Frage zur Dimension eines Hyperebenenschnitts

02.02.2010, 15:24

Micha87

Frage zur Dimension eines Hyperebenenschnitts

Hallo,
die Frage aus dem Übungsblatt lautet wiefolgt:
Welche Dimension hat der Teilraum von Rn, der entsteht, wenn man den Schnitt zweier nicht paralleler Hyperebenen des Rn bildet, mindestens und welche höchstens.

Das wäre ich Lösung:
nichtparallel heißt, mindestens ein Richtungsvektor der einen Hyperebene lässt sich nicht aus den Richtungsvektoren der anderen linear kombinieren. D. h. der Rang der Matrix die das LGS fu ?r den Schnitt berechnet ist mindestens 1. Somit ist die Dimension der Schnittmenge mindestens 1 (also eine Gerade) und höchstens n ? 1 (eine Hyperebene).

Meine Überlegung war jetzt, dass jede Hyperebene ja den Rang 1 besitzt (Also Dimension n-1).
Wenn ich jetzt 2 nichtparallele Hyperebenen habe, dann sind das ja 2 Gleichungen x1... xn mit jeweils Rang 1.
Wenn ich diese nun gleichsetze um den Schnitt zu bestimmen, muss ich doch auf jeden Fall ein Gleichungssystem mit Rang 2 haben, da
die Ebenen ja nicht parallel sein dürfen. Dies würde ja aber so sein, egal ob ich alle xi eliminieren kann oder möglicherweise nur eines, was für mich heißen würde,
dass der Schnitt im Rang 2 haben müsste und die Dimension also sowohl mindestens als auch maximal n-2 wäre.

Ich verstehe nicht, wie sich z.B. im R5 eine Gerade als minimale Lösung ergeben kann. Das wäre nach meiner Logik ja Dim =5-2=3.
Oder auch nicht, wie sich wieder eine Hyperebene als maximale Lösung ergeben kann, wenn die Ebenen nicht parallel sein dürfen.

02.02.2010, 17:23

WebFritzi

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RE: Frage zur Dimension eines Hyperebenenschnitts

Zitat:

Original von Micha87
Wenn ich diese nun gleichsetze

Wieso das? Begründe mir dies bitte mathematisch. Wenn das nicht geht, ist es wohl falsch.

02.02.2010, 17:26

Leopold

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Was verstehst du unter einer Hyperebene? Üblicherweise ist das ja ein linearer Unterraum, der eine Dimension kleiner ist als der umgebende Raum. Auf der anderen Seite irritiert mich die Formulierung "nicht parallele Hyperebenen", denn parallele Hyperebenen wären ja identische Hyperebenen, und warum heißt es dann nicht gleich "nicht identische Hyperebenen"? Daher habe ich den Verdacht, daß du Hyperebene allgemeiner verstehst, im Sinne von "affine Hyperebene".
Vielleicht sollten wir erst einmal die Begrifflichkeiten klären.

02.02.2010, 18:59

Micha87

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Ich verstehe die Hyperebene so, dass sie eine Dimension kleiner ist als der eigentliche Raum,
also eine Gleichung mit Rang 1. Wenn ich diese nun in ein Gleichungssystem überführe, bekomme ich eine LGS mit Rang 2. Im R^5 wäre der Schnitt also dreidimensional.

02.02.2010, 19:03

WebFritzi

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Das beantwortet Leopolds Frage nicht. Ist eine Menge der Form

$\begin{eqnarray*} \{(x_1,\dots,x_n) : a_1x_1 + \dots + a_nx_n = 5\} \end{eqnarray*}$

nach deiner Definition eine Hyperebene oder nicht? Irgendwo muss bei dir doch definiert sein, was eine Hyperebene ist.

02.02.2010, 19:06

Micha87

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Ja so ist die Hyperbene bei uns definiert.

02.02.2010, 19:08

WebFritzi

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Gib uns mal bitte die genaue Definition.

02.02.2010, 19:17

Micha87

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Okay das ist jetzt 1:1 aus unserem Skript abgeschrieben:

Hyperbene:
Raum: R^n
rg(A) = 1
Dimension (Anzahl der Freiheitsgrade) = n - 1

Mehr habe ich dazu nicht.

