Potenzreihe

05.02.2010, 20:22

- Michael -

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Potenzreihe

Ich habe ein kleines Problem bei der Potenzreihenentwicklung von Funktionen:

Die Aufgabe lautet:

a) Gegeben sei die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x2}{1 - x2} \end{eqnarray*}$

Stellen Sie f durch eine Potenzreihe dar und bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe.

Wie genau löse ich diese Aufgabe, ohne die Taylorreihen zu benutzen?

Mein zweites Problem:

b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty \begin{pmatrix} n+k-2 \\ k-1 \end{pmatrix} x^{k} \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N +1 \end{eqnarray*}$

Den Konvergenzradius dieser Aufgabe wollte ich mit der Quotientenformel

$\begin{eqnarray*} R := \lim_{n \to \infty } | \frac{cn}{cn+1} | \end{eqnarray*}$

berechnen, aber die Binomialkoeffizienten machen mir zu schaffen.
Bei dem Versuch, die B.Koeffizienten in die Fakultätsschreibweise umzuwandeln, bin ich bei der Vereinfachung und der Limesbestimmung gescheitert:

1. Wie genau vereinfache ich (n-1)! ? [gibt es hierfür eine Formel wie n! = (n-1)!*n oder (n+1)! = n!*(n+1)?]

2. Wie berechne ich den Limes von einem Ausdruck mit Fakultät?

05.02.2010, 20:35

crosell

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RE: Potenzreihe
Für die erste würde ich dir empfehlen dich mit der geometrischen Reihe auseinanderzusetzen. Es gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty x^n=\frac{1}{1-x} \,\,\, (|x|<1) \end{eqnarray*}$ . Der Reihenwert sieht doch schon sehr verdächtig aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Konvergenzradius dann zu bestimmen anhand der gefundenen Reihe.

Zum 2. die Fakultät ist ein Produkt von Faktoren natürlicher Zahlen, d.h. du kannst einzelne Faktoren aus der Fakultät herausnehmen z.B. das letzte Glied $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ und es bleibt dann noch $\begin{eqnarray*} (n+1)*n! \end{eqnarray*}$ . Damit solltest du bei Anwendung der Quotientenregel eigentlich etwas kürzen können. Schreib doch mal deine bisherigen Schritte auf, d.h. bis wohin hast du umgeformt?

05.02.2010, 22:10

- Michael -

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Gibt es ein allgemeines Verfahren um eine f(x) in eine Potenzreihe umzuwandeln? Meistens sind die Funktionen ja nicht so einfach aufgebaut, wie in diesem Beispiel ...

05.02.2010, 22:12

tmo

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Ein allgemeines Verfahren gibt es nicht, aber du hast ja schon eins angedeutet, was in vielen Fällen klappt: Taylor-Reihen.

Übrigens: Meinst du $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ ?

05.02.2010, 22:16

- Michael -

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Zitat:

Original von tmo Übrigens: Meinst du $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Ja!

05.02.2010, 22:36

- Michael -

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@crosell:
Zu Aufgabe b) Konvergenzradius der Potenzreihe mit Quotientenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{\begin{pmatrix} n+k-2 \\ k-1 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} n+k-1 \\ k \end{pmatrix} } | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{k \to \infty } | \frac{(n+k-2)! \cdot k! \cdot (n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-1)! \cdot (n+k-1)!} | \end{eqnarray*}$

(n-1)! wird herausgekürzt und wie geht es weiter?
Wie genau wird (n+k-2)! vereinfacht, sodass man es mit (n+k-1)! kürzen kann und wie berechne ich den Limes von Fakultäten?

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05.02.2010, 23:06

crosell

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Was bekommst du denn heraus, wenn du bei $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ den letzten Faktor des Produktes aus der Fakultät isolierst, die Fakultät geht dann noch bis ? ebenso $\begin{eqnarray*} (n+k-1)! \end{eqnarray*}$ nimm den letzen Faktor heraus und schau was über bleibt.

Du wirst sehen, dass hier kein Grenzwert von Fakultäten zu bestimmen ist. Im Allgemeinen ist es beim Quotientenkriterium -angewandt auf Ausdrücke mit Fakultäten- eben so, dass die Fakultäten komplett verschwinden. Ein Grund das QK bei solchen Termen gleich zu probieren. Probiers aus smile

smile

06.02.2010, 14:05

- Michael -

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Vielen Dank für deinen Hinweis!

