Konstruiere Matrix mit Bild/Kern

08.02.2010, 21:40

9mb0

Konstruiere Matrix mit Bild/Kern

Hallo,

die Aufgabe lautet:

Konstruieren Sie eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \in M(3,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} ker(L_B) =<\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im(L_B)=<\begin{pmatrix}\sqrt{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

so jetzt hab ich zwar ein Ergebnis, aber nicht wirklich einen Lösungsweg dafür.

Wäre nett wenn mir den jemand liefern könnte.

Mit freundlichem Gruß

9mb0

08.02.2010, 21:59

tmo

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Definiere eine lineare Abbildung durch

$\begin{eqnarray*} f(k_1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(k_2)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix}\sqrt{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dabei sind $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \end{eqnarray*}$ die beiden Vektoren im Kern und x ein dazu linear unabhängiger Vektor.

Berechne dann die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren um die Matrix zu bestimmen.

08.02.2010, 22:16

9mb0

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hm puh,

also was du mir geschrieben hast ist mir soweit klar,

nur wie soll ich die Bilder der Einheitsvketoren, ich denke das ist das selbe wie die Standardbasis =), berechnen wenn ich keine Abbildungsvorschrift habe.

also ok ich kann sagen

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber deshalb hab ich ja noch keine Abbildungsvorschrift, wär nett wenn du mir noch etwas auf die Sprünge helfen könntest.

MfG

9mb0

08.02.2010, 23:21

tmo

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Nunja mit $\begin{eqnarray*} e_1 = \lambda_1k_1+\lambda_2k_2+\lambda_3x \end{eqnarray*}$ gilt ja auch $\begin{eqnarray*} f(e_1)=\lambda_1 f(k_1)+\lambda_2 f(k_2)+\lambda_3 f(x)=\lambda_3f(x) \end{eqnarray*}$ .

09.02.2010, 01:15

WebFritzi

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Nur mal nebenbei: Für eine Matrix A gilt

$\begin{eqnarray*} Im(L_A) = <a_1,a_2,a_3>, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ die Spaltenvektoren von A sind.

09.02.2010, 07:49

9mb0

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Wäre dann meine Matrix

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

??

MfG

9mb0

09.02.2010, 11:15

tmo

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Zitat:

Original von 9mb0
Wäre dann meine Matrix

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sieht denn Kern dieser Matrix aus? Stimmt er mit deinen Vorgaben überein?

09.02.2010, 13:39

9mb0

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Der Kern wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt somit nicht überein.

Habe mittlerweile eine Lösung für mein Problem. Ich finde die auch ganz eingängig...

sie wäre:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, das die mittlere Spalte meiner Matrix 0 sein muss:

dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & 0 & a_3 \\ b_1 & 0 & b_3 \\ c_1 & 0 & c_3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass die erste Spalte meiner Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein muss.

Also weiter:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & a_3 \\-\frac{1}{2} & 0 & b_3 \\ 3 & 0 & c_3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist eine mögliche Matrix B gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{2} & 0 &\frac{\sqrt{2}}{6} \\ 3 & 0 & -\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bedanke mich für euer Bemühen, und ein anderer Weg wäre mir auch recht Augenzwinkern

MfG

9mb0

09.02.2010, 14:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von 9mb0
Der Kern wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, dass der Kern kein Vektor ist, stimmt deine Behauptung auch nicht, wenn du Mengenklammern darum machst. Der Kern deiner Matrix ist <(0,1,0),(0,0,1)>.

09.02.2010, 21:00

9mb0

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ja stimmt, war blödsinn...

Danke für die Berichtigung.

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