Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion

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namek Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Die Funktion lautet:
fk(x) = e(kx)*[1-k*e(x)]

Die Ableitungen sind nach meinem Rechnen so:
f´k(x) = k*e(kx)*[1-k*e(x)]+e(kx)*[-k*e(x)]
= e(kx)*[k*(1-k*e(x))+(-k*e(x))]
= e(kx)*[k-k(2)*e(x)-k*e(x)]

f´´k(x) = e(kx)*[k(2)-2k*e(x)-k(2)*e(x)-k(3)*e(x)]

f´´´k(x) = e(kx)*[k(3)-2k*e(x)-3k(2)*e(x)-2k(3)*e(x)-k(4)*e(x)]

e(kx) bedeutet e hoch kx und k(2) bedeutet k hoch 2 ; [ und ] - sind die normalen Klammern

Nun benötige ich noch Nullstellen, Extrema und Wendepunkte - weitere Aspekte der Kurvendiskussion entfallen.

Ich bitte um Lösung und unbedingt auch mit jedem Teilschritt zum Nachvollziehen!

Danke Im Voraus
SaPass Auf diesen Beitrag antworten »

Guck mal hier Prinzip "Mathe online verstehen!"

Bitte nutze den Formeleditor, deine Formeln sind so nicht lesbar. Den Formeleditor findest du rechts neben dem Fenster hier unter Werkzeuge.
Bevor du dies nicht gemacht hast, denke ich nicht, dass du allzugroße Hilfe bekommst.
namek Auf diesen Beitrag antworten »

okay

Die Funktion lautet:


Die Ableitungen sind nach meinem Rechnen so:








e(kx) bedeutet e hoch kx und k(2) bedeutet k hoch 2 ; [ und ]- sind die normalen Klammern

Nun benötige ich noch Nullstellen, Extrema und Wendepunkte – weitere Aspekte der Kurvendiskussion entfallen.

Ich bitte um Lösung und unbedingt auch mit jedem Teilschritt zum Nachvollziehen!

Danke Im Voraus
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Also, Komplettlösungen wird es dazu nicht geben, siehe auch Boardprinzip.

Schauen wir mal uns mal deine Funktion an:



Wie man diese auf Nullstelleun untersucht, sollte geläufig sein. Hast du es schon probiert? Wo hakt es? Wann wird denn ein Produkt null?

Deine erste Ableitung habe ich mal angesehen, die ist in Ordnung. Nur könntest du noch zusätzlich ein k ausklammer, das macht es bei der Bestimmung der Extremstellen immer einfacher (denn bedenke, wann ein Produkt null wird). Also:



Das weitere Vorgehen ist hier analog zur Nullstellenbestimmung. Versuch's erstmal.
namek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
ok Nullstellenbestimmung erstmal


und falls dir die Ableitungen so besser gefallen na dann ist



Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Siehst du, da machst du es dir schon wieder unnötig schwer. Ich habe ja extra gefragt: Wann wird ein Produkt null?
 
 
namek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
wenn k oder x gleich 0
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Wie bitte, was? verwirrt

Nein, ien Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. In diesem Fall haben wir:



Das bedeutet: Entweder



oder



Das macht die Untersuchung doch wesentllich einfacher, oder? Was kannst du über die beiden Fälle sagen?
namek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
normalerweise wird niemals null
aber im graphen eingezeichnet gibts ne nullstelle bei k=1
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Zitat:
Original von namek
normalerweise wird niemals null

Das ist schon mal richtig. Das Problem reduziert sich also auf:



Lös das doch mal nach x auf, da wird sich eine von k abhängige Nullstelle ergeben. smile
namek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
kein plan über logarithmus
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Zitat:
Original von namek
kein plan über logarithmus

Was will mir das nun sagen? Löse erstmal nach e^x auf, logarithmiere auf beiden Seiten und verwende dann:



Das ist doch nun wirklich keine große Sache.
namek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
okay Nullstelle:


???

dann Extrema:



???


Wendepunkt:



wie weiter??

wie ihr seht sind überall bei mir Fragezeichen - kann mir jemand, dass nicht einfach vorrechnen verwirrt
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Selbst wenn ich wollte: Nein! Boardprinzip

Pass auf, ich mach für dich nun mal die Nullstelle. Da warst du eigentlich schon nahezu fertig, nur wird es dann einfach nicht zuende gerechnet. Was ist denn ln(1)? Und was ist ln(e)? Das musst du wissen! Und ohne den Logarithmus kommst du hier sowieso nicht weiter. Wenn du damit Probleme hast, wirst du dich wohl nochmal damit auseinander setzen müssen, denn das ist wirklich ein wichtiges Thema und wird dir immer wieder begegnen.







