Ebene an Ebene spiegeln... Prinzip und Aufgabe(mit Fehler in meinem Rechenweg (?))

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Cosmo Lavish Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene an Ebene spiegeln... Prinzip und Aufgabe(mit Fehler in meinem Rechenweg (?))
Hi,

Ich bin hier im Forum ziemlich neu und noch nicht so ganz mit allem vertraut und dass ist mein erster Beitrag hier...

Kurz zu mir: ich bin Schüler an einem Gymnasium in Stuttgart und besuche gerade die 13te Klasse (8jähriger Zug - damit ihr euch nicht wundert... meine Schule hat diesen Zug schon 10 Jahre bevor er überall eingeführt wurde auf freiwilliger Basis eingeführt und ich mache noch das ganz normale G9 Abi...). Meine Wahlfächer sind Chemie und Geschichte. Was Mathe angeht, so war mein Interesse bis jetzt eigentlich eher begrenzt und ich habe nie wirklich etwas für dieses Fach gearbeitet. Seit diesem Schuljahr habe ich dann gemerkt, dass Mathe eigentlich ziemlich easy ist, wenn man sich mal ein bisschen damit beschäftigt und dass es auch Spaß machen kann und seitdem bin ich von meinen zwischen 5 und 10 Punkte Klausuren auf 13 Punkte im Zeugniss diesen Freitag gekommen... es läuft also ganz gut...

In der letzten Mathestunde haben wir mit Spiegelei angefangen und das spiegeln eines Punktes an einer Ebene, das Spiegeln einer Geraden an einer Ebene und das Spiegeln eines Punktes an einer Geraden besprochen... Unsere Hausaufgabe war dann 1. eine Möglichkeit, eine Ebene an einer Ebene zu spiegeln zu finden und 2. an einer Aufgabe nachzurechnen.

Was den 1. Teil der Aufgabe angeht, habe ich 4 Fälle unterschieden:

a. Die Ebenen sind Orthogonal
dann gilt:
-Das Skalarprodukt der Normalenvektoren N1 und N2 ergibt Null.

-E = E'


b. Die Ebenen sind (echt) Parallel:
-Die Normalenvektoren N1 und N2 der beiden Ebenen sind lin. abh.
-Es liegt ein Punkt von E1 nicht auf E2 => Die Ebenen sind nicht Identisch.

Vorgehensweise bei der Spiegelung von E2 an E1:
1. Man nehme einen Beliebigen Punkt P auf E2 und stelle mithilfe seines Ortsvektoren und dem Normalenvektor von E1 oder E2 (bzw. mit einem lin. abh. Vektor dieser Vektoren, wenn sich diese Vektoren noch vereinfachen lassen) eine Gerade g auf...
g: =+t (Mit LateX habe ich mich gerade zum ersten Mal beschäftigt... entschuldigt also bitte die schlechte Schreibweise...^^)
2. Man setze diese Gerade in die Koordinatengleichung der Ebene E1 ein und bestimme einen Wert für die Variable t, der in die Gerade eingesetzt werden muss, um den Schnittpunt mit der Ebene zu bestimmen.
3. Man setze 2t in g ein und erhält den Spiegelpunkt P'
4. Mit Hilfe dieses Spiegelpunktes und einem der Normalenvektoren stellt man die Ebenengleichung der Ebene E2' auf.


c. Die Ebenen sind Identisch:
-Die Normalenvektoren N1 und N2 der beiden Ebenen sind lin. abh.
-Es liegt ein Punkt von E1 auf E2

-E=E'


d. Die Ebenen sind weder Parallel noch Orthogonal:
-Das Skalarprodukt der Normalenvektoren N1 und N2 ergibt nicht Null.
-Die Normalenvektoren N1 und N2 der beiden Ebenen sind lin. unabh.

Vorgehensweise bei der Spiegelung von E2 an E1:
1. Man errechnet die Schnittgerade g, indem man die beiden Koordinatengleichungen in einem LGS miteinander verrechnet.
(g: =+t)
Dabei ist g eine "Fixgerade", die sowohl in den Ebenen E1 und E2, als auch in der gespiegelten Ebene E2' enthalten ist.
2. Man nehme einen Beliebigen Punkt P auf E2 und stelle mithilfe seines Ortsvektoren und dem Normalenvektor von E1 (bzw. mit einem lin. abh. Vektor dieses Vektoren, wenn sich dieser Vektor noch vereinfachen lässt) eine Gerade h auf...
(h: =+t)
2. Man setze diese Gerade in die Koordinatengleichung der Ebene E1 ein und bestimme so den Wert für die Variable t, der in die Gerade eingesetzt werden muss, um den Schnittpunt mit der Ebene zu bestimmen.
3. Man setze 2t in h ein und erhält den Spiegelpunkt P'
4. Mit Hilfe dieses Spiegelpunktes und der Geraden g stellt man eine Ebenengleichung der Ebene E2' auf.

