a und damit kann ich durch 2 teilen ?


....würde dann a rauskommen ?



...............

wenn ich für a 1 einsetze und es dann nach b auflöse bekomme ich 0.7 raus und damit ist b keine natürlich Zahl ja ?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MikeMoeller
also wenn a^2 durch 2 teilbar ist ...vereinfache ich mir die ganze sache und schreibe
a x a <<< das wären ja 2a und damit kann ich durch 2 teilen ?
....würde dann a rauskommen ?


Habe nicht den geringsten Schimmer, was du da machst oder mir mitteilen möchtest. Aber nur mal zur Vorsicht: a² ist nicht 2a.


Zitat:
wenn ich für a 1 einsetze und es dann nach b auflöse bekomme ich 0.7 raus und damit ist b keine natürlich Zahl ja ?


Na das käme für b sicherlich nicht raus, aber richtig, es ist keine natürliche Zahl. Was wir gerade eigentlich beweisen wollen, ist, dass es keine teilerfremden natürlichen Zahlen a,b gibt, so dass die Gleichung erfüllt wird.

air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

hm, also ich schreibe mal den buchtext hier rein und dann könnten wir alles nochmal punkt für punkt durchgehen....ich suche immer noch nach dem funken der den aha erffekt auslöst....doch bisher verseh ich des nicht....


hier der text


Die Zahl ist irrational. Wäre nämlich rational, so gäbe es natürliche Zahlen a, b mit . Diesen Bruch kann man als voll gekürzt annehmen, a und b sind also teilerfremd. Durch Quadrieren folgt . Also ist a gerade und daher durch 4 teilbar. Dann ist auch b gerade. Dies wiederspricht der teilerfremdheit von a,b.




das ist der komplette text ^^^
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, schön - ich kenne den Beweis.
Aber ich werde jetzt sicher keine 5 Seiten Text dazu schreiben. Insbesondere deswegen nicht, weil wir die Hälfte vom Beweis schon lang und breit erklärt haben und ich nicht einsehe, das alles nohmal durchzukauen.

Wo hängts nun also noch? Kennst du überhaupt das Verfahren des indirekten Beweises?

air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich erhlich bin nein ^^ deswegen habe ich gehofft das ich mit meinen raaren kentnisse hier schneller den sachverhalt begreife....was einfahc nicht der fall ist.

es bringt mir nicht wirklich etwas wenn ich nur bruchstücke erfahre da ich nicht in der Lage bin diese richtig zusammen zu setzen oder es braucht halt nur noch zeit ^^

ist zwar doof das ich jetzt auf soetwas einfachen rumkaue aber es wird fortschreitend nicht einfacher ^^
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Widerspruchsbeweis läuft wie folgt:
Du willst eine gewisse Aussage beweisen.
Dann nimmst du das Gegenteil an. Mithilfe dieser Annahme machst du solange weiter, bis ein Widerspruch auftritt.

Da die Annahme des Gegenteils einen Widerspruch produziert hat, kann das Gegenteil nicht richtig sein. Es muss also die ursprüngliche Aussage richtig sein.

In deinem Fall wäre es so:
Aussage: ist keine Bruchzahl.
Gegenteil: ist doch eine Bruchzahl.
Nun wird also angenommen, dass das Gegenteil richtig ist und damit ein Widerspruch konstruiert.

Deshalb sind in deinem Beweis und auch keine Variablen mehr.
Du nimmst schliesslich an, dass eine Bruchzahl ist. Da jede Bruchzahl eine ganze Zahl als Zähler und eine natürliche Zahl als Nenner hat, hat es auch . Nennen wir also den Zähler und den Nenner. Das bedeutet
. Usw.

Der Knackpunkt ist eben genau, weil man jeden Bruch vollständig kürzen kann, dass man auch diesen Bruch vollständig kürzen kann. Wenn also den vollständig gekürzten Bruch bezeichnet, dann wird mit ein paar Argumenten gefolgert, dass und beide gerade sind. Das heisst man könnte doch noch mit 2 kürzen.
Das ist ein Widerspruch dazu, dass es vollständig gekürzt war.