Jetzt auf beiden Seiten logarithmieren (und zwar stets den gesamten Ausdruck, nicht nur einen Teil):



Jetzt solltest du weiter kommen. Auf der rechten Seite kannst du unter Anwendung von Logarithmengesetzen noch etwas vereinfachen. Schau dazu noch mal in deinen Aufschrieb oder in dein Schulbuch. Die linke Seite sollte klar sein, das habe ich oben schon geschrieben.

So, Extrema sind nun aber deine Aufgabe. Das Vorgehen ist analog.

Edit: Du kannst natürlich bei den Nullstellen auch deinen Weg verfolgen. Das ist dir überlassen.



Was ist ln(1), und was ist ln(e)? Diese beiden Werte sollte man sowieso kennen, man kann sie sich aber auch anhand der Eigenschaften der Umkehrfunktion überlegen. Setz das ein, dann bist du auch hier fertig. Führt alles zum gleichen Ergebnis.
namek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Nullstelle



so weiter weiß ich erst mal nicht

oder nach meiner vorigen rechnung weiter:



auch hier hab ich erst mal keine ahnung
namek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
so dann kann ich ja schon mal meine nächste Frage zu Extrema vorstellen:



ist das richtig so, wenn ja gehts so weiter verwirrt



hmm ist das nu größer als Null oder kleiner - ich hab ja so gar keine Ahnung

- bitte um HILFE
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Zitat:
Original von namek

Was soll dieser Schritt? Zum einen ist das falsch, zum einen entfernst du dich da ja wieder vom Ziel. Und bei deiner Alternativrechnung:

Zitat:
Original von namek

Also entschuldige bitte, aber es kann doch nicht angehen, dass du nicht in der Lage bist, sowas richtig nach x aufzulösen.





Fertig. ist deine Nullstelle.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
Zitat:
Original von namek

Auch wieder falsch. Du kannst nicht auf der einen Seite die Summanden einzeln logarithimieren. Du musst stets den gesamten Ausdruck logarithmieren. Also erstmal vereinfachen und ausklammern:







Jetzt auf beiden Seiten jeweils den GESAMTEN Ausdruck logarithmieren. DANACH gegebenenfalls mit Logarithmengesetzen vereinfachen.
namek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion einer speziellen Scharenfunktion
so danke smile - jetzt hab ich schon mal die Nullstelle und die drei Ableitungen

bitte nochmal überprüfen, nicht das nachher alles falsch ist:




na dann gehts weiter mit Extrema und Wendepunkt:

Weiterführung von deiner Hilfe

Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Extremstelle ist in Ordnung, ja. Nun wäre noch die y-Koordinate zu bestimmen (damit wir den ganzen Extrempunkt haben), und die Art des Extremums steht auch noch aus. Dafür brauchen wir die zweite Ableitung.

Und deine zweite Ableitung scheint noch etwas falsch zu sein. Magst du da nochmal nachrechnen? So langsam wird's auch etwas unübersichtlicher, die Funktion wird auch ungemütlich für höhere Ableitungen, leider. Statt



(das ist ja deine Version) komme ich auf:



Ich würde empfehlen, dass du da noch einmal nachrechnest. Vielleicht hast du dich auch nur verschrieben. smile

Edit: Weil das bisher noch nicht angesprochen wurde: Gibt es einen festgelegten Definitionsbereich für k? Zum Beispiel k>0 oder sowas? Sollte dabei stehen. Denn für k<0 lösen sich Nullstelle und Extremum zum Beispiel schon mal in Wohlgefallen auf.
namek Auf diesen Beitrag antworten »

die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Extrem- und Wendepunkte der Funktion zu mit
Das bedeutet, dass es keinen festgelegten Definitionsbereich für k gibt.

Mit der zweiten Ableitung habe ich mich wirklich verrechnet ich komme auch wie du auf .

Die dritte Ableitung habe ich nun wie folgt raus:

So dann weiter mit dem Extrema:

Nun fehlt mir noch y und die Art des Extremums:



Leider hab ich bei beiden Funktionen keine Ahnung wie ich da weiter komme: unglücklich



Dann noch der Wendepunkt:



so da weiß ich erst mal nicht weiter

Ich bitte demnach immernoch um Hilfe - Danke
namek Auf diesen Beitrag antworten »

wenn jemand die Lösung weiß und mir weiterhelfen kann - dann schreibe bitte eine Antwort
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