allg.: Diagonalisierbarkeit, Kriterien |
| 04.02.2010, 20:06 | anninha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| allg.: Diagonalisierbarkeit, Kriterien Kurz und knackig: Wann ist eine Matrix diagonalisierbar? NUR wenn die Eigenwerte alle unterschiedlich sind? Oder zumindest auf jeden Fall, wenn alle EW unterschiedlich sind, aber vlt. auch ,wenn doppelte EW vorkommen? Ist eine reelle Matrix nur diag.bar, wenn sie reelle Nst hat? ich brauche eine griffige, eindeutige Aussage. Bitte! vielen Dank! Anninha |
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| 04.02.2010, 22:18 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Matrix ist genau dann echt-diagonalisierbar (sprich ähnlich zu einer Diagonalmatrix), wenn ihr Minimalpolynom vielfachheitenfrei in Linearfaktoren zerfällt. |
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| 05.02.2010, 09:21 | anninha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! 
Danke für die Antwort. Ist diese Antwort äquivalent zu der Aussage "...dann diag.bar, wenn keine mehrfach Nst. N1=N2 (lambdas...) für das charakt. Polynom auftreten? Es git doch auch Diag.matrizen, bei denen auf der Diagonlen 2 mal der gleich e Wert drin steht. Folglich muss es doh diagonalisierbare Matrizen geben, bei denen n1=n2 gilt. Oder sehe ich das falsch? |
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| 05.02.2010, 09:36 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist in dieser Form falsch, siehe Beispiel Einheitsmatrix. Es gibt lediglich die Implikation: Wenn das charakt. Polynom vielfachheitenfrei in Linearfaktoren zerfällt, dann ist die Matrix diagonalisierbar. Wie man an dem Beispiel Einheitsmatrix leicht sieht, hat das charakt. Polynom mehrfach identische Linearfaktoren, die Matrix ist aber trotzdem diagonalisierbar. 
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| 05.02.2010, 09:41 | anninha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab morgen ne Klausur. Da werden Matrizen aufgelistet sein. Die Aufgabe wird etwa lauten: Entscheide, ob folgende Matrizen diag.bar sind. Falls ja, gib die Diag.matrix an. Die Diag.matrix angeben ist ja über die Eigenwerte recht einfach. Kann es aber auch sein, dass ich eine nciht diag.bare Matrix "diagonalisiere", obwohl dies gar nciht geht? Wie gehe ich bei dieser Aufgabe sinnvollerweise vor, was überprüfe ich? Ob Eigenwerte da sind? Ob vielfache Eigenwerte da sind? 
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| 05.02.2010, 10:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da fängst du aber mit dem Lernen früh an. 
Vorgehensweise: 1. charakt. Polynom und Eigenwerte bestimmen. 2. zu jedem Eigenwert den Eigenraum, zumindest dessen Dimension bestimmen. 3. Ist für jeden Eigenwert dessen Vielfachheit gleich der Dimension des Eigenraums, dann ist die Matrix diagonalisierbar. |
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| 05.02.2010, 10:08 | anninha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke! 
D h ich komm nie drumrum, die Eeigenvektoren zu bestimmen. Denn f d Dimension muss ich ja wissen, wieviele EVs den Lösungsraum(Eigenraum aufspannen). Habe ich z B 3 als lambda1 und lambda2=lamba3=3 und gibt es zu lambda2/3= 3 2 EVs, dann ist die MAtrix diag.bar. Gibt es zum Eigenwert 3 jedoch nur einen Eigenvektor, ist die algebraische vielfachheit 2 und die dim des E_Raumes=geometr. vielfachheit=1. Da 1 ungleich 2 folgt: Die Matrix ist nciht diag.bar. Hab ich ds richtig verstanden? |
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| 05.02.2010, 10:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Wie gesagt: du mußt nicht zwingend Eigenvektoren bestimmen. Es reicht, wenn du die Dimension des Eigenraums kennst. Diese läßt sich ja schon an dem entsprechenden GLS ablesen. Und bei Eigenwerten mit Vielfachheit 1 ist die Dimension des Eigenraums ebenfalls gleich 1. |
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| 05.02.2010, 10:16 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ich oben geschrieben habe gilt in genau der Form wie es da steht. Die Einheitsmatrix hat das Minimalpolynom X-1 und dieses zerfällt offensichtlich vielfachheitenfrei in Linearfaktoren. Es gilt nämlich: Die Exponenten der irreduziblen Teiler im Minimalpolynom geben die Größe des größten Jordan-Blockes zu diesem Teiler in der JNF an. Folglich gilt: Die Matrix ist genau dann echt-diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom vielfachheitenfrei in Linearfaktoren zerfällt. Achtung: Minimalpolynom ist nicht das gleiche wie das charakteristische Polynom (mal abgesehen von Endomorphismen bzgl. denen der Vektorraum zyklisch ist) |
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| 05.02.2010, 10:17 | anninha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die dim des Eigenraumes erkenne ich aber doch nur, wenn ich bei er ermittlung der EV feststelle, dass "ein EV zu wenig" herauskommt. Meinst Du lediglich, dass ich es mir sparen kann, die EVs explizit zu bestimmen, wenn in der Aufgabe erwähnt wird "...die dim es Eigenraumes zum eigenwert 2 beträgt 1" und ich stelle während weiterer rechnung fest, dass es "nochmla einen EW=2 gibt? Dann kann ich auf den konkreten EV verzichten. Oder gibt es auch ohne explizite erwähnung der dimension einen Trick, der mir die Dimension verrät? 
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| 05.02.2010, 10:20 | anninha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Manus - du wolltest mcih offensichtlich verarschen. Es mag ja richti gsein, was du schreibst. Aber mit einem epsilon an Empathie dürftest Du merken, dass mit Einführung weiterer Begriffe die Sache für ein e Definitionslücke wie mcih nciht einfacher wird. 
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| 05.02.2010, 10:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und was ist mit der Matrix ? |
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| 05.02.2010, 10:30 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was soll mit der Matrix sein? Hat Minimalpolynom . Das ist nicht vielfachheitenfrei, also ist die Matrix nicht echt diagonalisierbar. |
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| 05.02.2010, 13:27 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, wenn ich mich einmische, aber: Einen Tag vor der Klausur über LA sollte der Begriff "Minimalpolynom" nicht mehr unbekannt sein... Du hast eine Frage gestellt und Manus hat rasch, knapp und korrekt geantwortet. Wenn du nun weisst, dass das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom die gleichen Teiler haben, eröffnet dir das einen weiteren Weg, wie du entscheiden kannst, ob eine Matrix diagonalisierbar ist: - Bestimme das charakteristische Polynom. - Zerfällt es nicht in Linearfaktoren, dann kann die Matrix nicht diagonalisiert werden. - Zerfällt es in lauter verschiedene Linearfaktoren, dann kann sie diagonalisiert werden. - Zerfällt es in Linearfaktoren, von denen sich min. einer wiederholt, streichst du alle Vielfachheiten und schaust, was rauskommt, wenn du deine Matrix in dieses neu entstandene Polynom einsetzest. Beispiel: Sei . Dann kannst du noch nicht wissen, ob die Matrix diagonalisierbar ist (weil du die Dimensionen der Eigenräume nicht kennst. Streiche jetzt die Exponenten: und setze deine Matrix (ich nenne sie A) in dieses Polynom P ein. Kommt bei die Nullmatrix heraus, dann ist die Matrix diagonalisierbar, denn das Minimalpolynom ist entweder P oder ein Polynom mit kleinerem Grad, also sicher ohne mehrfache Nullstellen. |
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