Es folgt, dass die Annahme, ist eine Bruchzahl, falsch gewesen ist [da sonst ein Widerspruch auftritt]. Also kann es keine Bruchzahl gewesen sein und der Beweis ist zu Ende.
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

es wird gefolgert das Zähler und Nenner gerade sind?

....wobei von vornerein gesagt wird das a/b vollständig gekürzt sein muss...


es wird doch auch noch ausgesagt das wenn a und b gerade sind diese auch durch 4 teilbar sind....was ja bedeuten wirde das man felsenfest davon ausgeht das a = 2 sein muss.

das Meine ich wie folgt....damit man a durch 4 teilen kann rchnet man die a^2 aus und setzt für a 2 ein....somit würde 4 raus kommen und diese kann weggekürzt werden.


ich frage mich nur was da passiert das man behauptet kann

"es ist gerade, also ist es durch 4 teilbar"

ansonsten danke ^^ das war hilfreich geschrieben ich seh jetzt schon klarer verwirrt :-)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du hast das Ganze immernoch nicht verstanden.

Wir nehmen an, die Aussage sei falsch, d.h., dass das Gegenteil richtig ist - und das heißt: Wir nehmen an, dass Wurzel(2) als ein Bruch a/b von zwei ganzen Zahlen a und b dargestellt werden kann.
Da man jeden Bruch vollständig kürzen kann, wollen wir annehmen, dass a/b bereits vollständig gekürzt ist - was soviel heißt wie: a und b sind teilerfremd (denn wären sie das nicht, hätten sie einen gemeinsamen Teiler und man könnte eben nochmal kürzen).

Da wir nun Wurzel(2) = a/b annehmen, stellen wir dies mal um zu 2b² = a².
Da b eine ganze Zahl ist, ist auch b² eine ganze Zahl. Also ist a² ein Vielfaches von 2 .. und eine Zahl, die ein Vielfaches von 2 ist, die ist durch 2 teilbar.
Wir wissen nun also, dass a² durch 2 teilbar ist. Wenn aber a² durch 2 teilbar ist, dann muss auch schon a durch 2 teilbar sein*.
Wenn a durch 2 teilbar ist, dann ist es aber ein Vielfaches von 2, das heißt, wir können a durch a = 2*k darstellen, wobei k eine ganze Zahl sein muss.
Setzen wir dies nun ein, dann bekommen wir:

2b² = a² = (2k)² = 4k²

und nun teilen wir durch 2:

b² = 2k²

Und nun argumentieren wir genau wie vorhin, nur andersrum: b² ist also ein Vielfaches von 2, also ist b² durch 2 teilbar. Dann ist aber auch, wie vorhin mit a schon, bereits b durch 2 teilbar.
Unter der Annahme, Wurzel(2) lässt sich mit a/b darstellen, folgt also, dass sowohl a als auch b durch 2 teilbar sind. Wir haben aber vorausgesetzt, dass a und b keinen gemeinsamen Teiler haben ... aber nun gezeigt, dass sie unter dieser Annahme eben doch einen haben müssen. Dies ist ein Widerspruch.
Da die Annahme zu einem Widerspruch der Voraussetzung führt, muss also die Annahme falsch sein. Da Wurzel(2) aber eben entweder rational oder irrational sein muss, bleibt ja nurnoch, dass sie irrational ist, nachdem wir gezeigt haben, dass sie nicht rational sein kann.

Ich hoffe, dass es nun etwas klarer ist!

*) Nimm diesen Part vorläufig bitte einfach mal als gegeben an - dass dem so ist können wir hinterher noch klären

air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

hat a=2*k etwas mit a=k*b (Allg. Form) zu tun ?


wieso ist a^2 ein vielfaches von 2?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MikeMoeller
hat a=2*k etwas mit a=k*b (Allg. Form) zu tun ?


Allgemeine Form für was?
Eine Zahl a ist (offensichtlicherweise!) genau dann durch 2 teilbar, wenn sie die Form a = 2k mit einer ganzen Zahl k besitzt. Das folgt sofort aus der Definition von Teilbarkeit - nein, das IST die Definition für Teilbarkeit.
Wenn du diese nicht kennst, warum schaust du sie nicht nacht? Sowas kann man doch erwarten, wenn du in einem Beweis mit einem dir unbekannten Begriff hantierst.

