Analysis 1

03.02.2010, 18:59

baldStudent

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Analysis 1

Hallo Leute,

kann mir Jemand hierbei helfen.
Wie fange ich hier an um das zu einem Widerspruch zu führen?

Mit Hilfe des Prinzips des indirekten Beweises zeige man, dass

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \forall p\in P \left(\frac{p}{n^{2}}<=>\frac{p}{n} \right) \end{eqnarray*}$

eine wahre Aussage ist. Hier bezeichnet $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Menge der natürlichen Zahlen und $\begin{eqnarray*} P\subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Menge aller Primzahlen

03.02.2010, 19:04

wisili

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RE: Analysis 1
Das Zeichen «<=>» zwischen Termen kenne ich nicht.
Mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ wäre es klar.

03.02.2010, 19:17

Airblader

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Vermutlich war das hier gemeint (vermutlich weiß wisili dies aber auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N ~\forall p \in \mathbb P ~:~ p|n^2 ~\Leftrightarrow~ p|n \end{eqnarray*}$

- Was bedeutet Teilbarkeit formal?
- Wie funktioniert das Prinzip des indirekten Beweises?
- Setze damit an; wie weit kommst du?

air

03.02.2010, 19:25

angehenderstudent

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die Aufgabe ist 1 zu 1 abgetippt.

die eigentliche Aufgabe ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{p}{n^{2}}<=>\frac{p}{n} \end{eqnarray*}$

und das ist "mit Hilfe des Prinzips des indirekten Beweises zuzeigen!

(ich musste mich mit diesem Namen Registrieren, weil ich nicht antworten konnte unter baldStudent)

03.02.2010, 19:28

Airblader

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Tut mir leid, aber das bezweifel ich! Wo hast du das denn her?

Das, was dasteht, ist formal und inhaltlich totaler Müll. Aber wenn du davon überzeugt bist, dann kann ich dir leider nicht helfen.
Ich hatte die Aufgabe 1:1 am Anfang meines Studiums, allerdings in der von mir genannten Version.

Aber wo auch immer du sie herhast, dann wirst du uns ja auch aufklären können, was "<=>" bedeuten soll.

air

03.02.2010, 19:36

angehenderstudent

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@Airblader, ich habe deine Antwort zu spät bemerkt.

Deine Aufgabenstellung ist ähnlich, nur dass der letzte Teil tatsächlich in Klammern steht.

das was da steht hab ich doch richtig als p druch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ äquivalent zu p durch n verstanden, oder?

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03.02.2010, 19:38

Airblader

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Dann sagst du mir nun mal bitte, was die Äquivalenz zweier Terme bedeutet. Für mich ist das Unsinn und vom Gegenteil wirst du mich nicht überzeugen können.

Ich brauche in meiner Variante keine Klammern, ich habe es mit dem ":" deutlich gemacht. Aber ob nun so oder so ist egal. Der bedeutende Unterschied ist, dass ich von Teilbarkeit spreche, während du von Brüchen redest.

Schade, dass du meine Fragen nicht beantworten magst. So werden wir noch in 2 Stunden hier sitzen und nicht weiter sein.

air

03.02.2010, 19:43

angehenderstudent

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alles klar, jetzt weiß ich auch was ich falsch verstanden habe. Ich dachte, dass das Brüche sein sollen. gut dann ist das geklärt.

ich werde nun deine Tipps weiter oben anschauen und hier dann meine Ansätze hinschreiben. Einverstanden?

Falls du sonst noch einen Tipp hast, könntest du ihn in der Zwischenzeit posten.

Danke schonmal.

03.02.2010, 19:45

Airblader

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Zitat:

Original von angehenderstudent
ich werde nun deine Tipps weiter oben anschauen und hier dann meine Ansätze hinschreiben. Einverstanden?

Und zwar gänzlich Freude

Freude

Zitat:

Falls du sonst noch einen Tipp hast, könntest du ihn in der Zwischenzeit posten.

Hab' ich!
Aussagenlogisch gilt

$\begin{eqnarray*} \left( p ~\Leftrightarrow~ q\right) ~\equiv ~ \left((p \Rightarrow q) ~\wedge~ (p \Leftarrow q)\right) \end{eqnarray*}$

p und q sind also äquivalent, wenn p aus q und q aus p folgt.
Der Beweis der Äquivalenz zerfällt also in zwei Teilbeweise. Auf diese (oder einen davon) wendest du den indirekten Beweis an.
Mit welchem wir anfangen überlasse ich dir. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

03.02.2010, 19:55

angehenderstudent

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irgendwie komm ich mit diesen Zeichen hier nicht klar. wo bekomme ich das Zeichen für Teilbarkeit und für die Negation her

03.02.2010, 19:56

Airblader

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Das Teilbarkeitszeichen bekommst du mit dem normalen "|" auf der Tastatur (Alt Gr + ">"). Das Negationszeichen erhälst du mit "\neg".

air

03.02.2010, 20:05

angehenderstudent

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Danke Air

smile

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "

Annahme: $\begin{eqnarray*} p|n^{2} \wedge \neg\left(p|n\right) \end{eqnarray*}$

da hab ich jetzt das Problem, dass ich nicht weiß wie ich weiter machen soll.

03.02.2010, 20:15

Airblader

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Wir wollen "=>" zeigen, d.h.: $\begin{eqnarray*} p|n^2 ~\Rightarrow~ p|n \end{eqnarray*}$

Die Gegenannahme dazu lautet aber nicht so, wie du das gesagt hast. Wie
kommst du darauf?

