Integral berrechnen....

29.01.2010, 09:49

Heinz-Dieter

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Integral berrechnen....

Hallo,
ich habe ein paar Integrale zu lösen. Könnt ihr mir Ansätze geben? Ich bin in der Wiederholung noch nicht so weit und brauch die Lösungen dringend. Der Übersicht halber mache ich für jede Aufgabe einen Thread auf. Danke für jede Hilfe:

Lösen sie folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \!\frac{4e^3x}{(e^2x-2e^x+1)(e^x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

29.01.2010, 09:56

klarsoweit

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RE: Integral berrechnen....
Vermutlich ist $\begin{eqnarray*} \int~\frac{4e^{3x}}{(e^{2x}-2e^x+1)(e^x+1)} \, dx \end{eqnarray*}$ gemeint.

Nun, was stört? Offensichtlich das e^x . Also was substituiert man?

29.01.2010, 10:16

Heinz-Dieter

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offensichtlich das e^x Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber wie vereinfache ich vorher den term? bzw. wie genau substituiere ich dann?

29.01.2010, 10:16

whatever123

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Wenn du e^x substituierst bekommst du als
dx = dt / e^x
und das kürzt sich nicht raus. Also wie hier substituieren?

29.01.2010, 10:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Heinz-Dieter
aber wie vereinfache ich vorher den term?

Gar nicht.

Zitat:

Original von Heinz-Dieter
wie genau substituiere ich dann?

So wie es die Regel sagt.

@whatever123: ich kümmere mich vorerst nur um die Fragen des Threaderstellers. Wenn dann noch Fragen offen sind, bist du an der Reihe.

29.01.2010, 10:20

Heinz-Dieter

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es tut mir leid, wenn das so rüber kommt, wie ihr das beschreibt, aber ich versuche das gerade echt selber zu lösen. hab skripte und papula hier liegen aber kann da wirklich nicht mit um...Danke trotzdem für Hilfe

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29.01.2010, 10:24

Heinz-Dieter

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also ich hab jetzt substituiert:

u=e^x dx=du/e^x

wie genau setze ich jetzt u in das Integral ein, wenn ich z.b wie im Zähler e^3x habe

29.01.2010, 10:30

auch mal da

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Zitat:

Original von whatever123
Wenn du e^x substituierst bekommst du als
dx = dt / e^x

@ whatever
dt=e^x dx, das klappt doch super!!!

Du hast also auch noch was gelernt!!! unglücklich

unglücklich

29.01.2010, 10:30

klarsoweit

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Potenzregel 10. Schuljahr: $\begin{eqnarray*} e^{3x} = (e^x)^3 \end{eqnarray*}$

Es kommt eben in Mathe immer wieder alles vor. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.01.2010, 10:32

auch mal da

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@ klarsoweit,

sry, neuerdings 9. Schuljahr in fast allen BL

29.01.2010, 10:39

Heinz-Dieter

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gut danke, das verstehe ich...

habe dann jetzt:

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{4u^3}{(u-1)^2(u+1)} \, du/e^x \end{eqnarray*}$

aber jetzt stört mich das e^x doch immernoch oder?

29.01.2010, 10:44

klarsoweit

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unglücklich

Aber wie du das e^x substituiert hast, weißt du noch? Also was kann man für e^x schreiben?

29.01.2010, 10:45

Heinz-Dieter

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ok, das wusste ich nicht, dass man da dann auch u schreiben darf...

29.01.2010, 11:20

Heinz-Dieter

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habe hier jetzt:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{4u^2}{(u-1)^2(u+1)} \, du \end{eqnarray*}$

29.01.2010, 11:22

klarsoweit

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OK. Die Integration einer gebrochen rationalen Funktion sollte nun kein Problem sein. smile

smile

29.01.2010, 14:41

Heinz-Dieter

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ich habe jetzt mit einer Partialbruchzerlegung erhalten:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{6}{(u-1)}-\frac{2}{(u-1)^2} -\frac{4}{(u+1)} \, dx \end{eqnarray*}$

Wie genau löse ich das jetzt weiter und wann muss ich resubstituieren?

29.01.2010, 15:12

klarsoweit

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Zum einen muß es am Ende "du" heißen, zum anderen solltest du die Stammfunktionen dieser fast schon elementaren Integrale kennen. Zur Not mußt du dann eben noch v = u - 1 bzw. v = u + 1 substituieren. Und rücksubstituieren machst du erst ganz am Ende, wenn du von allem die Stammfunktionen hast.