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mir zu diesem Ansatz ein Feedback geben würde, da ich mir nicht ganz sicher bin, ob er richtig ist. Mein eigentliches Problem ist nämlich die Beispielaufgabe, bei der ich eine etwas komische Lösung herausbekommen habe...

Die Aufgabe war die Ebene E2 an der Ebene E1 zu spiegeln:

E1: x1 + x2 - x3 =1
E2: x1 + x2 = 4


(1): = (1|1|0) und = (1|1|-1) sind lin. unabh.
(2): Das Skalarprodukt von und ist 2, also ungleich 0

=> Es handelt sich um Fall Nummer 4

Um die Schnittgerade zu berechnen, setze ich E1 und E2 in ein LGS ein:

| 1| 1|-1| 1|
| 1| 1| 0| 4|

Dieses LGS wird von meinem GTR vereinfacht:

| 1| 1| 0| 4|
| 0| 0| 1| 3|

Also gilt:

x1 + x2 = 4
x3 = 3

Für x2=t gilt also:

x1= 4 - 1 t
x2= 0
x3= 3

=> g: = (4|0|3) + t (-1|0|0)

Nun muss ein beliebiger Punkt P auf E2 an E1 gespiegelt werden:

P (1|0|0)

h: =+s

-->h: = (1|0|0) + s (1|1|0)

h wird nun in E1 eingesetzt:

1 + s + 0 + s = 4
2 s = 3
s = 3/2 => s = 3 liefert P' (4|3|0)

Mit dem Stützvektoren von g und dem Ortsvektoren des Punktes P' lässt sich ein Streckvektor der Ebene E2' errechnen: =( 0| 3|-3)

Das Kreuzprodukt zwischen und dem Richtungsvektor von g liefert den Normalenvektor der Ebene E2'

= (0|3|3)

=> E2': 3 x2 + 3 x3 = d

Das einsetzen des Punktes P' liefert:

d = 0

Also ist E2': 3 x2 + 3 x3 = 0

Dieses Ergebniss verwirrt mich ein Bisschen... wenn ich nämlich eine Ebene, die sich in x1-, x2- und x3-Richtung ausstreckt an einer Ebene, die zur x3 Achse Parallel verläuft Spiegele, dann ist doch wieder eine Ebene zu erwarten, ddie sich in x1-, x2- und x3-Richtung ausstreckt... ich hab jetzt schon dreimal böse drübergeschaut und finde einfach den Fehler nicht traurig , den ich gemacht habe... Hammer Würde mich sehr freuen, wenn jemand von euch so freundlich wäre, sich das kurz anzuschauen, zu kontrollieren und vllt. ein bisschen Feedback zu geben...Danke schonmal!
Glg Cosmo Lavish
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene an Ebene spiegeln... Prinzip und Aufgabe(mit Fehler in meinem Rechenweg (?))
unter einem spiegelEI verstehe ich etwas anderes smile

dein ansatz Freude
aber die schnittgerade ist müll
(setze doch in E1 und E2 ein)

der aufpunkt ist einer von den guten, aber
der richtungsvektor der schnittgeraden heißt:


Duedi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene an Ebene spiegeln... Prinzip und Aufgabe(mit Fehler in meinem Rechenweg (?))
EDIT: zu spät Big Laugh
Cosmo Lavish Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für x2=t gilt also:

x1= 4 - 1 t
x2= 0
x3= 3


Big Laugh ... ich Depp!... schreibe oben, dass x2=t ist und unten, dass x2=0 ist... Danke... hatte echt voll das Brett vorm Kopp...^^

PS: von einem Spiegelei stand da aber nichts Augenzwinkern ... ich habe von der Spiegelei gesprochen^^

Naja auf jeden Fall vielen Dank für die schnelle Rückmeldung. Prost
Lg Cosmo
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene an Ebene spiegeln... Prinzip und Aufgabe(mit Fehler in meinem Rechenweg (?))
Zitat:
Original von Cosmo Lavish
Hi,
In der letzten Mathestunde haben wir mit Spiegelei angefangen....

Glg Cosmo Lavish


hier steht´s smile
guten appetit

(nicht spiegelei sondern spiegelung)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Für's Abitur (damit es keinen unnötigen Punkteabzug gibt) ist es auch ratsam, bestimmte Wörter richtig zu schreiben:

Zeugnis

Ergebnis

mY+
 
 
Cosmo Lavish Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Danke Mythos... werd ich mir merken...^^

@riwe: Ich hasse es Wortspiele zu erklären, also lasse ich es mal
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cosmo Lavish
Gott Danke Mythos... werd ich mir merken...^^

@riwe: Ich hasse es Wortspiele zu erklären, also lasse ich es mal


manche leute wollen immer recht haben
mir soll´s wurscht sein geschockt

aber gerade wenn du wortspiele liebst,
solltest du dir die anregung von mythos zu herzen nehmen Augenzwinkern
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