Meine neue Lösung lautet folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} = \lim_{k \to \infty } | \frac{(n+k-2)! \cdot (k-1)!\cdot k \cdot (n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-1)! \cdot (n+k-1)!} | \end{eqnarray*}$

kürzen von $\begin{eqnarray*} (k-1)! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-1)! \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} = \lim_{k \to \infty } | \frac{(n+k-2)!\cdot k}{(n+k-2)!\cdot (k-1)} | \end{eqnarray*}$

[in diesem Schritt habe $\begin{eqnarray*} (n+k-2)!(k-1) = (n+k-1)! \end{eqnarray*}$ verwendet]
durch kürzen von $\begin{eqnarray*} (n+k-2)! \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} = \lim_{k \to \infty } | \frac{k}{k-1} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{k \to \infty } | \frac{1}{1-\frac{1}{k} } | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0, somit ist der Konvergenzradius R = 1

... stimmt das, oder habe ich einen mehr oder weniger schwerwiegenden Denkfehler in meiner Rechnung?

06.02.2010, 15:07

crosell

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Soweit ich das sehe hast du noch einen Fehler drin, nämlich stimmt meines Erachtens nach die Umformung:

Zitat:

[in diesem Schritt habe $\begin{eqnarray*} (n+k-2)!(k-1) = (n+k-1)! \end{eqnarray*}$ verwendet] durch kürzen von $\begin{eqnarray*} (n+k-2)! \end{eqnarray*}$ folgt:

nicht. Denn $\begin{eqnarray*} (k -1) \end{eqnarray*}$ ist nicht der letze Faktor von $\begin{eqnarray*} (n+k-1)! \end{eqnarray*}$ , der letzte Faktor ist eher $\begin{eqnarray*} (n+k-1) \end{eqnarray*}$ und wenn man den isoliert ist der davor eben um eins niedriger. Freude

Freude

Danach kürzen und den übrigen Term anschauen. Aber der Konvergenzradius stimmt denke ich. Hab den gleichen raus, das $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ wird doch fest gewählt, daher kann man den überbleibenden Term gut abschätzen.

06.02.2010, 15:09

TommyAngelo

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Zitat:

Original von - Michael -

[in diesem Schritt habe $\begin{eqnarray*} (n+k-2)!(k-1) = (n+k-1)! \end{eqnarray*}$ verwendet]
durch kürzen von $\begin{eqnarray*} (n+k-2)! \end{eqnarray*}$ folgt:

Da ist ein Fehler drin.

EDIT: Hier war wohl jemand schneller Big Laugh

Big Laugh

06.02.2010, 15:42

- Michael -

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Vielen Dank euch allen für eure Hilfe!

06.02.2010, 16:54

- Michael -

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Sorry, aber ich komme mit der Aufgabe a) noch nicht zurecht:

Gegeben sei die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Stellen Sie f durch eine Potenzreihe dar und bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe.

Ich hab' mir die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} (| x | < 1) \end{eqnarray*}$ kurz (oder auch etwas länger) angeschaut, weis aber nicht, wie man den Rest von f(x) in eine Potenzreihe umwandelt.

Wir haben das in der Vorlesung nicht explizit behandelt, nur als Übungsaufgabe ...

Kann mir vielleicht jemand von vorne erklären, was ich beachten muss?

06.02.2010, 17:01

crosell

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Teile den Term durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und ziehe ein Vorzeichen heraus. Dann sollte dir ne gemeinsamkeit auffallen. Der Gedanke der Lösung baut darauf auf, dass die geometrische Reihe innerhalb des Konvergenzradius gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wie konkret das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ in der geometrischen Reihe aussieht ist dabei nicht festgelegt, solange der Term betragsmäßig kleiner eins bleibt. Dies macht man sich z.b. bei der Darstellung rationaler Zahlen durch geeignete geometrische Reihen zu nutze.

06.02.2010, 18:46

- Michael -

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Die Gemeinsamkeit von f(x) und der geometrischen Reihe habe ich erkannt. Mir ist der Zusammenhang aber immer noch unklar (sorry, Brett vorm Kopf)

Um einen Lösungsvorschlag zu geben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{1-x^2} = x^2 \cdot \frac{1}{1-x} \cdot (- \frac{1}{1-x} ) \end{eqnarray*}$

Hier bin ich schon wieder am Ende mit meinem Latein ... wird die geom. Reihe einfach eingesetzt und was ist $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ?

Sollte ich die Potenzreihen zu verschiedenen Funktionen auswendig lernen, oder wie kommt man auf diese Darstellung?

**************************************************

Beim Lernen bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Entwickeln Sie

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1-x}{1-x-2x^2} \end{eqnarray*}$

in eine Potenzreihe um x0 = 0

Die Lösung dazu lautet:

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{1-2x} + \frac{2}{1+x} ) \end{eqnarray*}$ das ist klar ...

Wir betrachten x0 = 0. Dann erhalten wir

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-2x} = \sum \limits_{v=0} ^ \infty 2^vx^v \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} | x |<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ???