Negiere mal allgemein die Aussage "p => q".

air

03.02.2010, 20:27

angehenderstudent

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$\begin{eqnarray*} \neg \left(p\right)\Rightarrow \neg\left(p\right) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \left(\neg \left(p\right)\vee q \right) \end{eqnarray*}$

so würde ich das machen und dabei würde mir auffallen, dass ich weiter oben ein $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ zuwenig hab verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \neg\left(p|n^{2} \right)\Rightarrow \neg\left(p|n\right) \end{eqnarray*}$ ?

oder

$\begin{eqnarray*} \left(\neg \left(p|n^{2}\right)\vee p|n \right) \end{eqnarray*}$ ?

so richtig?

03.02.2010, 20:38

Airblader

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Aus "p => q" wird also "nicht p => nicht q"?

Nehmen wir mal das Beispiel: Wenn die Lampe leuchtet, muss man das Öl wechseln.

Demnach wäre es bei dir: Wenn die Lampe nicht leuchtet, muss man das Öl nicht wechseln.

Das kann nicht stimmen, denn: Was, wenn die Lampe kaputt ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Besser wäre: Wenn man das Öl nicht wechseln muss, leuchtet die Lampe nicht*.

Es ist also für "p => q" viel eher "nicht q => nicht p".

Wir wollen also zeigen: $\begin{eqnarray*} p|n^2 ~\Rightarrow~ p|n \end{eqnarray*}$ und dann können wir annehmen, $\begin{eqnarray*} p\not| ~n \end{eqnarray*}$ und müssen daraus folgern, dass dann auch $\begin{eqnarray*} p \not|~ n^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Verwenden wir nun diese Annahme. Was bedeutet sie formal?

air

*) Wie so oft hat dieses Beispiel "rein theoretisch" Schwächen. Könnte ja auch eine Fehlschaltung vorliegen oder so. Aber seien wir mal nicht so pingelig.

03.02.2010, 20:46

angehenderstudent

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das heißt also, dass wenn n nicht Teiler von p ist, dann ist $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ auch nicht teiler von p?

was das die Frage?

03.02.2010, 20:49

wisili

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@Airblader

... für "p => q" viel eher "nicht q => nicht p" ...

Nachdem du weiter oben aufgefordert hast: Negiere mal allgemein die Aussage "p => q"
bekommt man den Eindruck, "nicht q => nicht p" sei die Negation von "p => q".
Es ist aber die Kontraposition und es gilt Aequivalenz.

03.02.2010, 20:50

Airblader

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Andersrum: Wenn p kein Teiler von n ist, dann ist p auch kein Teiler von n².
Wenn du das zeigen kannst, weißt du, dass aus "p ist Teiler von n²" auch "p ist Teiler von n" folgt.

Zitat:

Nachdem du weiter oben aufgefordert hast: Negiere mal allgemein die Aussage "p => q"
bekommt man den Eindruck, "nicht q => nicht p" sei die Negation von "p => q".
Es ist aber die Kontraposition und es gilt Aequivalenz.

Danke für den Hinweis. Mir war es zwischenzeitlich aufgefallen, ich wollte es aber erstmal unter den Tisch fallen lassen, nachdem klar zu sein schien, was gemeint war. Du hast aber natürlich recht, die Begrifflichkeit war hier grob falsch.

Edit: Würdest du vllt. auch wieder übernehmen? Ich bin nun vermutlich erstmal etwas afk!

air

03.02.2010, 21:14

angehenderstudent

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Zusammenfassung

zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \forall p\in \mathbb P : p|n^{2}\Rightarrow p|n \end{eqnarray*}$

indirekter Beweis:

$\begin{eqnarray*} \neg \left(p|n\right)\Rightarrow \neg\left(p|n^{2} \right) \end{eqnarray*}$

so hab ich das verstanden, wie zeig ich das nun?

03.02.2010, 21:19

Airblader

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Da ich grad doch nochmal reingucke ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie gesagt: Was bedeutet Teilbarkeit formal? Also was bedeutet "p | n", wie ist das definiert?

Diese formale Definition setzst du ein, nur, dass das hier natürlich negiert steht. Die enthaltene Gleichung formst du dann geschickt um, so dass du auf entsprende (negierte) Aussage für "p | n²" kommst.

air

04.02.2010, 01:34

angehenderstudent

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Bin wieder zurück Wink

Wink

ich hab mir die Aufgabe nochmal angeschaut und hab das mal so versucht über den indirekten Beweis:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "

Annahme

$\begin{eqnarray*} p|n^{2} \wedge \neg\left(p|n \right) \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} n = q_1 \cdot q_2\cdot ...\cdot q_k, q_k\in \mathbb P \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} p\neq q_1,p\neq q_2...p\neq q_k \end{eqnarray*}$

aber auch $\begin{eqnarray*} n^{2}= q_1^{2}\cdot q_2^{2}\cdot...\cdot q_k^{2},q_k\in \mathbb P \end{eqnarray*}$

und es gilt $\begin{eqnarray*} p|n^{2} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} p|n^{2} \Rightarrow p=q_k \end{eqnarray*}$

Damit ein Widerspruch zur Annahme

in die andere Richtung analog

Feedback?

05.02.2010, 15:41

angehenderstudent

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hey Leute, kann mir da jemand sagen, ob ich das so lösen kann?

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