Einführung von Zahlbereiche

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Johie Auf diesen Beitrag antworten »
Einführung von Zahlbereiche
Hallo ihr alle,

ich setze mich zur Zeit mit der Einführung der Zahlbereiche auseinander. Dies kann sowohl mengentheoretisch wie auch aus Zeichenreihen vollzogen werden.

Mir ist allerdings nicht so richtig klar, welche Methode besser oder schlechter ist, kann mir da jemand helfen?

LG Johie
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einführung von Zahlbereiche
Meinst du mit «mengentheoretisch», dass rationale Zahlen Aequivalenzklassen von Paaren von ganzen Zahlen sind?
Und der andere Weg würde neue Symbole «a/b» schaffen, für die man die Gleichheit definieren muss und mit denen man dann rechnen lernt?
Der erfragte Entscheid hängt davon ab, welches Publikum du hast.
Johie Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mengentheoretisch werden die rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren von ganzen Zahlen eingeführt, d. h. Zahlen sollen durch Bildung von Mengen gebildet werden.

Und im anderen Fall werden Zahlen als endliche lange Zeichenreihen betrachtet.

Die Einführung der N, Z und Q erfolgt nach meinem Bruch zuerst durch Zeichenreihen.. Dann werden die R aber als Fundamentalfolgen rationaler Zahlen eingeführt und danach führt man schließlich die N, Z, Q mengentheoretisch ein...

Und ich frage mich halt, welche Vor- und Nachteile die jweiligen Methoden haben...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ein Drittel mit «0.333 333 333 333» eingeführt wird, dann ist es vergeudete Zeit.
Oder was wäre in diesem Fall die endliche Zeichenreihe? «1/3»?
Johie Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also nach dem Buch wird das so beschrieben:

Eine Zeichenreihe p/q mit einer ganzen Zahl p und einer von 0 verschiedenen natürlichen Zahl q, wobei p und q teilerfremd sein, heißt rationale Zahl.

Also wäre es ja der Bruch...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt begreife ich mehr.
Diese symbolische Einführung kommt einem entgegen, sie repetiert (psychologisch betrachtet) ungefähr den Prozess,
den man durchmachte, als man zum allerersten Mal Brüchen begegnete. Aber es gibt auch
Nachteile: Die so eingeführten Brüche haben plötzlich ganz verschiedene «Namen», so sind etwa 1/3 und 2/6 Namen derselben Zahl. Die symbolische Einführung sichert eine «Vorstellung» der neuen Zahlen, ohne die die abstrakte
mengenbasierte Einführung schwer verständlich wäre. Letztere bietet aber dann auch mehr:
Die neuen Zahlen werden aufbauend aus den alten im Rahmen der Mengenlehre «konstruiert».
1/3 bzw. (1,3) ist dann ein Repräsentant der entsprechenden Aequivalenzklasse.
Ich finde, du solltest beides (in der genanntenReihenfolge!) lesen, um das Maximum an Gewinn zu haben...

(Nachtrag: Wenn du bei den Fundamentalfolgen anlangst, lies doch vorher noch irgendwo, was ein Dedekindscher Schnittt ist. Ich denke, das macht das Thema erträglicher ...)
 
 
Johie Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich lese auch beides, da ich mich mit beiden Einführungen auseinander setzen muss..

Habe das auch soweit verstanden, was du beschrieben hast, aber jetzt frage ich mich, gibt es auch Probleme bzgl der N und Z? Man baut ja Z auf N und Q auf Z auf, kommt es dann erst bei Q zu dem beschriebenen Problem oder gibt es bei den anderen Zahlsystemen auch schon Schwierigkeiten?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schritt von N auf Z ist sicher der einfachere, entsprechend ist der Zusatzgewinn
der mengentheoretischen Einführung möglicherweise geringer.
Johie Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also lässt sich zusammenfassend sagen, dass die Enführung über Zeichenreihen eigentlich einfacher (anschaulicher) ist als die mengentheoretische Einführung. Es aber letztlich irgendwann zu Verständnisschwierigkeiten kommt Bsp: rationale Zahlen.

Bei der mengentheoretischen Einführung geht man plötzlich mit abstrakteren Darstellungen um, die jedoch präziser sind (wenn man das so sagen kann).

Ein weiterer "Vorteil" besteht beim Übergang von den Zeichenreihen auf die mengentheoretische Einführung darin, dass das mathematische Universum so vereinfacht werden kann... (steht zu mindest im meinem Buch)

Was genau bedeutet das? Wieso wird es vereinfacht, wenn es andererseits abstrakter wird?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Verständnisschwierigkeiten würde ich nicht unterschreiben, eher Unschönheiten.
Es ist unschön, wenn man nebst Sätzen über die Objekte (Bruchrechnen) auch noch
Metasätze über die Objektsprache (Kürzen, Erweitern) hat. Man kürzt ja keine rationale Zahl,
sondern ihren Namen (von denen sie viele hat).

Mit vereinfachen meint das Buch wohl, dass man nur Mengen hat.
Aus der Menge der natürlichen Zahlen konstruiert man mit den geläufigen Mengenoperationen alle anderen Zahlen-Mengen.
Johie Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, aber das macht man doch bei den Zeichenreihen auch oder nicht? Zuerst führe ich die N ein und dann leitet man daraus die Z und Q ab oder nicht?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »


P bedeutet hier die Potenzmenge.
(rationale Zahlen sind gewisse Teilmengen der Produktmenge ZxZ)

Wie tönt das in der Version der Zeichenketten? Sicher nicht so einfach.
Johie Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht so recht? Wieso ist das nicht so einfach? Weil es bei den Zeichenreihen keine Potenzmengen gibt, also diese nicht definiert sind oder wieso?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Mache doch einen Vorschlag, wie es aus deiner Sicht aussehen muss, wo es doch so einfach ist.
Johie Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, es ist nicht einfach, glaube dir das ja auch, aber die Potenzmenge an sich ist doch bei den Zeichenreihen trotzdem nicht definiert oder?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Eben deshalb behaupte ich ja, dass es nicht so einfach geht.
Im Uebrigen sind die beiden Wege stilistisch unterschiedlich, machen aber inhaltlich dasselbe.
Man sollte darüber eigentlich nicht zuviele Worte verlieren.
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