Determinante

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migrosch Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
hallo ihr profis,

ich habe mal wieder eine aufgabe bearbeitet, bei der ich nicht ganz weiterkomme.

die aufgabe lautet: welches objekt beschreibt folgende determinantengleichung:



meine gedanken dazu:

eine determinate ist 0, wenn

a) 2 Zeilen oder Spalten übereinstimmen
b) 2 Zeilen oder Spalten proportional zueinander sind
c) alle Elemente einer Zeile oder Spalte 0 sind

ich denke, a trifft hier nicht zu

b) könnte zutreffen, wenn die erste oder zweite spalte proportional zueinander sind
c) könnte zutreffen, wenn die elemente der ersten oder zweiten spalte 0 sind
----------------

ich habe die determinantengleichung einmal aufgelöst:



=>

x(1b-1d)-y(1a-1c)+(ad-bc) = 0

=> xb-xd -ya+yc+ad-bc = 0

wenn jetzt die elemente der ersten spalte 0 wären, dann wäre 0=0
genau so wäre das mit der zweiten spalte

ich hoffe das stimmt soweit

nunja, leider weiß ich nun nicht, was ich damit anfangen soll unglücklich

würde ich nun sagen, dass die erste spalte ein k-faches der zweiten spalte ist

dann komm ich auf sowas:



woraus dann dies wird:



==> ky(1b-1d)-y(ky-kd)+(kbd-kbd) = 0

==> kyb-kyd-ky²-kyd = 0

=>-ky²-kyb=0
->-kyb=ky² /:k & /:y

-b=y

stimmt das denn soweit?

falls ja, weiß ich leider nicht, was mir das bringt.

sollte es stimmen, dass ist es doch eine gerade, die durch -b auf der y-achse geht, oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gehen wir doch nochmals zum Anfang und an den Kern der Frage: ".. welches Objekt beschreibt folgende Determinantengleichung: ... "

Mit der (auch von dir ausgeführten) Entwicklung der Determinante nach den Elementen der ersten Zeile ergibt dies die Beziehung

x(b - d) - y(a - c) = -ad + cb

Welches geometrische Objekt wird durch diese Gleichung im Allgemeinen beschrieben?
Damit wäre die Eingangsfrage auch schon beantwortet. Man kann letztendlich dann noch die Fälle b = d oder a = c oder beide gleichzeitig diskutieren ...


mY+
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm naja genau das ist mein problem. ich kann mir das objekt nicht vorstellen, bzw weiß nicht, welchem objekt ich diese gleichung zuordnen kann.

ich habe deswegen für a,b,c,d einfach beliebige werte eingesetzt und die gleichung nach y aufgelöst.

da komme ich dann auf eine geradengleichung
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und genau das ist es: eine Geradengleichung, von Spezialfällen abgesehen.
Und du kannst noch mehr sagen: Durch welche Punkte geht diese Gerade? Zur Beantwortung der Frage wäre es günstig, nicht die ausgerechnete Determinante zu verwenden, sondern die Eigenschaft a) deines ersten Beitrags. Setze einmal für dort spezielle Werte ein.

Und zum Schluß vielleicht noch: Wann liegt keine Gerade vor?
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm ich weiß jetzt leider nicht, wie du das meinst unglücklich

ich müsste ja dann auch für a,b oder für c, d nen wert einsetzen, damit zwei spalten gleich sind, oder?

ich kann doch jetzt nicht einfach x = 1 sagen und y =5 (fiktive werte) und dann die determinantengleichung lösen....da komm ich doch auf nix grünes....finde ich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. sind Variable, nur für die sollst du etwas einsetzen. Dagegen spielen die Rollen von fest gewählten Zahlen. Die sind unveränderlich. Man sagt nur nicht, welche Zahlen es sind. Aber es sind feste Zahlen, sogenannte Parameter. Du könntest jetzt für und einsetzen. Aber das wäre wohl nicht besonders sinnvoll im Hinblick auf die Fragestellung. Welche Einsetzungen sind denn viel zweckmäßiger?
 
 
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

ok,

also ich denke, ich sollte einmal x = 0 und dann einmal y=0 setzen

so bekomm ich

für x= 0

-->y(a-c) = ad-bc

für y= 0

-->x(b-d)=bc-ad

raus
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Mit wird das zu



Und da sieht man nun gar nichts. Denn ob jetzt da Zeilen gleich sind, hängt von ab. Es gibt aber zwei Einsetzungsmöglichkeiten für , wo ich sofort sehe, daß zwei Zeilen gleich werden. Welche sind das?
Du mußt den Abstraktionsgrad ein bißchen erhöhen, nur ein bißchen.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

naja,

wenn ich x =a und y = b

oder x= c und y = d setze, werden 2 zeilen gleich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt mußt du nur noch "eins und eins zusammenzählen". Du weißt, daß die Gleichung eine Gerade beschreibt und daß zusätzlich bzw. die Gleichung erfüllen. Denn hierfür wird ja die Determinante 0. Um was für eine Gerade handelt es sich also?
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine es handelt sich um eine gerade, die durch die punkte (a,b) bzw (c,d) geht
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Aufgabe gelöst.

Spaßeshalber kannst du ja dein Zahlenbeispiel vom Anfang, wo du die Determinante berechnet und die Gleichung nach aufgelöst hast, einmal daraufhin testen, ob und auf der Geraden liegen. -Wert einsetzen, -Wert muß herauskommen.

Und für eine vollständige Lösung wäre noch ein Sonderfall zu behandeln. Wann legen denn und eine Gerade nicht eindeutig fest?

Neben den vielen Formeln aus der Schule hast du jetzt eine weitere Zwei-Punkte-Form einer Geraden kennengelernt, die mit der Determinante arbeitet.
migrosch Auf diesen Beitrag antworten »

super danke dir Big Laugh

ich hab es auch getestet und stimmt alles soweit.

ich hatte desweiteren noch einen denkfehler drin.

ich dachte, es liegt entweder (a,b) oder (c,d) auf der geraden. aber es liegen ja alle beide punkte darauf.

für den sonderfall hab ich keine richtige antwort parat.

ich denke allerdings, wenn a=c und b=d

denn dann kann die gerade ja einen positiven oder negativen anstieg haben und durch den punkt (a=c,b=d) gehen
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