Poisson Prozess

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App19 Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson Prozess
Hallo zusammen

Ich sitze wieder vor einer Aufgabe und drehe mich im Kreis. Vielleicht hat einer von Euch eine gute Idee: Also, ich muss in einem Amt zwei Büros nacheinander aufsuchen. Bei meiner Ankunft befindet sich bereits eine Person im ersten Büro, während das zweite Büro leer ist. Die Bearbeitungszeit im ersten Büro ist exponentialverteilt mit und im zweiten Büro ebenfalls exponentialverteilt mit . Beide Bearbeitungszeiten sind voneinander unabängig voneinander. Nun soll man
(a) die erwartete Zeitdauer bestimmen, bis man aus dem ersten Büro wieder herauskommt sowie die Varianz
(b) die erwartete Dauer des Aufenthaltes im Amt und ihre Varianz.

Zu (a) habe ich mir gedacht, dass man ja zunächst warten muss (Zufallsvariable X1) und dann eigentlich "bearbeitet" (Zufallsvariable X2)wird. D.h. man hätte als Summe X1 und X2 von eponentialverteilten ZV eine Gammaverteilung mit Parametern n=2 und . Und man nudelt das Standardprogramm durch.

Bei (b) funktioniert das natürlich nicht mehr so schön. Kann mir einer sagen, wie ich in diesem Fall die Dichte herleite.

... vielleicht war ja das der Geistesblitz: Mittels Faltung der beiden Exponentialverteilungen komme ich zumindest auf



Kann das stimmen?

Vielen Dank!
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu a) stimmen deine Überlegungen. Das geht allerdings nur, weil deine Bearbeitungszeit exponentialverteilt ist (siehe Gedächtnislosigkeit). Sonst müsstest du noch wissen, wie lange die Person bereits bedient wird, so ist es egal.

Wie sieht es bei b) aus, können da Leute vor dir hin oder nur die eine Person, die im 1. Zimmer ist oder niemand?

Du willst ja nur EW und Var berechnen, da brauchst du keine Dichte etc.
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Royal Tomek

Vielen Dank... Kann mich leider erst heute wieder melden...

Ins Büro 2 kann nur die eine Person vor mir rein. Sonst gibt es keine "Wartenden". Ich denke man muss schon einmal unterscheiden, ob
. Sofern doch man im zweiten Büro schneller ist als im ersten, komme ich ja dem anderen Kunden nicht mehr in die Quere, oder?

Besten Dank für Deine Hilfe.
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

damit ich mal die Angabe zu b) richtig verstehe. Im Büro 1 ist mal irgendjemand und du wartest, bis der fertig ist. Wenn er fertig ist geht er auf jeden Fall zum Büro 2 und sonst ist aber niemand beim Büro 2!?

Das heißt, dass wenn wir im Büro 1 fertig sind, wir entweder sofort ins Büro 2 können (wenn der vor uns bereits fertig ist) oder warten müssen, bis er fertig wird.

Interpretiere ich alles richtig? Falls nein, korrigier mich bitte.
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und Guten Morgen

Du interpretierst absolut richtig smile .

Bisher habe ich das so gemacht. Ich komme zum ersten Büro und muss erst einmal warten und wird mein Anliegen bearbeitet. D.h. die Wartezeit und Bearbeitungszeit ist exponentialverteilt. Damit gilt, dass die Gesamtzeit bis zum Verlassen des ersten Büros Erlang-n- verteilt ist (Erlang-n-Verteilung als Spezialfall der Gamma-Verteilung). Und man erhält den Erwartungswert swie Varianz der Erlang-n-Verteilung.

Sofern die Bearbeitungszeit nun im Büro kleiner als im ersten ist, muss ich nicht vor Zimmer 2 warten und werde sofort bedient. Im anderen Fall muss ich wieder warten. Meine Idee war nun beide Fälle natürlich unterscheiden muss: Infolge der Gedächtnislosigkeit hätte ich wieder (nach obigen Schema) den E-Wert und Vairanz berechnet (wieder der Erlang-n-Verteilung sofern man warten muss, ansonsten ist die Bearbeitungszeit ja "nur" exponentialverteil). Aufgrund der Unabhängigkeit der beiden "Bearbeitungsprozesse" kann ich die Erwartungswerte addieren und die Varianz ergibt sich aus den Teilvarianzen (Unabhängigkeit impliziert eine Covarianz von 0).

Damit wäre ich dann eigentlich fertig... oder?
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bei a) haben wir gesagt, passt alles, b) ist nicht ganz so einfach, aber soll nicht stören.

Sei deine Gesamtzeit, welche du im Amt verbringst. Dann ist , wobei die Wartezeit ist, bis du ins Büro 1 kannst, die Zeit ist, die du im Büro 1 verbringst, die Zeit ist, welche du vor Büro 2 wartest und schließlich die im Büro 2 verbrachte Zeit ist.

, und sind kein Problem. Die sind jeweils exponentialverteilt und unabhängig voneinander. Das Problem ist , das ist nämlich nicht unabhängig von und weiters nicht mehr exponentialverteilt sondern hat eine Mischverteilung aus einer diskreten Verteilung im Punkt 0 und einer Exponentialverteilung.

