Orthogonalprojektion

04.02.2010, 12:47

nothingtoknow

Orthogonalprojektion

Hallo Matheboard,

ich habe hier ein Problem, dass ich noch nicht die Herangehensweise bei der Orthogonalprojektion durch und durch verstanden habe.
Speziell bei einer Aufgabe, komme ich nicht ganz zu dem Schluss, was von mir verlangt wird.

Zitat:

Gegeben sind die Vektoren v1 := (3, 1, -1, 1) und v2 := (1, -1, 1, -1) aus dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{4} \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist derjenige Vektor aus W := Span({v1, v2}), der zu u := (3, 1, 5, 1) minimalen Abstand hat. Stellen Sie u als Summe eines Vektors aus W und eines Vektors aus $\begin{eqnarray*} W^{\bot} \end{eqnarray*}$ dar.

So nun mein bisheriger Ansatz:

$\begin{eqnarray*} W^{\bot} \end{eqnarray*}$ ist ja der Kern von dem von v1 und v2 aufgespannten Untervektorraum.

$\begin{eqnarray*} W^{\bot} = ker(span(\{v_{1}, v_{2}\})) \end{eqnarray*}$
Also lösen wir das homogene Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 3 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$
Und bekommen als Lösung

$\begin{eqnarray*} W^{\bot} = \{(1, 0, 0, 0)^{T}p + (0, 1, 1, 0)^{T}q + (0, -1, 0, 1)^{T}r : p,q,r \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Gesucht ist derjenige Vektor aus W := Span({v1, v2}), der zu u := (3, 1, 5, 1) minimalen Abstand hat.

Nun, hier scheint nach dem Vektor gefragt zu sein, welcher auf u senkrecht projeziert wird (Vektorkomponente von u senkrecht zu Span({v1, v2}))
Also
$\begin{eqnarray*} v = u - proj_{span(\{v_{1}, v_{2}\})}u \end{eqnarray*}$
Mich irritiert die Einschränkung mit dem minimalen Abstand.

Zitat:

Stellen Sie u als Summe eines Vektors W und eines Vektors aus $\begin{eqnarray*} W^{\bot} \end{eqnarray*}$ dar.

Da fehlt mir gerade die Idee. Erst fiel mir ein, es als Linearkombination von der Orthogonalbasis aus W und $\begin{eqnarray*} W^{\bot} \end{eqnarray*}$ darzustellen.

Vielleicht könntet ihr mich ein bisschen in die richtige Richtung schubsen smile

Ich wäre euch dankbar.

04.02.2010, 14:47

Reksilat

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RE: Orthogonalprojektion
Hallo smile

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W^{\bot} = \{(1, 0, 0, 0)^{T}p + (0, 1, 1, 0)^{T}q + (0, -1, 0, 1)^{T}r : p,q,r \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ .

Der erste Vektor ist offensichtlich falsch. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \dim W^\bot=\dim V-\dim W \end{eqnarray*}$ . Die anderen beiden Vektoren reichen also.

Zitat:

Das Bild der Projektion auf $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist gerade der Vektor mit minimalem Abstand. Lässt sich auch recht leicht zeigen - war das nicht in der Vorlesung dran?

Du kannst aber auch einfach $\begin{eqnarray*} \|u-\alpha v_1-\beta v_2\| \end{eqnarray*}$ minimieren. Das wäre dann die unelegante Lösung.

Zitat:

Stellen Sie u als Summe eines Vektors W und eines Vektors aus $\begin{eqnarray*} W^{\bot} \end{eqnarray*}$ dar.

Da fehlt mir gerade die Idee. Erst fiel mir ein, es als Linearkombination von der Orthogonalbasis aus W und $\begin{eqnarray*} W^{\bot} \end{eqnarray*}$ darzustellen.

Mach doch mal. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

04.02.2010, 17:38

nothingtoknow

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Ich weiß auch nicht was in mich gefahren ist. Bei x1 ergab sich sich 0 und ich habe es wie eine Nullzeile behandelt und eine Variable eingesetzt. Konzentrationsfehler.

So, dann danke ich für deinen Anstoss. Es war ausreichend smile

Es kam in der Tat wohl als Bemerkung in der Vorlesung dran, habe ich mir aber nicht im Skript vermerkt, und es steht auch nicht im Skript.

Es war gar nicht notwendig $\begin{eqnarray*} W^{\bot} \end{eqnarray*}$ zu berechnen, da nach Überprüfung die vorgegebenen Vektoren v1 und v2 schon orthogonal sind und somit eine Orthogonalbasis bilden.

Somit konnte ich den Vekor aus W bestimmten.

$\begin{eqnarray*} proj_{W} u = \overset{\wedge}{v}=\frac{u \cdot v_{1}}{v_{1} \cdot v_{1}}v_{1}+\frac{u \cdot v_{2}}{v_{2} \cdot v_{2}}v_{2}<br /> \\=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{3}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}<br /> \\= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist der Vektor mit minimalen Abstand.

So und nun die Darstellung als Summe von Elementen aus W und $\begin{eqnarray*} W^{\bot} \end{eqnarray*}$

(Variablennamen sind o.B.d.A.:
Laut Definition ist $\begin{eqnarray*} v = \overset{\wedge}{v} + w \ (\overset{\wedge}{v} \in W\ und\ w \in W^{\bot}) \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} w= v - \overset{\wedge}{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.02.2010, 10:57

Reksilat

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Sehr schön! Freude

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