Basis im Vektorraum

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sunnyflower Auf diesen Beitrag antworten »
Basis im Vektorraum
hallo!
ich habe eine frage..
wenn ich eine basis gefunden habe in einem vektorraum mit n elementen, haben dann alle anderen basen dieses vektorraumes auch n elemente?
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenfrage: Wie kann man die Dimension eines Vektorraums auch definieren?
sunnyflower Auf diesen Beitrag antworten »

mhm.. ich weiß nur, dass sich die dimension des vektorraumes zusammensetzt aus der dimension des kerns und der des bilds.. aber ich weiß nicht so ganz ob ich damit hier weiterkomme..
unter der dimension versteht man ja allgemein die anzahl der elemente in der basis..
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sunnyflower
unter der dimension versteht man ja allgemein die anzahl der elemente in der basis..


Genau das meinte ich ja auch Augenzwinkern Jetzt solltest du deine Frage aber eigentlich selbst beantworten können
sunnyflower Auf diesen Beitrag antworten »

mhm.. irgendwie stehe ich grade auf dem schlauch..
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

Naja: Wenn die Dimension deines Vektorraums gleich der Anzahl deiner Basiselemente ist, was wäre denn dann, wenn du Elemente zur Basis hinzufügst oder abziehst? ...
 
 
sunnyflower Auf diesen Beitrag antworten »

dann wärs keine basis mehr, d.h. basen eines vektorraumes haben immer die gleiche anzahl an elementen?
wenn ich also eine basis eines vektorraumes mit 3 elementen gefunden habe, weiß ich dass alle anderen basen auch genau aus 3 elementen bestehen? also es kann dann keine basis mit 2 elementen oder 4 elementen geben?
El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Augenzwinkern
sunnyflower Auf diesen Beitrag antworten »

super, danke!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sunnyflower
mhm.. ich weiß nur, dass sich die dimension des vektorraumes zusammensetzt aus der dimension des kerns und der des bilds..


Wovon? Richtig: von einer linearen Abbildung. Ist von einer solchen hier die Rede? Nein.

Du bringst hier einiges durcheinander. Zuerstmal definiert man Vektorräume und darin Untervektorräume. Dann wird der Begriff "Dimension" eines Vektorraums definiert. Und zwar über die Anzahl der Elemente einer Basis (dieser Wert ist nicht von der speziellen Wahl der Basis abhängig).

Wenn man das alles gemacht hat, definiert man den Begriff der linearen Abbildung. Für solche gilt der Dimensionssatz, den du oben zitierst. Die linearen Abbildungen sind aber zusätzliche Objekte. Kurz: Der Vektorraum kann ohne lineare Abbildungen leben. Lineare Abbildungen hingegen brauchen Vektorräume, zwischen denen sie abbilden.
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