Den Erwartungswert von kannst jetzt trotzdem leicht berechnen, indem du ihn einfach zerlegst. Sei die Zeit, welche die andere Person im Büro 2 verbringt (exponentialverteilt mit ) und sei die Wahrscheinlichkeit, dass die Person im Büro 2 schneller fertig ist als du im Büro 1. Dann gilt aufgrund der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung und der Tatsache, dass



Du musst dir nur mehr berechnen. Alternativ kannst dir auch folgendes Integral ausrechnen



Du kannst versuchen, dieses nun zu interpretieren und dir überlegen, was da so passiert und wieso beide Wege äquivalent sind.

Der Gesamterwartungswert ergibt sich nun als Summe der einzelnen Erwartungswerte (eben selbst dann, wenn die einzelnen Zufallsvariablen NICHT unabhängig sind, so wie in diesem Fall).

Bei der Varianz wird es etwas komplizierter, da ist Abhängigkeit von und ein gewisses Problem. Da wirst wohl die Kovarianz ausrechnen müssen. Überleg dir mal einen Ansatz.
 
 
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Erst einmal vielen herzlichen Dank für Deine Antwort. Nicht ganz so einfach ist genau der richtige Begriff... Big Laugh . Ich versuche es einmal weiter:

Ich bekomme erst einmal heraus, da ja gilt.

Für die Kovarianz gilt allgemein:


Ich multipliziere einmal aus und erhalte


und das ist dann




und somit


Ist das bis dahin einmal so ok?

Dann wäre nur noch der Term übrig...
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie definierst du die Exponentialverteilung? Es gibt zwei verschiedene Parametrisierungen. Bei mir ist der Erwartungswert

Dann sollte gelten , außer ich verschlafe gerade was.

Bei der Kovarianz hast am Schluss einen Fehler, egal wie du parametrisierst. Der EW von ist bei mir und den EW von hast du dir gerade berechnet!!! Der ist sicherlich nicht

musst dir jetzt überlegen. sei wieder die Zeit, welche die Person vor dir im Büro 2 ist. Nutze aus, dass (also wenn und sonst , dann kannst - wie ich schon beim EW gezeigt habe - nach der Verteilungsfunktion von und der von integrieren, was die Sache sehr erleichtert.
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, mit dem hattest du Recht natürlich. Aber der Rest passt trotzdem nicht Big Laugh
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Heiliger Dimmbamm... Es ist doch nur eine 3 Punkte Aufgabe. verwirrt . Mit den hast Du natürlich recht - war wohl etwas k.o. nach einem 12 Stunden Arbeitstag.

Also das Integrall... puhhh. Bevor ich mich dieser Aufgabe stelle, kurz eine Frage:
Kann ich denn nicht (mich auch um das Integral etwas zu drücken Augenzwinkern ) schreiben:


bin mir aber nicht mehr so sicher, ob auch 0 ist. V.a. ist es komisch, da dann die Covarianz negativ wäre, was in meinen Augen irgendwie kontraintuitiv ist.
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast dann die Aufgabenstellung falsch interpretiert und es wäre einfacher gewesen Big Laugh . Aber ganz ehrlich, so schlimm ist das alles nicht. Zumindest wenn du Mathe studierst. Wenn du "Anwender" (Wirtschaftler, Ingenieur etc) bist, dann seh ich ein, dass das Beispiel Probleme bereiten kann.

In deiner Herleitung hast du einen Fehler:

Jetzt brauchst im Grunde nur mehr auszuintegrieren.
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, es hilft wohl nichts... noch eine kleine Rückfrage bevor ich mich "dieser Aufgabe" stelle: Ich berechne nur:



Verstehe ich das so richtig... ich bin mir über die Intergration einer "max" Funktion nicht so ganz auf dem laufenden.

Merci

P.S. Mathe studieren... wäre schön gewesen. Aber damals wollte ich VWL und STAT studieren. Jetzt bin wohl schon etwas zu alt um nochmal anzufangen Augenzwinkern . Das ist so eine Übung für Aktuare und Co. und manchmal hat man abends nur schwer Motivation sich bzgl. eines etwas ungewöhnlichen Integrals Gedanken zu machen. Zugegeben nicht gut, aber wohl daily business...
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry die Integrationsgrenzen stimmen natürlich beim zweiten Integral nicht... es muss natürlich heissen x bis unendlich... aber ich glaube es wird was Augenzwinkern
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, jetzt sollte dann alles passen. Am Ende musst noch die gesamte Varianz berechnen. Sieh als eine ZV an. Dann sind , und unabhängig und es gilt



Weiters gilt



Die Covarianz solltest dann haben... musst noch die Varianz von berechnen, ist aber auch nicht mehr schwer.
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

So, wenn das mit dem Ansatz stimmt, war es wirklich nicht so schwer. Ist ja oft so... Hier also mal mein Vorschlag:


dann gilt mittels partieller Integration:


und somit erhält man


und es gilt weiter



Wiederum parteille Integration führt zu


Schaut für mich eingentlich ganz gut aus, oder?
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwo musst einen Fehler haben, denn laut Maple kommt heraus.
App19 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt... Maple hat recht. Habe ein zu gemacht Hammer . Und war tatsächlich nicht schwierig, da habe ich doch die Mittagspause bestens genutzt. Danke Dir...
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