Zitat:
wieso ist a^2 ein vielfaches von 2?


Das steht ausführlicher oben, wie es ausführlicher nicht sein kann, sorry unglücklich
Es ist a² = 2b² und b² ist ganz, also ist a² das b²-Vielfache von 2, also ein Vielfaches von 2.

air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

also ich meine des wie folgt...

wen a eine ganze Zahl ist

kann a auch 1 oder 3 sein und somit nicht mehr durch 2 teilbar ^^



würde ich 1 einsetzen für a und dies ausrechnen...


|quadrieren

dann hätten wir bloß die 1

1 ist eine ganze Zahl aber nicht durch 2 teilbar ^^ erweitert man das dann mit diesem k das vertretend für alle reellen Zahlen steht ..also

1*k und setzt dafür jetzt etwas ein wie z.B. 2 oder 3 ist dies auch nicht durch 4 teilbar ^^

es wäre erst wiede teilbar wenn man für k 4 einsetzen würde ^^

(so mein ich des verwirrt )
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir aber auch nicht einfach irgendein a wählen, denn wir sprechen ja von ganz bestimmten a und nicht von irgendeinem beliebigen!
Wir nehmen die Existenz solcher Zahlen an, die unsere Gleichung erfüllen und folgern dann, dass WENN sie existieren, sie diese Eigenschaft haben MÜSSEN.

Das ist eine Folgerung, also ein zwingendes Resultat der Annahme. Wenn du nun ankommst und einfach a=1 in den Raum wirfst, ist dies völlig unmotiviert. Warum sollte es auch a=1 sein? Das behauptet ja auch kein Mensch. Dass a=1 die Gleichung nicht löst ist doch klar.

Edit:
Im Übrigen redet hier auch kein Mensch mehr von Teilbarkeit durch 4. Das wird für den Beweis garnicht benötigt.


air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

ich will mal mit diesem weg einfach ne rationale Zahl beweisen ....0,5


ich nehme an das es einen Bruch gibt der 0.5 entspricht

also stelle ich beides gegenüber

0.5 =

a und b sind schon vollständig gekürzt was bedeutet das sie teilerfremd sind....a ist eine ganze Zahl und b eine natürliche (0 ausgeschlossen)

ich löse auf und danach habe ich 0,5b = a

ich setze jetzt für a eine beliebige natürliche Zahl ein....z.B 1 (hier meine ich wirklich beliebig)

stelle um udn rechne aus...es wird a 0,5 heraus kommen...diess setze ich wieder ein und errechne b...welches sich bestätigen wird da ich ja 1 eingesetzt habe.

und anhand des errechneten wäre es mein beweis das 1/2 rational ist oder?


------------------


mom. stimmt das das 0.5 quasi irrational ist weil diese dezimalzahl nicht periodisch verläuft ?....ähm ich meins andersherum 0.5 ist ja periodisch weil ab der 2 kommastelle nur noch 0en kommen
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch nun etwas Grundverschiedenes.
Hier müssen wir ja nur ein einziges(!) Paar (a,b) angeben, so dass es erfüllt ist.
Beim Widerspruchsbeweis dagegen wollen wir dies ja falsifizieren, d.h., wir müssen zeigen, dass es kein Paar gibt, dass also jedes beliebige(!) zu einem Widerspruch führt (es ist also eine Aussage, die sich auf unendlich viele Zahlen bezieht).

