wie effektiv Minimalpolynom bestimmen?

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kendo? Auf diesen Beitrag antworten »
wie effektiv Minimalpolynom bestimmen?
Tag zusammen,

wie gehe ich denn sinnvoll an die Aufgabe heran, das Minimalpolynom einer 4x4-Matrix zu bestimmen, deren sämtliche Einträge 1 sind?

Leider kann ich es nicht, das schöner zu gestalten aber die Matrix sieht dann natürlich so aus:


1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1


Wenn ich jetzt das Minimalpolynom bestimmen will, wie gehe ich dann effektiv vor?
Ich hätte zuerst das Charakteristische Polynom bestimmt, aber alleine das ist ja schon einigermaßen ein Akt ... oder gehe ich da zu komplizierte Wege?

Ich hätte A mithilfe von Elementarmatrizen diagonalisiert - aber das sind ja schon einige Schritte ... und davon kann ich ja das Char. Pol. leicht bestimmen ...

dann habe ich zwar immer noch nicht das Minimalpolynom, aber eigentlich ist mein Problem, dass der Weg bis hierher schon sehr langwierig ist und ich eigentlich den Eindruck habe - so wie die Aufgabe gestellt ist - dass das leichter gehen müsste.

Jemand Ideen wie man dass effektiver gestalten könnte?

Danke auf jeden Fall schon Mal,
kendo
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sei ein fester Vektor. Kennst du die Aussage, dass die Matrix diagonalisierbar ist mit den Eigenwerten 0 ((n-1)-fach) und (einfach)?
kendo? Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, aber ich versteh leider nicht, was du meinst.

was beschreibt denn x0x0^T ? (sorry für die armselige Gestaltung)

Mir ist nicht klar, wie das eine Matrix beschreibt ...

Ich denke auch, dass ich den Satz bis dato noch nicht kannte. Wovon leitet sich der denn ab? Von diesem Vorgehen mit den Elementarmatrizen?

Aber so der existiert, wäre das natürlich ein weit einfacherer Weg ...

Wenn du mir bloß noch diese Schreibweise erklären könntest - dann wüsste ich auf welche Matrizen ich das anwenden kann.


Danke für die flinke Antwort!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Aber auch wenn man den Satz von WebFritzi nicht kennt, kann man das aus ihm folgende Ergebnis gewinnbringend einsetzen.

Es sei das charakteristische Polynom der Matrix. Man kann nun leicht sehen, daß und gilt. Setze dazu einfach in die Matrix



die entsprechenden Werte ein und weise in beiden Fällen die lineare Abhängigkeit der Zeilen nach (im ersten Fall trivial, im zweiten eine fast offensichtliche Rechnung). Es folgt



Und vielleicht hat man Glück, und ist schon das Minimalpolynom. Dazu setzt man für die Matrix ein und berechnet das Produkt der beiden Matrizen.
kendo? Auf diesen Beitrag antworten »

Tag,

danke nochmals für die Antworten.

Jo, habe mittlerweile auch verstanden, was der Satz von WebFritzi bedeutet. Aber ich bin mir auch sicher noch nicht von ihm gehört zu haben. Nuja, in Zukunft weiß ich es - vielen dank dafür.

Aber ohne diese Kenntnis bliebe mir nur der harte Weg über die Elementarumformungen?

Danke auch für deine erklärungen, Leopold. Aber mir war schon klar, dass das Ergebnis passt, wenn man es einsetzt. Aber mein Problem war ja darauf zu kommen, nicht dann zu überprüfen, ob ein Ergebnis passt.

kendo
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kannte den Satz von WebFritzi auch nicht. Es ist allerdings sehr leicht, in seiner Situation das Minimalpolynom zu bestimmen.
Sei dazu ein Spaltenvektor und der daraus durch Transponieren entstehende Zeilenvektor. Dann sind



eine Matrix und ein Skalar. Mit sei die Einheitsmatrix bezeichnet. Dann gilt:



Also ist das Minimalpolynom von .

Und was in deinem konkreten Fall ist, sollte klar sein.
 
 
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