Mächtigkeit zweier Mengen und deren Darstellung

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migrosch Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeit zweier Mengen und deren Darstellung
Hallo zusammen,

ich soll herausfinden, ob die beiden Mengen gleichmächtig sind.

Menge A = R x Z (Produktmenge der reellen Zahlen und ganzen Zahlen)
Menge B = Q x Z (Produktmenge der rationalen Zahlen und reellen Zahlen)

Desweiteren wird gefragt, was A und B geometrisch darstellen.

ich habe keinen nenneswerten ansatz gefunden, diese aufgabe zu lösen. vielleicht ist es möglich, mir einen tipp zu geben, damit ich mich schritt für schritt an die lösung heranarbeiten kann.

vielen dank schonmal
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine kartesischen Produkte stimmen nicht mit der Beschreibung im Text überein. Um welche Mengen geht's ?
 
 
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm da hab ich mich vielleicht blöd ausgedrückt....hier mal die komplette aufgabenstellung:
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht "blöd ausgedrückt" sondern falsch abgeschrieben. Du hast geschrieben B=QxZ, gemeint hast du B=QxR .

Gleichmächtig sind Mengen die A und B genau dann, wenn es eine Bijektion f:A-->B gibt.
Glaubst du dass sie gleichmächtig sind, dann konstruiere eine Bijektion.
Glaubst du, dass sie nicht gleichmächtig sind, dann beweise, dass es keine Bijektion gibt.

Zur Vorbereitung : sind N, Z, Q, R gleichmächtig oder nicht oder wie oder was ?
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja, danke ist mir nicht aufgefallen unglücklich

N,Z,Q sind gleichmächtig, aber R ist mächtiger als N,Z,Q !

ich müsste sozusagen die Menge A nach R umstellen und dieses Ergebnis dann in Menge B einsetzen, damit ich eine Bijektion von A auf B habe, oder?

nächste frage: wie stell ich denn A nach R um?!?!?
ist es möglich, das es R = A/Z ist?

weitere Gedanken:

R x Z = { (r,z) : r € R , z € Z}

==>

===> r = Originalelement & z = Bildelement.

Menge aller r = Definitionsbereich
Menge aller z = Wertebereich

==> bei A sind allen Elementen aus R ein oder mehrere Elemente aus Z zugeordnet

==> bei B sind allen Elementen aus Q ein oder mehrere Elemente aus R zugeordnet

---> R ist mächtiger als Q oder Z
---> somit ist bei A: einem R werden mind. 1 Z zugeordnet
---> B: einem Q werden mind. 1 R zugeordnet

aber was kann ich damit anfangen?
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm

ich hab ne idee.(bezieht sich auf die größen der mengen!)

ich weiß das R > Z ist ( da R ja mächtiger als Z ist, ist die R >Z )

Q< R, da R mächtiger als Q

Z und Q gleichmächtig, somit Z = Q (z ist gleichmächtig mit q)

===> R>Z = A
===> R>Q = B
Z=Q ---> A=B...die beiden Mengen sind gleichmächtig!

Sie stellen beide eine Ebene im Koordinatensystem dar, oder?
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

ach das sollte auch nicht viel zur lösung beitragen, da ich das Kartesisches Produkt nicht beachtet habe....ich hab einfach für das x ein relationszeichen eingesetzt, was so leicht nicht möglich ist(denke ich)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da du nun vermutest, dass aus N, Z, Q gleichmächtig folgt A=ZxR, B=QxR gleichmächtig, brauchst du für einen ordentlichen Beweis nur noch eine Bijektion f:A-->B angeben.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke du hast dich etwas verschrieben:
A=RxZ.....!

ansonsten hab ich folgendes mir gestern abend/nacht überlegt:

A=RxZ
B= QxR

Q,Z sind gleichmächtig

-->XxY{(x,y) x€ X, y € Y)

----> A = (r,z)
----> B = (q,r)

------
z = f(r)
r= f(q)

---> z=f(f(q))
jetzt weiß ich nicht weiter, da es alles nur vermutungen sind, die ich hier anstelle!
ich versuche die formel weiter aufzulösen(sicherlich mit recht fraglichen mitteln)

==> f(z)^-1 = f(q)
z^-1 = q

1/z = q <------ das wäre mein Endergebnis des Beweises der Bijketion von A auf B
=====

ich denke es ist falsch, aber damit zeig ich eigentl, das ich davon nicht viel ahnung habe, es aber trotzdem versuche, so gut wie möglich zu verstehen unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich nicht verschrieben, das war Absicht, denn eine Bijektion g:RxZ-->ZxR lässt sich leicht angeben durch g(r,z):=(z,r). Das war nicht nur Absicht, sondern sogar ein Hinweis für dich, dass du nur noch die Bijektion f:ZxR-->QxR konstruieren musst.