Abgesehen davon ist wohl etwas mit der Partialbruchzerlegung schief gegangen. Rechnen wir mal nach:

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{(u-1)}-\frac{2}{(u-1)^2} -\frac{4}{(u+1)} = \frac{6(u^2-1)}{(u-1)^2 (u+1)} - \frac{2(u+1)}{(u-1)^2 (u+1)} - \frac{4(u^2-2u+1)}{(u-1)^2 (u+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{6u^2-6-2u-2-4u^2+8u-4}{(u-1)^2 (u+1)} = \frac{2u^2+6u-12}{(u-1)^2 (u+1)} \end{eqnarray*}$

29.01.2010, 16:25

Heinz-Dieter

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Danke, Fehler gefunden...
Hoffe ich komme jetzt auf die Aufleitungen

29.01.2010, 16:39

Heinz-Dieter

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$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{2}{(u-1} +\frac{2}{(u-1)^2} +\frac{4}{(u+1)} \, dx = 2log(u-1)+2/(x-1)+4log(x+1) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Kann ich das noch weiter vereinfachen oder jetzt resubstituieren?

Danke

29.01.2010, 17:01

Heinz-Dieter

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sorry, die x sind natürlcih u

30.01.2010, 16:08

klarsoweit

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Rechnen wir wieder nach:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{u-1} +\frac{2}{(u-1)^2} +\frac{4}{(u+1)} = \frac{2(u^2-1)}{(u-1)^2 (u+1)} + \frac{2(u+1)}{(u-1)^2 (u+1)} + \frac{4(u^2-2u+1)}{(u-1)^2 (u+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2u^2-2+2u+2+4u^2-8u+4}{(u-1)^2 (u+1)} = \frac{6u^2-6u+4}{(u-1)^2 (u+1)} \end{eqnarray*}$

Das ist es offensichtlich auch nicht. traurig

traurig

30.01.2010, 16:30

Heinz-Dieter

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finde den fehler nicht... :

also x1= 1 is zweifache nullsteller vom nennerpolynom

x2=-1 einfache NST

daraus folgt doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{4u^2}{(u-1)^2(u+1)} = \frac{A}{(u-1)} +\frac{B}{(u-1)^2} +\frac{C}{u+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4u^2=A(u-1)(u+1)+B(u+1)+C(u-1)^2<br /> 4u^2=Au^2-a+Bu+B+Cu^2-2Cu+C<br /> 4u^2=(A+C)u^2+(B-2C)u+(B-A+C)<br /> \end{eqnarray*}$

Da erhalte ich dann mitm Koeffizientenvergleich:

A+C=4
B-2C=0
B-A+C=0

und mit dem Additionsverfahren komme ich auf meine Lösungen, habe es jetzt mehrmals nachgerechnet

30.01.2010, 16:35

klarsoweit

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Laut deinem letzten Beitrag müßte A=2, B=2 und C=4 sein. Und diese Werte erfüllen definitiv nicht die Gleichungen.

30.01.2010, 16:44

Heinz-Dieter

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scheiße habs falschrum aufgeschrieben:

A=2
B=4
C=2

das is doch richtig oder?

30.01.2010, 16:47

Heinz-Dieter

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Zitat:

Original von Heinz-Dieter
$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{2}{(u-1} +\frac{2}{(u-1)^2} +\frac{4}{(u+1)} \, dx = 2log(u-1)+2/(x-1)+4log(x+1) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Kann ich das noch weiter vereinfachen oder jetzt resubstituieren?

Danke

natürlich jetzt die 2 und 4 vertauschen, aber stimmt die Stammfunktion?

Wie kürzen sich die ln mit den e^x raus, was ich für u resubstituiere

30.01.2010, 16:55

Heinz-Dieter

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hab schon wieder meinen fehler gefunden, ich werd wahnsinnig

30.01.2010, 17:01

Heinz-Dieter

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A=3
B=2
C=1

so jetzt setze ich das genauso oben ein und stimmt die Vorgehensweise für die Stammfunktion dann? und gleiche frage, wie kürzen sich ln und e^x dann raus?

Kannst du mir bei dem vierten Integral auch noch helfen?
DANKE TROTZ DER UMSTÄNDE

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