02.02.2010, 19:18

WebFritzi

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Was ist denn A. So ist das keine Definition.

02.02.2010, 19:21

Micha87

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Dann sag' das doch bitte meinem Prof.
A soll wohl eine Matrix sein. Mehr kann ich dir nicht geben weil ich selber (leider leider) nicht
mehr Informationen habe.
Wenn ich die hätte, dann würde sich meine Fragerei vielleicht erübrigen ...

02.02.2010, 19:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von Micha87
Hyperbene:
Raum: R^n
rg(A) = 1

Was steht denn über diesen Zeilen in deinem Skript?

02.02.2010, 19:48

Micha87

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Genau das ist mein Problem, nichts.
Der Befriff taucht im gesamten Skript einmal auf und zwar in dieser Form.
Überschrift: Zusammenfassung zu Matrizen.
Vorher wird noch der Rang einer Gerade/Ebene im R^2/3 definiert und dann das ganze nchmal für den R^n allgemein, wo dann diese "Erklärung" auftaucht.

02.02.2010, 19:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von Micha87
Vorher wird noch der Rang einer Gerade/Ebene im R^2/3 definiert

Es fällt mir schwer, dies zu glauben, denn das Wort "Rang" bezieht sich auf Matrizen. Aber vielleicht haben wir es hier mit einer ganz besonderen Art von Prof zu tun...

Egal, lass uns zur Aufgabe schreiten und annehmen, dass eine Hyperebene genauso definiert ist wie von mir oben beschrieben (natürlich mit allem möglichen auf der rechten Seite - nicht nur 5). Du hast also zwei Hyperebenen

$\begin{eqnarray*} H_1 = \{(x_1,\dots,x_n) : a_1x_1 + \dots + a_nx_n = c\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} H_2 = \{(x_1,\dots,x_n) : b_1x_1 + \dots + b_nx_n = d\}. \end{eqnarray*}$

Wie sieht nun der Schnitt der beiden aus? Bitte in Mengenschreibweise.

02.02.2010, 20:05

Micha87

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Ich kann dir gerne das komplette Skript zur Verfügung stellen wenn du es mir nicht glaubst aber sei's drum.
Mengenschreibweise haben wir für sowas nie benutzt, bin mir nicht sicher, ob ich es richtig mache.

Für mich wäre der Schnitt

$\begin{eqnarray*} H3 = \{ (a_1+b_1)x_1 + (a_2+b_2)x_2 + ... + (a_n+b_n)x_n \} \end{eqnarray*}$

Da die Hyperbenen aber nicht parallel sein dürfen, muss mindestens ein Summand sich nicht zu 0 addieren. Deswegen bleiben auch immer 2 Gleichungen übrig, wenn ich die Hyperebenen in ein LGs überführe. Deswegen hat dieses LGS immer Dimension 2.

Sorry ich kann es nicht besser formulieren.
Wenn es so nicht verständlich ist dann lasst es gut sein, dann lasse ich die Aufgabe weg ...

03.02.2010, 03:51

WebFritzi

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Dein Schnitt ist Unfug. Und dass du die Mengenschreibweise nicht beherrschst, finde ich erschreckend. Offenbar hast du nicht einmal schuld daran... Augenzwinkern

Ich hätte übrigens gern dein Skript. Sende es bitte an webfritzi[bei]gmx.de. Danke.

Wie dem auch sei. Der Schnitt lautet

$\begin{eqnarray*} H_1\cap H_2 = \{(x_1,\dots,x_n) : a_1x_1 + \dots + a_nx_n = c\;\text{ und }\;b_1x_1 + \dots + b_nx_n = d\}. \end{eqnarray*}$

Das ist also die Menge aller Tupel $\begin{eqnarray*} (x_1,\dots,x_n), \end{eqnarray*}$ die das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} a_1x_1 + \dots + a_nx_n &=& c\\ b_1x_1 + \dots + b_nx_n &=& d \end{eqnarray*}$

erfüllen. Aus der Nichtparallelität folgt, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} (a_1,\dots,a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_1,\dots,b_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig (also keine Vielfachen voneinander) sind. Vielleicht kommst du nun weiter.

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