Existenz und Eindeutigkeit eines Interpolationspolynoms

09.02.2010, 16:58

Janeway

Existenz und Eindeutigkeit eines Interpolationspolynoms

Ich soll beweisen, dass es ein eindeutig bestimmtes Polynom $[latex]p_{n} [/latex]$ vom Grad höchstens n gibt mit

$[latex]p_{n}(k)=2^{k}, k=0,1,...n[/latex]$

Ich bin ein wenig verwirrt, weil ich den Beweis einfach fand. Vielleicht habe ich es mir ja zu einfach gemacht und etwas wichtiges noch nicht gezeigt.

Die Aufgabenstellung erfordert, dass ich erstens die Existenz und zweitens die Eindeutigkeit eines solchen Polynoms zeige.

Für die Existenz habe ich auf die Lagrange-Form des Interpolationspolynoms zurück gegriffen:

$[latex]\exists L(x)=\sum\limits_{i=0}^n l_{i}(x)y_{i}[/latex]$

wobei $[latex]y_{i}=2^{i} [/latex]$ also die Zweierpotenzen sind und wenn man sich einmal eines der $[latex]l_{i}[/latex]$ s anschaut: $[latex]l_{0}(x)=\frac{x-1}{-1} \cdot \frac{x-2}{-2} \cdot ... \cdot \frac{x-n}{-n} = (1+x) \cdot \frac{2+x}{2} \cdot ... \cdot \frac{n+x}{n} [/latex]$

dann sieht man, dass das wirklich Polynome sind.
Womit ich der Ansicht wäre, dass ich die Existenz bewiesen hätte.

Eindeutigkeit scheint mir auch nicht viel schwerer zu sein:
Angenommen $[latex]\exists q_{n}(t)=2^t, t=0,1,...,n[/latex]$ und $[latex]q\in \Pi_{n}[/latex]$ .
Dann gilt: $[latex]p-q=r\in \Pi_{n}[/latex]$ , weil $[latex]\Pi_{n}[/latex]$ Vektorraum ist.
Weiterhin gilt: [latex]r(x_i)=p(x_i)-q(x_i)=0, i=0,1,...,n[/latex]

[latex]r(x_i)=p(x_i)-q(x_i)=0, i=0,1,...,n[/latex]

.
Damit hat r n+1 Nullstellen und ein Polynom n-ten Grades mit n+1 Nullstellen verschwindet. Mit anderen Worten $[latex]r=0\Rightarrow p=q[/latex]$ .

Womit obige Behauptung bewiesen wäre.
Ist da irgendwo ein Haken?

09.02.2010, 17:03

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WebFritzi

RE: Existenz und Eindeutigkeit eines Interpolationspolynoms

Zitat:

Original von Janeway
Eindeutigkeit scheint mir auch nicht viel schwerer zu sein:
Angenommen $[latex]\exists q_{n}(t)=2^t, t=0,1,...,n[/latex]$ und $[latex]q\in \Pi_{n}[/latex]$ .
Dann gilt: $[latex]p-q=r\in \Pi_{n}[/latex]$ , weil $[latex]\Pi_{n}[/latex]$ Vektorraum ist.
Weiterhin gilt: [latex]r(x_i)=p(x_i)-q(x_i)=0, i=0,1,...,n[/latex]

.
Damit hat r n+1 Nullstellen und ein Polynom n-ten Grades mit n+1 Nullstellen verschwindet. Mit anderen Worten $[latex]r=0\Rightarrow p=q[/latex]$ .

Bis auf die Tatsache, dass du hier die Variablen durcheinanderschmeißt und neue benutzt, ohne sie einzuführen, ist das vom Prinzip her ok. Aufgeschrieben ist es eher schlecht.

09.02.2010, 17:11

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Janeway

Aha, ok. Danke.

Ich will es aber auch mathematisch korrekt aufschreiben.

Wie würde man das ordentlich machen?

09.02.2010, 17:13

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WebFritzi

Glaubst du etwa, ich schreib dir das jetzt auf? unglücklich

Ich würde sagen, dass du dich daran versuchst und wir dir sagen, was ok ist und was nicht.

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