Implizites Euler Verfahren in Verbindung mit Newton

04.02.2010, 19:45

LukasXXX

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Implizites Euler Verfahren in Verbindung mit Newton

Hallo,

nach langem Suchen fand ich immer nur Formeln, aber kein einziges Beispiel... könnte mir jemand auf die Sprünge helfen, wie man beim impliziten Euler-Verfahren die rechte Seite mit dem Newton Verfahren nähern kann???

zB
gegeben:

y'(t)=sin(y(t))+y(t)

soweit so gut...impliziten Euler aufstellen:

Y1=Y0+h*(sin(Y1)+Y1)

...und jetzt?? Nach Y1 lösen geht nicht, also brauch ich den Newton... könnte mir jemand den Ansatz erklären??

Danke
Mfg
Lukas

04.02.2010, 19:53

LukasXXX

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Implizites Euler Verfahren in Verbindung mit Newton
Die Anfangsbedingung im Beispiel lautet y(0)=1
sorry

04.02.2010, 21:44

system-agent

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Soll es unbedingt Newton-Verfahren sein? Normalerweise reicht eine einfachere Fixpunktiteration aus:

Zuerst brauchst du einen Startwert, dazu kannst du zb. explizit Euler nutzen:
$\begin{eqnarray*} y_{it}=y_0+h\cdot(\sin(y_0)+y_0) \end{eqnarray*}$
Dann machst du eine while-Schleife mit
$\begin{eqnarray*} y_{new}=y_0+h\cdot(\sin(y_{it})+y_{it}) \end{eqnarray*}$
und weist danach $\begin{eqnarray*} y_{it} \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} y_{new} \end{eqnarray*}$ zu.

Die Abbruchbedingung für die while-Schleife kannst du setzen, dass die Fehlertoleranz $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ erreicht ist, also dass $\begin{eqnarray*} \text{err}<t \end{eqnarray*}$ gilt, wobei
$\begin{eqnarray*} \text{err}=|y_{new}-y_{it}| \end{eqnarray*}$ .

Dein neuer Wert wird dann $\begin{eqnarray*} y_1:=y_it \end{eqnarray*}$ .

04.02.2010, 21:56

LukasXXX

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Newton...
Danke mal für die Antwort!

Hm, ist das wirklich alles?

In der Aufgabenstellung ist ausdrücklich das Newton-Verfahren verlangt...

würde dazu Yn+1=xn-f(xn)/f'(xn)
reichen oder muss ich da schon mit einer Jacobi-Matrix werken?

An sich ist mir das Newton-Verfahren ja klar, ich scheitere nur daran, wie ich in dem Beispiel f' bilden soll...

Lukas

04.02.2010, 23:36

system-agent

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Du hast ja selbst schon geschrieben, dass du
$\begin{eqnarray*} y_1=y_0+h(\sin(y_1)+y_1) \end{eqnarray*}$
lösen musst. Das heisst $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ ist ein Fixpunkt der Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(t)=y_0+h(\sin(t)+t) \end{eqnarray*}$ .
Edit: diese Funktion ist leider falsch; habe ich im Beitrag unten richtig gestellt.

Versuche bitte den Formeleditor zu nutzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Also ich habe es gerade einmal versucht zu implementieren. Bei mir klappt es garnicht verwirrt

verwirrt

.

04.02.2010, 23:55

LukasXXX

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Re: -
Uppppppppsssss sorry... kann den Fred auch net bearbeiten... daher nochmal

OK in Zukunft werde ich den Editor nehmen Freude

Freude

genau gefragt ist (mit einer Schrittweite 0.1) Y(0.1)