Wenn du weisst, dass Z und Q gleichmächtig sind, weisst du sicher auch (oder liest es irgendwo nach), dass das Diagonalverfahren d:Q-->Z eine Bijektion der rationalen auf die ganzen Zahlen liefert.

Wie wäre es jetzt mit ? Sieht für mich nach einer prima Bijektion aus. Augenzwinkern

Dein Ansatz muss falsch sein, weil f nicht auf R oder Q definiert werden kann, sondern auf dem kartesischen Produkt A=RxZ .
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen dank dafür.

leider versteh ich es nicht.

du sagst:

g:RxZ-->ZxR lässt sich leicht angeben durch: g(r,z):=(z,r)

Annahme:

R={-1,5 ; 5 ; 10}

Z ={-1; 3 ; 7}

dann ist
RxZ ={ (-1.5 , -1 ); (-1.5 , 3) ; (-1.5 , 7); (5 , -1); (5 , 3); (5 , 7); (10, -1); (10 , 3); (10 , 7); }

und

ZxR ={ (-1 , -1.5 ); (-1 , 5) ; (-1 , 10); (3 , -1.5); (3 , 5); (3 , 10); (7, -1.5); (7 , 5); (7 , 10); }

aber die beiden Kreuzmengen sind doch verschieden! zwar haben sie die gleiche Mächtigkeit, aber voneinander verschiedene Elemente bzw Elementpaare)

oder seh ich hier was falsch?
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

|N| ist die Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) in der Menge.

A = R x Z = |R| mal |Z|
B = Q x R = |Q| mal |R|

Da R in beiden Mengen als "Faktor" vorkommt und Z und Q gleichmächtig sind, müsste ja dann A und B auch gleichmächtig sein.

könnte man es so beschreiben?
die lösung habe ich von einem freund, allerdings weiß ich nicht, ob es dem prof. gefallen würde.

wenn |Z| = |Q| dann könnt ich doch Z & Q vertauschen!

sprich
A= R x Z
B = Q x R

---> Q = Z ---> A =RxQ ; B = Z x R ==>A = B

oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von migrosch
R={-1,5 ; 5 ; 10}

Z ={-1; 3 ; 7}

dann ist
RxZ ={ (-1.5 , -1 ); (-1.5 , 3) ; (-1.5 , 7); (5 , -1); (5 , 3); (5 , 7); (10, -1); (10 , 3); (10 , 7); }

und

ZxR ={ (-1 , -1.5 ); (-1 , 5) ; (-1 , 10); (3 , -1.5); (3 , 5); (3 , 10); (7, -1.5); (7 , 5); (7 , 10); }

aber die beiden Kreuzmengen sind doch verschieden! zwar haben sie die gleiche Mächtigkeit, aber voneinander verschiedene Elemente bzw Elementpaare)

oder seh ich hier was falsch?


Und ob... Es hat doch nie jemand behauptet, dass die Mengen gleich sind. Es wurde behauptet, dass sich eine Bijektion angeben lässt.


Was du in deinem letzten Beitrag schreibst, ist fast komplett unbrauchbar. Außer, ihr rechnet bereits schon mit Kardinalzahlen und habt gewisse Rechenregeln bewiesen. Dann darfst du sie auch benutzen. Wenn dies allerdings nicht der Fall ist, musst du mit Bijektionen arbeiten.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich versuch's mal anders:

|N| = |Z| = |Q| < |R|

soll heißen: die natürlichen, die ganzen und die gebrochenen Zahlen sind gleichmächtig und die reellen Zahlen sind mächtiger als diese!

A=RxZ = |A|=|RxZ|=|R|*|Z|
B=QxR = |B|=|QxR|=|Q|*|R|

da |Q|=|Z| --> |A|=|R|*|Q| =|B|

warum soll denn das unbrauchbar sein?

ich kann leider mit der Bijektion hier nichts anfangen!
aber für eure hilfe wäre ich sehr dankbar
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von migrosch
ich kann leider mit der Bijektion hier nichts anfangen!


Dann solltest du damit anfangen. Entschuldige, aber die Aufgabe ist nahezu trivial.

Übrigens ist natürlich
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi


Übrigens ist natürlich


ich habe doch nie gesagt, dass ist

ich habe lediglich gesagt, dass die Anzahl der Elemente aus A=RxZ durch multiplikation der Anzahl der Elmente aus R mit Z zustande kommt, oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von migrosch
Zitat:
Original von WebFritzi


Übrigens ist natürlich


ich habe doch nie gesagt, dass ist


Nein, das hast du nicht. Aber du hast gesagt, dass A = |A| ist. Und das ist falsch. Und bevor du das jetzt leugnest, lies dir nochmal genau durch, was du geschrieben hast.


