Fakultät Teilbarkeit

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Auraya Auf diesen Beitrag antworten »
Fakultät Teilbarkeit
Ich soll diese Aufgabe als Hausarbeit in Heuristik bearbeiten:

Zeigen Sie: Das Produkt von n aufeinander folgenden ganzen Zahlen ist stets durch n! teilbar.

Meine erste Überlegung war, dass n aufeinanderfolgende Zahlen durch n die Reste 0,...,n-1 hinterlassen. Damit wäre mindestens eine Zahl durch n teilbar. Nun müsste eine weitere Zahl durch n-1 teilbar sein usw., doch irgendwie finde ich da keien Beweismöglichkeit.

Leider bin ich mit der Kombinatorik nicht so bewandert.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fakultät Teilbarkeit
du müsstest praktisch beweisen dass mit gilt.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Einschränkungen kann man k>0 annehmen(warum?), betrachte dann einen bestimmten Binomialkoeffizienten
Auraya Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn k=0 ist, dann ist das Produkt 0 und 0 durch irgendwas bleibt 0.
Muss ich aber bei k>0 nicht auch noch irgendwas zu einem negativen k sagen. Vom Prinzip her spielt das Vorzeichen ob + oder - ja hier keine Rolle, oder?

(Sorry, wenn das jetzt blöd klingt für euch. Ich bin nicht der Überflieger in Mathe, sondern will nur an eien Realschule ^^)

Edit:



Würde es dann so gelten?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein es passt noch nicht ganz. Schau dir einmal den Zähler noch einmal an
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Darstellung des Binomialkoeffizienten der nur aus einem Quotienten von Fakultäten besteht ist hier nicht geeignet (Es sei denn du wandelst dein Beweisproblem soweit ab).

Es gibt noch eine allgemeinere, die nur im Nenner die gewünschte enthält und im Zähler einen Term der dir helfen könnte.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ist nachzuweisen, dass der (gemäß der allgemeineren Definition gebildete) Binomialkoeffizient für alle ganzzahlig ist.

1.Für geht das durch Induktion über , indem man die vom Pascalschen Dreieck her bekannte Identität nutzt, siehe hier.

2.Für ist sowieso .

3.Und für kommt man schließlich über auf Fall 1 zurück.
Auraya Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für eure Hilfe.

Ich werde mich die Woche damit wieder befassen und mir das hie rnochmal genau durchlesen und durchdenken. Wenn dann Fragen aufkommen, melde ich mich hier dann.

Die Geschichte soll am 27.2 abgegeben werden.

Liebe Grüße
Auraya
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