Einen Versuch mach' ich noch...
$\begin{eqnarray*} <br /> Y_{k} ^{i+1} = Y_{k} ^{i} - \frac{F(Y_{k} ^{i})}{F(Y_{k} ^{i})} <br /> \end{eqnarray*}$
Versuch i mal als...
$\begin{eqnarray*} <br /> Y_{1} ^{1} = Y_{1} ^{0} - \frac{sin(Y_{1} ^{0})+Y_{1} ^{0}}{??????????}<br /> \end{eqnarray*}$
An der Ableitung hänge ich fest... weil ja y von t abhängt... dh was tu ich mit der inneren Ableitung?
Schätze mal ich bin auf dem totalen Holzweg Forum Kloppe

Forum Kloppe

Die vollständige Lösung wäre wirklich sehr sehr hilfreich Gott

Gott

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05.02.2010, 00:33

system-agent

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Zitat:

Original von system-agent
Das heisst $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ ist ein Fixpunkt der Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(t)=y_0+h(\sin(t)+t) \end{eqnarray*}$ .

Dann lautet die Iteration
$\begin{eqnarray*} r_{n+1}=r_n-\frac{\varphi(r_n)}{\varphi'(r_n)} \end{eqnarray*}$ .
Der Anfang wäre $\begin{eqnarray*} r_1:=y_{it} \end{eqnarray*}$ .

Ich habe den doppelten Beitrag gelöscht.

05.02.2010, 00:53

LukasXXX

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-
Ich kriegs nicht... traurig

traurig

Wenn ich die Funktion aufstelle und Werte einsetze, geht das ergebnis immer gen 0...

Yit mit dem expliziten Euler auf h=0.1 ergibt 1.184

$\begin{eqnarray*} <br /> r_{1} =1.184-\frac{1+0.1*(sin(t)+t)}{cos(t)+1}<br /> \end{eqnarray*}$

t für den ersten Durchgang = 1 richtig??

Eine fertige Lösung zu einem Beispiel wäre absolut genug, aber ich finde im ganzen Netz und in meinen Büchern nix...
da steht immer nur: Implizites Euler Verfahren: die rechte Seite der Gleichung kann, wenn sie nicht exakt berechnet werden kann, mit (...) oder dem Newton-Verfahren berechnet werden...

05.02.2010, 10:11

system-agent

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Re: -
Du musst schon meine Beiträge lesen. Ich habe dir gesagt, dass $\begin{eqnarray*} r_1=y_{it} \end{eqnarray*}$ und das musst du schon überall in die Rekursionsvorschrift einsetzen wo es verlangt ist.
Ich muss mich aber entschuldigen, dass ich für die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ die Variable $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gewählt habe. Diese Funktion hängt nicht von dem $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ aus der Differentialgleichung ab. Ich hätte besser eine andere Variable nutzen sollen, zb. $\begin{eqnarray*} \varphi(s) \end{eqnarray*}$ .

Das heisst:
$\begin{eqnarray*} r_{1} =1.184-\frac{1+0.1*(sin(1.184)+1.184)}{cos(1.184)+1}=0.304 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von LukasXXX
Eine fertige Lösung zu einem Beispiel wäre absolut genug, aber ich finde im ganzen Netz und in meinen Büchern nix...
da steht immer nur: Implizites Euler Verfahren: die rechte Seite der Gleichung kann, wenn sie nicht exakt berechnet werden kann, mit (...) oder dem Newton-Verfahren berechnet werden...

Vollständige Lösungen gibts es hier nicht, gemäss dem Boardprinzip.

05.02.2010, 11:53

wisili

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Re: -
Ich verfolge diesen thread mit Interesse, weil ich zuwenig über diese Verfahren weiss,
z.B. was ist der Vorteil des impliziten «Euler» gegenüber dem expliziten, zumal letzterer
(viel) weniger Rechenaufwand abfordert? Kann man das (bloss mit einem Hinweis) knapp andeuten? Danke!

05.02.2010, 13:03

LukasXXX

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Re: -

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Danke, alles klar!!!!!