Zitat:
Original von migrosch
ich habe lediglich gesagt, dass die Anzahl der Elemente aus A=RxZ durch multiplikation der Anzahl der Elmente aus R mit Z zustande kommt, oder?


Ist natürlich schlecht, wenn die Anzahl der Elemente jeweils Unendlich ist. Und dass Unendlich nicht gleich Unendlich ist, solltest du wissen.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

A=RxZ = |A|=|RxZ|=|R|*|Z|

das sieht für mich nicht so aus, als hätte ich geschrieben A=|A|

wenn ich das gemeint hätte, dann würde ich doch schreiben:

A=RxZ=|A| und nicht |A|=|RxZ|, oder seh ich das mal wieder falsch?

ich weiß das unendlich nicht gleich unendlich ist!!!

aber durch
|N|=|Q|=|Z| <|R| sollte das auch klar sein!

damit sage ich doch, dass die Ahnzahl der Elemente aus N, Q, Z gleich ist, aber kleiner als R ist!

somit kann ja |N| = infinity sein und R wäre dann immernoch größer!
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du schreibst, dass 4 = 2+2 = 3+1, dann leugnest du 4 = 3+1?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von migrosch
A=RxZ = |A|=|RxZ|=|R|*|Z|

das sieht für mich nicht so aus, als hätte ich geschrieben A=|A|


Du willst mich wohl veräppeln. Aus A = RxZ = |A| folgt nunmal trivialerweise A = |A|.


Zitat:
Original von migrosch
wenn ich das gemeint hätte, dann würde ich doch schreiben:

A=RxZ=|A|


Das hast du doch aber (s.o.). unglücklich


Zitat:
Original von migrosch
ich weiß das unendlich nicht gleich unendlich ist!!!

aber durch
|N|=|Q|=|Z| <|R| sollte das auch klar sein!


Nein, ich fürchte, dir ist das ganze noch viel zu unklar. Du interpretierst |Z| < |R| damit, dass in Z weniger Elemente enthalten sind als in R. Aber das ist Unfug, denn in beiden sind unendlich viele Elemente enthalten. Man sagt: "Die Mächtigkeit von Z ist kleiner als die von R". Das muss man aber auch erstmal definieren, und genau das tut man mithilfe von Bijektionen. Der obige Satz bedeutet, dass es keine Bijektion zwischen Z und R gibt. Zwei Mengen haben per Definition die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. Eine solche musst du für deine vorliegenden Mengen angeben. Entweder du machst das jetzt oder du lässt es ganz. Aber hör auf mit diesem metamathematischen Gefasel. Augenzwinkern
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich denke ich habe verstanden, wo ich meinen fehler gemacht habe.

ich habe einfach die Mächtigkeit von unendlichen Mengen mit der Anzahl der Elemente gleichgesetzt, was ich (leider) nicht einfach so machen kann.

wie kann ich denn nun eine Bijektion von R auf Z machen?
dazu fehlt mir anscheinend das verständnis.

ihr haltet mich bestimmt für dumm, aber es ist für mich leider nicht so einfach, mich in solche gedankengänge reinzudenken.
dies muss ich aber und kann es nicht einfach so sein lassen.

ich hoffe auf eure hilfe unglücklich

ist äußerst schwierig zu verstehen.
zumal die mengen N,Z,Q ja weniger mächtig als R sind, dachte ich es so wie von mir beschrieben, lösen zu können
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ein Problem. Du glaubst Z und R sind nicht gleichmächtig. Das stimmt, aber es hat keinen Sinn, das oder sonst etwas in der Mathematik zu glauben, was man nicht beweisen kann. Eine symbolische Schreibweise |Z|<|R| bringt dich überhaupt nicht weiter, das zeigt nur, dass du glaubst, Z und R sind nicht gleichmächtig. Und das ist dein Problem.

Du kommst aus diesem Problem nur raus, wenn du dich auf die Definition von gleichmächtig einlässt, und die haben wir dir nun oft genug gegeben. Zwei endliche Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn sie gleichviele Elemente enthalten. Zwei beliebige Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
[
wie kann ich denn nun eine Bijektion von R auf Z machen?
dazu fehlt mir anscheinend das verständnis.


Das kannst du nicht, da Z und R nicht gleichmächtig sind.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

gut, besser gesagt, ich muss zeigen, dass es eine Bijektion von A auf B existiert, damit ich sagen kann, ob beide gleichmächtig sind.

soviel hab ich verstanden.

nur leider weiß ich nicht, wie ich anfangen soll!