Und dass 1/2 rational ist, das ist nicht zu zeigen, denn 1/2 ist schon die eigene Darstellung mit 1=a und 2=b.

air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

wäre dann ne rationale zahl?

ich würde auch wieder umschreiben





a = (ich wähle die 1)

löse auf nach a für des 1.73 heraus kommt....mach dies nach b wofür ich wieder 1 hinbekomme und setze dies in meinen bruch ein

bekomme also 1,73 heraus und diese zahl ist dann periodisch also meine Wurzel 3 rational ???
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

1. Wenn du a=1 wählst, wie soll denn dann a = 1.73... rauskommen? Das ist doch Quatsch
2. In diesen Dingen haben solche Schlampereien wie gerundete Dezimalzahlen nichts zu suchen - das ist Mathematik, eine exakte Wissenschaft!
3. Schaue bitte nach, was eine rationale Zahl eigentlich ist, denn offensichtlich weißt du das nicht unglücklich

Mein Tipp ist, dass du dich mit (Schul-)Grundlagen beschäftigst. Wenn du nicht weißt, was eine rationale Zahl ist, dann schaue dir das bitte erst an, bevor du daran irgendwas rumbeweisen willst. Das würde viel unnötige Arbeit ersparen.

Edit: Selbiges gilt für alle anderen Begriffe wie Teilbarkeit und dergleichen auch.

air
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

1. sry ich meine b ^^

2. habs nur schnell im TR gemacht

3. ich werde die ganzen Grundarten nochmal auffrischen ^^ damit da etwas routine udn auch mehr richtigkeit rein kommt




ich hab mir den Beweis aber nochmal angeguckt udn will nochmal nen versuch starten....ich glaub ich habe jetzt begriffen warum wir fest sagen das a gerade ist und durch 2 teilbar...

im Beweis steht folgendes (es geht wieder um die Wurzel aus 2)



hole ich die 2 rüber auf die Seite von a steht dort ja wortwörtliche

...a hoch 2 geteilt durch 2...

und an dem punkt muss ich mir jetzt sagen das a gerade ist also durch 2 teilbar...
richtig?

jetzt kommt nen Gedankengang von mir:

im idealsten fall könnte a also 2 sein....2 ist durch 2 teilbar und außerdem wenn man 2 quadrieren würde kommt 4 heraus...somit könnte man dies auch durch 4 teilen

^^ ich musste die 4 nochmal ins spiel bringen weil ich nicht weiß warum es durch 4 zu teilen geht...

2 teil....-----------------

denn desweiteren wird der beweis weiter geführt:

a=2k

und weiter...dann ist

a^2 = 4k^2

wobei sich eingesetzt

2n^2 = 4k^2 ergibt

jetzt muss ich wenn ich auf die beiden ersten Schritte gucke plump feststellen das aus 2k 4k wird....aber nur im zusammenhang das k und a einen Exponenten (2) bekommen haben....dafür gibts doch sicher nen logischen hintergrund...und den wüsste ich gerne
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hole ich die 2 rüber auf die Seite von a steht dort ja wortwörtliche

...a hoch 2 geteilt durch 2...


So kannst du das natürlich auch sehen: Da wird a² durch 2 geteilt und links steht per Voraussetzung eine ganze Zahl, also muss a² durch 2 teilbar gewesen sein. Das ist das selbe in Grün, aber ja, stimmt.

Zitat:
im idealsten fall könnte a also 2 sein....2 ist durch 2 teilbar und außerdem wenn man 2 quadrieren würde kommt 4 heraus...somit könnte man dies auch durch 4 teilen


Ehm ... ja. Ich weiß nun nur nicht, was du mir damit sagen wolltest (?)

Zitat:
^^ ich musste die 4 nochmal ins spiel bringen weil ich nicht weiß warum es durch 4 zu teilen geht...


Jede Quadratzahl ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl selbst schon durch 2 teilbar war. Also wenn a durch 2 geteilt wird, dann wird a² durch 4 geteilt.
Warum dem so ist? Wenn, dann klären wir das bitte, nachdem der eigentliche Beweis klar ist - sonst wirds chaotisch.

Und zur restlichen Frage:
Wir haben gefolgert, dass a durch 2 teilbar sein muss. Eine durch 2 teilbare Zahl lässt sich (trivialerweise) als ein Vielfaches durch 2 darstellen. In diesem Fall stellen wir es als das k-te Vielfache dar, indem wir a = 2k mit einer passenden ganzen Zahl k setzen.

Dies setzen wir nun einfach in unsere Gleichung ein. in a² eingesetzt ergibt dies a² = (2k)² = 4k². Wo genau fehlt dir da nun der logische Grund?

air
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