05.02.2010, 13:06

LukasXXX

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Re: -
Habe vergessen, dass Newton ja nur für Nullstellen ist... dh umformen, dadurch ändert sich die Ableitung...
Tanzen

Tanzen

Tanzen

05.02.2010, 13:19

system-agent

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Re: -

Zitat:

Original von wisili
Ich verfolge diesen thread mit Interesse, weil ich zuwenig über diese Verfahren weiss,
z.B. was ist der Vorteil des impliziten «Euler» gegenüber dem expliziten, zumal letzterer
(viel) weniger Rechenaufwand abfordert? Kann man das (bloss mit einem Hinweis) knapp andeuten? Danke!

Für das implizite Verfahren braucht man tatsächlich mehr Rechenaufwand, aber es erfüllt eine gewissen Stabilitätsbedingung für "steife Gleichungen".
Wenn du solch eine Gleichung mit einem expliziten Verfahren lösen willst, kann es sehr schnell zu ungewollten Oszillationen kommen und diese kriegst du erst mit vielleicht äusserst kleinen Schrittweiten in den Griff.
Das ist beim impliziten Euler-Verfahren nicht der Fall; man muss nicht auf die Schrittweite aufpassen.
Das Ganze nennt sich A-Stabilität.

Edit:
Ich Holzkopf habe die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ falsch angegeben. Es ist natürlich richtig, dass das Newton-Verfahren Nullstellen sucht, anstatt von Fixpunkten.
Deshalb, will man
$\begin{eqnarray*} y_1=y_0+h(\sin(y_1)+y_1) \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ lösen, dann soll man die Funktion
$\begin{eqnarray*} \varphi(s)=y_0-s+h(\sin(s)+s) \end{eqnarray*}$
betrachten.
Also lautet das Verfahren von Newton hier
$\begin{eqnarray*} r_{n+1}=r_n-\frac{y_0-r_n+h(\sin(r_n)+r_n)}{h(\cos(r_n)+1)} \end{eqnarray*}$ .

05.02.2010, 13:34

wisili

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Vielen Dank!

Zitat:

Original von system-agent
... Dann machst du eine while-Schleife mit $\begin{eqnarray*} y_{new}=y_0+h\cdot(\sin(y_{it})+y_{it}) \end{eqnarray*}$ und weist danach $\begin{eqnarray*} y_{it} \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} y_{new} \end{eqnarray*}$ zu.
Die Abbruchbedingung für die while-Schleife kannst du setzen, dass die Fehlertoleranz $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ erreicht ist, also dass $\begin{eqnarray*} \text{err}<t \end{eqnarray*}$ gilt, wobei
$\begin{eqnarray*} \text{err}=|y_{new}-y_{it}| \end{eqnarray*}$

Kann es nicht sein, dass man die Stabilitätsprobleme beim impliziten Verfahren andernorts, nämlich in der zitierten Schleife hat? (dass man sie also bloss verschoben hat?)

05.02.2010, 13:41

system-agent

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Wieso soll diese Schleife Stabilitätsprobleme liefern?

05.02.2010, 14:10

wisili

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Ist hier das Phänomen Oszillieren nicht möglich? Denn dann wäre es ja möglich, dass das Abbruchkriterium gar nie erfüllt wird.

05.02.2010, 14:59

system-agent

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Ja, das kann sicher passieren dass das Abbruchkriterium nicht erreicht wird. Das heisst dann, dass das Fixpunktverfahren nicht konvergiert.
Den Fall den ich gemeint habe war aber, dass alles schon gut geht was das Fixpunktverfahren angeht und die numerische Lösung im Endresultat Oszillationen aufweist.

05.02.2010, 15:06

wisili

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Ja, danke. Das hatte ich schon auch so verstanden. Deshalb fragte ich mich, ob die Tatsache, dass impliziter Euler A-stabil ist, expliziter dagegen nicht, ob dieser scheinbare Vorteil auch wirklich in der Praxis noch gilt, oder ob die Probleme bloss formal von Euler weg auf die Fixpunktbestimmung (die beim expliziten Euler wegfällt) verschoben wurden.

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