A = RxZ ==> X x Y = {(x,y):x€X, y€Y) ==>

A= RxZ = {(r,z): r€R, y€Z}

ist dann nicht f(r) = z

und für B

f(q) = r

stimmmt das soweit?

falls es nicht stimmt, wie kann ich denn dann anfangen?
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von migrosch
A = RxZ ==> X x Y = {(x,y):x€X, y€Y) ==>
A= RxZ = {(r,z): r€R, y€Z}
ist dann nicht f(r) = z
und für B
f(q) = r
stimmmt das soweit?
falls es nicht stimmt, wie kann ich denn dann anfangen?


Ach du meine Güte...

Ich glaube, ich mache dir ein Beispiel.

.
.

Z.b. ist und .

Nun eine offensichtliche Bijektion zwischen V und W:
Daraus kombiniert man: .
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

ok

ich habe deinen beitrag gelesen und mir folgendes gedacht: verwirrt

A=RxZ
B=QxR

Z-->Q : z=>1/q

somit:

A-->B : (r , z)->(1/q , r)

ich hoffe das stimmt nun langam mal unglücklich

falls ja, dann hab ich mich richtig dummm angestellt und möchte mich bei allen für ihre mithilfe bei der arbeit an meiner mathematischen unverständlichkeit bedanken!

sollte es jedoch falsch sein, nehme ich gern eure rügen entgegen und gelobe besserung
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Z-->Q : z=>1/q


Was machst du da bloß? Was soll denn bitte q sein? Das wäre allenfalls eine Funktion, die alles auf denselben Wert abbildet. Wie soll das denn bijektiv sein? Und selbst wenn du z -> 1/z meinst, welches z bildet dann auf 2/3 ab?
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer

seh ich ja ein....nur leider seh ich keine möglichkeit, meine beschränktheit in dieser sache aufzulösen.

ich finde keine bijektion von Z auf Q.

jedenfalls wüsste ich nicht, wie ich das machen kann
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von migrosch
ich finde keine bijektion von Z auf Q.


Ist denn eine explizite Darstellung gefordert? Du weisst ja angeblich schon, dass Z und Q gleichmächtig sind, das bedeutet es existiert irgendeine bijektive Abbildung dazwischen. Die benennst du irgendwie und benutzt sie für die Bijektion zwischen A und B. Und genau das hat Elvis schon zu zeigen versucht.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

naja was heißt ich weiß es. ich hab es nachgelesen...bewiesen hab ich es nicht, aber um das in einer klausur zu beweisen, bräuchte ich zu lange(mal abgesehen davon das ich an dieser aufgabe schon tage hänge)

eine explitite darstellung ist nicht gefordert

also wenn ich deine schritte nachvollziehe, dann mach ich das so:

A= RxZ
B= QxR

Z-->Q : z=f(q) oder seh ich das falsch? das wäre die bijektion von Z auf Q

und dann müsst ich deine schritte weiterverfolgen
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Notation ist sehr verwirrend. Aber sei f mal eine bijektive Funktion von Z nach Q. Dann weiter.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, warum ist sie verwirrend. wie würdest du es denn schreiben?

naja weiter würde es doch so gehen:

A-->B : (r , z)->(f(q) , r) ,oder ?
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Was für ein q denn schon wieder? unglücklich
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

damn, ich blick nicht mehr durch unglücklich
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst wohl ganz vorne anfangen. Anscheinend weisst du nichtmal, wie man eine Abbildung definiert.
Die Abbildungsvorschrift der Quadratfunktion f von R nach R wird mit notiert, oder als . Was soll denn f(x) = q bzw. heißen? Wie sähe diese Funktion aus?
Das sind doch Sachen, die man in der Schule in der Mittelstufe macht.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

aha.

ich geb's auf!

ist mir echt zu verwirrend.
zum glück bin ich nicht der einzigste, der es nicht versteht. meine ganze seminargruppe steht anscheinend auf dem schlauch.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah.

f(x) = x²
f(1) = 1
f(2) = 4
f(3) = 9

g(x) := q
g(1) = q
g(2) = q
g(3) = q

Immer q. Ist das bijektiv?
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

nein q ist nicht bijektiv
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, ich habe gehofft, irgendwann würde der Groschen fallen.
Übrigens ist q weder bijektiv noch ist es nicht bijektiv. Bijektivität ist eine Eigenschaft von Funktionen, die Frage war also eher, ob g bijektiv ist.
Ich weiss nicht, wie ich es noch besser erklären soll.

Sorry.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

naja g ist nicht bijektiv, weil jeder funktionswert demselben q zugeordnet wird
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