Matrizen, Rang, Dimension Zusammenhänge

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kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen, Rang, Dimension Zusammenhänge
Hallo!
Ich habe mehrere Fragen:
In einem Buch steht folgende Übungsaufgabe:
Bestimme den Rang der Matrix A:
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 0 0 0 0
1 2 1 2 1
Ich habe nun die 4.-2. und dann die 4.-2*1. gerechnet. Somit wäre der Rang=2, weil ich die Matrix
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
erhalten würde.
Stimmt das so? In meinem Buch steht als Lösung nämlich Rang=3 und das hat mich sehr verwirrt.
Dann habe ich noch eine Frage: Wenn nun eine Funktion f(x)=Ax gegeben wäre und ich die Dimension berechnen müsste, wäre die Dimension der Abbildung doch 2 oder (da der Rang = 2 ist).
Die Basis wäre dann 0 1 0 1 0 und 1 0 1 0 1 (das sollen Vektoren sein Augenzwinkern (beiden ersten Zeilen der Matrix))
Und nach der Dimensionsformel wäre der Kern der Abbildung 2 oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen, Rang, Dimension Zusammenhänge
Hi wuselchen,

Der Rang der Matrix ist zwei. Das sieht man unter anderem auch daran, dass als Spalten nur zwei verschiedene Vektoren auftauchen.

Von der Dimension einer Abbildung habe ich noch nichts gehört. Meinst Du vielleicht die Dimension des Bildes?
Wenn ja, dann ist die Dimension tatsächlich zwei (vgl. Rang), aber eine Basis lässt sich nicht aus den Zeilen, sondern aus den Spalten der Matrix bilden, denn diese können als Bild der Abbildung auftreten.

Der Kern der Abbildung hat nicht die Dimension 2. Schau Dir das noch mal genau an. Welche Dimension hat der Vektorraum, der hier als Definitionsbereich auftritt? Welche Dimension hat das Bild? ...

Gruß,
Reksilat.
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

danke schonmal für deine antwort =)
ich meinte die dimension des bildes.. aber warum kann ich denn nicht die zeilen der matrix als basis benutzen?
und warum hat der Kern nicht die dimension 2? es gibt doch die dimensionsformel
dimension (V)= dim (Kern) + dim (Bild)
und die dimension vom V ist doch 4, die vom bild 2, also die vom kern 2..
wären dann die basisvektoren
0 1
1 0
0 0
0 0
0 0
?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Schau Dir doch mal Deine Matrix an. Wenn Du von rechts einen Spaltenvektor an diese Matrix multiplizieren willst, dann muss der doch die Dimension 5 haben. Ergo: Dein Definitionsbereich V besteht möglichst aus 5-dimensionalen Vektoren. Sollte in der Aufgabe eigentlich auch stehen.

Bezüglich des Bildes:
Beispiel:

Versuche doch nun mal einen Vektor zu finden, der von auf die erste Zeile abgebildet wird. Das wirst Du nicht schaffen.
Dagegen wird auf , also den ersten Spaltenvektor abgebildet. Dieser liegt also im Bild. Analog geht das für jeden Spaltenvektor einer Matrix.

Wenn Du eine Basis des Bildraums angeben willst, musst Du dafür aber die Originalmatrix nehmen. Die mittels Gauß veränderte Matrix ist nicht mehr aussagekräftig.

Gruß,
Reksilat.

PS: Doppelpost gelöscht.
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

ooh mir ist grade noch was eingefallen..
um dim(V) zu bestimmen muss ich ja die anzahl der spalten und nicht die der zeilen zählen oder? demnach wäre die dimension vom kern ja 3.. stimmt das? aber was wären denn dann mögliche basisvektoren für den kern? kann man die so aus der matrix ablesen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Im Kern liegen Vektoren, die der Gleichung Ax=0 genügen. Das ist ein lineares Gleichungssystem, welches sich relativ leicht lösen lässt.
 