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1+x} = \sum \limits_{v=0}^ \infty 2 (-1) ^ v x ^ v \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} | x | < 1 \end{eqnarray*}$ ???

also gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3} \sum \limits_{v=0} ^ \infty (2 ^ v + 2 (-1) ^ v) x ^ v \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} | x | < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ das leuchtet mir auch ein ...

Könnte mir jemand erklären, wie ich von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-2x} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{v=0} ^ \infty 2^vx^v \end{eqnarray*}$ kömme? Wo genau ist der Zusammenhang?
Gibt es dafür ein bestimmtes System, das man einfach anwenden kann, ohne lang nachdenken zu müssen?

06.02.2010, 19:04

crosell

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Hmm du hast nicht unbedingt das gemacht was ich meinte. Na gut ich helf dir mal auf die Sprünge.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{1-x^2}=\frac{1}{\frac{1-x^2}{x^2}}=\frac{1}{\frac{1}{x^2}-1}=-\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$ . Sooo und nun haben wir eine Form gefunden die entspricht doch sehr einem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ oder? Wie könnte denn nun die geometrische Reihe dazu aussehen?

Zu deiner Beispielaufgabe die zeigt es doch wunderbar, wie man durch Zerlegung eines Quotienten in zwei Terme auf die geometrische Reihe kommt. Und man muss nicht lange nachdenken, denn wenn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ sich m.H. der geometrischen Reihe für $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ausdrücken lässt, ist es wohl nicht schwer zu erraten, dass sich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-2x} \end{eqnarray*}$ eben auch mit ner geometrischen Reihe mit $\begin{eqnarray*} x= \end{eqnarray*}$ ? ausdrücken lässt. Na dämmerts smile

smile

06.02.2010, 19:16

crosell

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Du hattest noch Fragezeichen hinter die Konvergenzradien deiner Beispielreihen gemacht. Es ist klar, dass man bei einer abgewandelten geometrischen Reihe natürlich den Konvergenzradius neu untersuchen muss. Dafür gibt es einschlägige Regeln, wie z.b. die Cauchy-Hadamard-Formel (die aus dem Wurzelkriterium resultiert) oder der Vergleich hinreichend später Glieder der Reihe mit dem Resultat aus dem Quotientenkriterium. Soll heißen, wenn du die geometrische Reihe gefunden hast, musst du natürlich noch herausfinden, für welche x sie konvergiert.

06.02.2010, 19:54

- Michael -

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Zuerst mal: Vielen Dank für deine Geduld ! smile

smile

Aber ich glaube, ich werde sie wieder strapazieren müssen ...

Mein Lösungsansatz ist:

$\begin{eqnarray*} (- \frac{1}{1-\frac{1}{x^2} } ) = \sum\limits_{k=0}^\infty 1^k \cdot x^(-2k) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} 1^k \end{eqnarray*}$ ist natürlich nicht unbedingt nötig, ich würde nur gerne wissen, ob ich die Struktur dieser Reihen verstanden habe ...

06.02.2010, 19:59

crosell

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Wenn du damit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{x^2})^k \end{eqnarray*}$ meinst stimmt es fast, nur eine Kleinigkeit hast du wohl noch vergessen, da steht doch noch ein Minus irgendwo oder? Und wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} 1^k \end{eqnarray*}$ , in welchem Zusammenhang würde das hier überhaupt auftreten, ich wüsste keinen?

06.02.2010, 20:32

- Michael -

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sorry, das Minus hab' ich ganz übersehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty -(\frac{1}{x^2})^k \end{eqnarray*}$

06.02.2010, 20:51

- Michael -

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Das $\begin{eqnarray*} 1^k \end{eqnarray*}$ kommt von diesem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1+x} = \sum\limits_{k=0}^\infty 2(-1)^kx^k \end{eqnarray*}$

Davon habe ich mir folgende Vorgehensweise abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1-(-b)x} = \sum\limits_{k=0}^\infty a(-b)^kx^k \end{eqnarray*}$

wahrscheinlich ist das zu simpel, aber samstag abend bin ich nicht mehr so konzentriert, wie ich es eigentlich sein sollte ...

06.02.2010, 21:52

crosell

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Deine Reihe stimmt jetzt. Die Vorgehensweise wäre eher $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a\cdot(-bx)^k=a\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k(bx)^k=\frac{a}{1-(-bx)}=\frac{a}{1+bx} \end{eqnarray*}$ sofern $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist, sonst musst du umformen, wie bei deiner Aufgabe.

06.02.2010, 22:11

- Michael -

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Vielen, vielen Dank, jetzt hab ich's kapiert! smile

smile

smile

smile

Prost

Lesen1

06.02.2010, 23:12

crosell

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Super

Freude

Prost

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