G nicht-abelsch - |G|=2^m - o(g)=4

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09.02.2010, 14:31	Matthias21	Auf diesen Beitrag antworten »
G nicht-abelsch - \|G\|=2^m - o(g)=4 Frage: Ist eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} \|G\|=2^m , m \geq 2 \end{eqnarray}$ dann gibt es ein Element $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} o(g) = 4 \end{eqnarray}$ . Meine Idee: <g> ist Untergruppe von G , also: $\begin{eqnarray} \|<g>\| teilt \|G\| = 2^m \end{eqnarray}$ Wende ich eine Induktion an: Anfang: m=2 : \|G\| = 4 , dann existiert ein g mit G=<g> , dann ist o(g) = 4 Schritt: m -> m+1 : $\begin{eqnarray} \|G\| = 2^m 2 = 2^{m-1} * 4 \end{eqnarray}$ , dh: $\begin{eqnarray} 4 teilt \|G\| \end{eqnarray}$ also findet man ein Element g aus G, sodass $\begin{eqnarray} <g>=U \leq G \end{eqnarray*}$ mit \|U\| = \|<g>\| teilt G. Hieraus folgt also, dass es solche g aus G gibt, die Teiler der Gruppenordnung sind. Also gibt es insbesondere ein solches g aus , dass o(g) = 4 ist. das war meine Idee im groben. Geht das in die richtige Richtung, oder ist das total abwegig?
09.02.2010, 17:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ordnung von g ist immer ein Teiler der Gruppenordnung. Du hast nicht gezeigt dass o(g) = 4 ist, es könnte genausogut o(g) = 2 sein für alle g in G. Führe dies aber zum Widerspruch mit nicht-abelsch
09.02.2010, 21:45	Matthias21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja sowas hab ich mir gedacht. HAbe da heute Mittag schon keinen Zusammenhang gesehn. Habe mir jetzt nochmal gedanken darüber gemacht , aber ich sehe da leider immernoch keinen Zusammen zwischen G abelsch , und dass die ordnung von g aus G dann 4 sein muss. Welche Auswirkug hat hat nicht-abelsch denn auf das Erzugnis von g? <g>={e,g²,...} , das weiss ich, aber es ist doch offensichtlich dass gg = gg , also nicht abelsch würde daran doch auch nichts ändern? Daher schätze ich mal, dass das nicht-abelsch iwo anders eingehen muss Nur WO? mfG
09.02.2010, 22:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige: Hat jedes Element Ordnung 1 oder 2 so ist die Gruppe abelsch. Das ist eine einzeilige Rechnung
09.02.2010, 22:22	Matthias21	Auf diesen Beitrag antworten »
hm o(g) = 1 heisst dass g = e is und o(g) = 2 -> <g> = {e, g} hm ok wenn ich mir jetzt im Hinterkopf behalte, dass <g> immer Untergruppe von G ist... a,b aus <g> Fall1: ab = e e = b * a , also abelsch Fall2: a ungleich b: ab = e b = b = b e , also auch abelsch Fall3: a = b: 1) ab = ee , siehe Fall1 , 2) ab = aa = b * a , also auch abelsch das war jetzt nicht eine Zeile. also nehme ich an, dass das nicht der Sinn der Sache war. Aber was stelle ich sonst mit o(g)=1 oder 2 an?
09.02.2010, 22:31	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zwei beliebige Elemente g und h betrachten, nicht nur g oder e! Es gilt also $\begin{eqnarray} g^2 = h^2 = e \end{eqnarray}$ und zu zeigen ist nun $\begin{eqnarray} gh = hg \end{eqnarray}$
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09.02.2010, 22:44	Matthias21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja! Das hatte ich auch, hat mich aber nicht weitergeführt.... weil : g * h = g * h * e = g * h * g^2 h * g = h * g * h^2 vielleicht überseh ich da auch etwas? Wenigstens bin ich mal froh, dass ich vor der Idee mit e und g wenigstens auf dem richtigen Weg war
09.02.2010, 22:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ein letzter Tipp: Es ist auch (gh)^2 = e
09.02.2010, 23:06	Matthias21	Auf diesen Beitrag antworten »
das war mir auch keine Hilfe. $\begin{eqnarray} e = (gh)^2 = g^2 h^2 = h^2 g^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g h = g g^2 h^2 h = g h h^2 g^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g h = g^2 h^2 g h \end{eqnarray}$ ich hab irgendwie jedes mal das problem, dass ich g und h nicht aneinander vorbei bekomme.... das war sowieso die ganze zeit mein problem. iwie hilft mir das auch nich weiter dass e = (gh)^2 is Ich denke, dass ich mal ne Nacht drüber schlafe... das scheint mir grade zu einfach zu sein
10.02.2010, 18:05	Matthias21	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, es hat alles nichts ergeben. Einzige Idee war noch, dass e = (gh)^2 = g^2 h^2 = h^2 g^2 = (hg)^2 , woraus aber eig nicht folgt, dass gh = hg . Also bin ich nicht schlauer als vorher entweder ma noch n Tipp geben , oder halt zeigen wies geht...
10.02.2010, 21:22	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
(gh)^2 = g^2 h^2 ist gut, schau das mal genauer an

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