 
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

danke smile
ich glaube ich habe es verstanden.. um nun eine Basis für die Bildmatrix zu finden könnte ich also von der ausgangsmatrix ausgehen und gucken, welche vektoren linear unabhängig sind? ich weiß ja schon, dass die dimension oder eher der rang der bildmatrix 2 ist, also könnten dann die vektoren einer basis der bildmatrix:
0 1 0 1 0 (soll ein Vektor sein)
1 0 1 0 1 (soll ein Vektor sein)
sein, die sind ja auch linear unabhängig..
ich glaube mein problem lag darin, dass wir in der uni immer nur Matrizen hatten, mit der gleichen Zeilen und Spaltenanzahl.. da kann ich es aber dann so machen und auch die vektoren aus den spalten als basisvektoren benutzen oder?
und um nun den kern zu berechnen kann ich das vielleicht so machen:?
nach der aufgelösten matrix gilt ja
x2 + x4 = 0 => x2=-x4
x1 + x3 + x5 = 0 => x1= -x3-x5
also

und somit ergibt sich
x3 + x4 + x5
und die 3 vektoren wären die basisvektoren vom kern?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Passt genau, sehr schön. Freude

Zur Zusammenfassung kannst Du auch hier: [Artikel] Basis, Bild und Kern noch mal nachlesen.
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

suuuper!! danke du hast mir wirklich sehr sehr geholfen Freude =)
nur noch gaanz kurz eine letzte frage.. in dem buch steht noch eine aufgabe zur rangberechnung, wieder soll der rang angeblich 3 sein, aber ich komme da nicht auf 3 sondern auf 4...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auch auf 4. smile
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke =)
ich habe jetzt noch einmal darüber nachgedacht.. ganz am anfang hatte ich ja überlegt die 2 linear unabhängigen Zeilenvektoren (nach Umformen der Matrix mit dem Gauss-Verfahren) als Basis zu nehmen..
also
und .
aber das wäre doch möglich nach dem basisexistenzsatz oder? denn ich weiß, dass die dimension der abbildung 2 ist und habe 2 linear unabhängige vektoren gefunden..
oder hab ich da einen denkfehler?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe doch bitte dazu, wenn Du von der Basis des Bilds sprichst. Ich weiß leider nicht, was Du sonst meinen könntest.
_______________________________

Der Denkfehler ist und bleibt, dass die Zeilenvektoren mit dem Bild der Abbildung nichts zu tun haben. Ebensogut könntest Du auch zwei völlig beliebige Vektoren betrachten - das bringt Dir nichts.

Wenn die Standardbasisvektoren des sind, dann ist:
, ,...
Die Spalten treten also als Bilder auf.

Die Zeilen haben mit dem Bildraum dagegen nichts zu tun.
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

in dem link, den du oben reingestellt hast sind aber 2 beispiele (2 und 3), bei denen auch einfach die zeilenvektoren aus der umgeformten matrix als basis benutzt wurden
ich versteh das nicht..
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Dort wird aber die transponierte Matrix verwendet, d.h. man spiegelt die Matrix an der Hauptdiagonalen. Damit werden dann die Spalten zu Zeilen und man kann mit den Zeilen rechnen. - Letztlich nur eine Geschmacksfrage.
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

achso ok..
d.h. ich muss immer die Spaltenvektoren benutzen, um eine Basis des Bildes rauszufinden? d.h. ich suche einfach linear unabhängige Spaltenvektoren?
und nur wenn die Matrix die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten hat darf ich auch die Zeilen benutzen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Die Zeilen haben mit dem Bild nichts zu tun. Wie oft denn noch? böse
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok.. also immer und immer nur die spalten??
dann wäre das was ich oben geschrieben hab ja auch falsch.. deshalb war ich verwirrt weil du drunter geschrieben hast passt genau..
also suche ich aus der matrix immer (auch bei quadratischen matrizen) immer spaltenvektoren, die linear unabhöngig sind, um die dimension des bildes zu bestimmen?
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

sorry.. ich meine um die elemente der basis zu bestimmen..
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Oben hast Du den Rang der Matrix bestimmt und da immer Zeilenrang=Spaltenrang ist, kannst Du dafür eben auch die Zeilen nehmen. Für eine Basis sind aber nur die Spalten von Bedeutung.
(Wollte ich eigentlich noch anmerken, hab's dann aber wohl vergessen.)

Gruß,
Reksilat.
smile
kleines_wuselchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke=) smile
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