Komplexe Zahlen - Fünfte Wurzel

03.02.2010, 12:59	juergen12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen - Fünfte Wurzel Hallo, ich habe eine Frage. Und zwar weiß ich, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray}$ ist, nun habe ich aber $\begin{eqnarray} \sqrt[5]{-32i} \end{eqnarray}$ . Wie löse ich das auf? Ich habe zwei ansätze, weiß abewr leider nicht, was richtig und was falsch ist 1.Einfach in: $\begin{eqnarray} \sqrt[5]{-1}\sqrt[5]{32i} \end{eqnarray}$ umwandeln um dann $\begin{eqnarray} i\sqrt[5]{32i} \end{eqnarray}$ zu bekommen. 2. Umwandeln in $\begin{eqnarray} \sqrt[5]{-1}\sqrt[5]{32i} \end{eqnarray}$ und dann in $\begin{eqnarray} i2i} \end{eqnarray}$ umwandeln. Wegen 32 = 2^5 ? Mit freundlichen Grüßen
03.02.2010, 13:01	juergen12345	Auf diesen Beitrag antworten »
bei dem fehler steht: $\begin{eqnarray} i2i \end{eqnarray*}$
03.02.2010, 13:15	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen (Nach dem Linkaufruf zweimal nachhaken!) Das 5.te-Wurzel-Zeichen ist bei komplexem Radikand problematisch: Es ist ohne besondere Uebereinkünfte nicht eindeutig.
03.02.2010, 13:19	juergen12345	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht bin ich auch zu doof. die aufgabe lautet Lösen der Gleichung und Angabe in kartesischen Koordinaten. Gleichung ist die folgende: $\begin{eqnarray} (z-(1-i))^5=-32i \end{eqnarray*}$
03.02.2010, 13:41	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die rechte Seite darstellt als (-2i)^5, was ja leicht überprüft werden kann, ist es leicht, die Lösung z1=1-3i zu finden. Wie du aber wissen musst, gibt es 5 Lösungen. Die anderen 4 können mit der Polarform gewonnen werden.
04.02.2010, 18:34	juergen12345	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh also bei dem 1-i in der klammer sollte 1+i stehen. dann wäre eine lösung z = 1-i oder? wie geht das denn mit der polarform? ich habe da raus $\begin{eqnarray} z = \sqrt{2}e^{i-\frac{\pi}{4}} \end{eqnarray}$ und jetzt?
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04.02.2010, 19:33	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die verbesserte Lösung stimmt. Dein z in Polarform nützt nichts. Du musst die 5. Wurzel ja aus -32i ziehen, also hierfür die Polarform suchen. Ziehe mich jetzt zurück, aus Zeitgründen.
04.02.2010, 19:37	juergen12345	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, trotzdem danke. kann mir dann jemand anders sagen, wie man die polarform von -32i bekommt? bin da sehr ratlos!
04.02.2010, 21:15	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} w^{5} = -32i = 32e^{i\pi} \end{eqnarray}$ Für w gibt es 5 Lösungen: Man zieht die 5. Wurzel von 32, das ist 2. Und man teilt den Polarwinkel pi durch 5; das ergibt die erste Lösung w1. Für die übrigen Lösungen w2, w3, w4, w5 addiert man zum Polarwinkel pi/5 sukzessive immer wieder einen Fünftel des Vollwinkels von 2pi, also 2pi/5. Die fünf Lösungen w1, w2, w3, w4, w5 bilden in der gaussschen Ebene ein reguläres Fünfeck mit Zentrum 0, Umkreis-Radius 2 und Ecken-Polarwinkel pi/5, 3pi/5, pi, 7pi/5, 9pi/5. Jetzt ist gemäss Aufgabe die kartesische Form zu finden. Wegen z = w+1+i hat man sodann leicht auch die 5 Lösungen der Gleichung in kartesischer Form. (Und Schluss für heute)

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