Erwartungswert, Verteilungen, Schätztheorie

10.02.2010, 13:08

sandra1989

Erwartungswert, Verteilungen, Schätztheorie

Hallo,
ich schreibe am Wochenende meine Stochastikklausur und bin mir bei einigen Sachen noch unsicher, so z.B. bei folgendem:
$\begin{eqnarray*} E_{\mu, \sigma^2}[\sum\limits_{k=1}^n (X_k - \hat \mu)^2] = E_{\mu, \sigma^2}[\sum\limits_{k=1}^n X^2_k - n \hat \mu^2]<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{\mu, \sigma^2}[\sum\limits_{k=1}^n (X_k - \mu)^2] = \sigma^2 \end{eqnarray*}$
Warum gelten diese beiden Aussagen?

In der Klausur dürfen wir keinen Taschenrechner benutzen, weswegen ich mir gedacht habe, dass wohl nicht alle Verteilungen vorkommen können. Von den bei uns behandelten wären das meiner Meinung nach: neg. binominal, Exponential, Poisson, Normal und hypergeometrische Verteilung die wohl schwer ohne Taschenrechner auszurechnen sind.
Teilt ihr meine Meinung, dass dann wohl eher nur Laplace, Bernoulli, Binomial (für kleine Proben), geometrische und Gleichverteilung realistisch sind?

Dann noch eine Frage zu diskreten Verteilugen. Hab ich das richtig verstanden, dass diskret einfach nur bedeutet, dass ich eine abzählbare Menge (Stichprobe) habe?

Und zu guter letzt zwei Fragen zur Schätztheorie:
1. Wenn ich einen Maximum-Likelihood-Schätzer bestimmen möchte. Wann darf ich das durch ableiten machen? (Welche wären für die Klausur wohl realistisch? Einige sind ja recht schwer zu bestimmen)
2. Wir müssen bei den ML-Schätzern auch immer zeigen, ob sie erwartungstreu (klar) und konsistent sind. Letzteres bedeutet ja soviel, wie dass sich die Schätzung für große Stichproben dem wahren Wert immer mehr nähert. Zurückzuführen ist dieses auf das schwache Gesetz der großen Zahlen. Ist es korrekt, dass dieses IMMER erfüllt ist, falls ich unabhängig verteilte Zufallsvariablen habe?

Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir bei meinen Fragen helfen könntet!

10.02.2010, 18:52

sandra1989

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Mag mir keiner helfen?

10.02.2010, 19:29

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Zitat:

Original von sandra1989
$\begin{eqnarray*} E_{\mu, \sigma^2}[\sum\limits_{k=1}^n (X_k - \hat \mu)^2] = E_{\mu, \sigma^2}[\sum\limits_{k=1}^n X^2_k - n \hat \mu^2]<br /> \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \hat \mu \end{eqnarray*}$ macht mich etwas stutzig, denn gewöhnlich bezeichnet man damit den Schätzer von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ selbst. In dem Fall wäre die Gleichung i.a. falsch. unglücklich

Die richtige Gleichung

$\begin{eqnarray*} E_{\mu, \sigma^2}[\sum\limits_{k=1}^n (X_k - \mu)^2] = E_{\mu, \sigma^2}[\sum\limits_{k=1}^n X^2_k - n \mu^2]<br /> \end{eqnarray*}$

kann man folgendermaßen beweisen: Innen gemäß binomischer Formel ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} (X_k - \mu)^2 = X_k^2 - 2\mu X_k + \mu^2 \end{eqnarray*}$ ,

und dann die Linearität des Erwartungswertes nutzen, dabei noch das vermutlich vorausgesetzte $\begin{eqnarray*} E_{\mu, \sigma^2}[X_k] = \mu \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Zitat:

Original von sandra1989
$\begin{eqnarray*} E_{\mu, \sigma^2}[\sum\limits_{k=1}^n (X_k - \mu)^2] = \sigma^2 \end{eqnarray*}$

Das dürfte falsch sein, sofern ich mal annehme, dass bei euch $\begin{eqnarray*} E_{\mu, \sigma^2}[(X_k - \mu)^2] = \sigma^2 \end{eqnarray*}$ für alle k vorausgesetzt wird. Denn dann kommt wiederum unter Beachtung der Linearität des Erwartungswertes der Wert

$\begin{eqnarray*} E_{\mu, \sigma^2}[\sum\limits_{k=1}^n (X_k - \mu)^2] = n\sigma^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von sandra1989
In der Klausur dürfen wir keinen Taschenrechner benutzen, weswegen ich mir gedacht habe, dass wohl nicht alle Verteilungen vorkommen können. Von den bei uns behandelten wären das meiner Meinung nach: neg. binominal, Exponential, Poisson, Normal und hypergeometrische Verteilung die wohl schwer ohne Taschenrechner auszurechnen sind.
Teilt ihr meine Meinung, dass dann wohl eher nur Laplace, Bernoulli, Binomial (für kleine Proben), geometrische und Gleichverteilung realistisch sind?

An Spekulationen beteilige ich mich nicht, da ich euren Unterricht/Vorlesung nicht kenne.

Zitat:

Original von sandra1989
Dann noch eine Frage zu diskreten Verteilugen. Hab ich das richtig verstanden, dass diskret einfach nur bedeutet, dass ich eine abzählbare Menge (Stichprobe) habe?

Hier verwechselst du Verteilung einer Zufallsgröße mit der Entnahme einer Stichprobe aus einer solchen verteilten Grundgesamtheit - beides hat nur mittelbar was miteinander zu tun.

Diskret heißt eine Verteilung genau dann, wenn nur abzählbar viele Werte auftreten können.

Mit Stichproben kann man das nicht erklären, denn die sind per Defintion immer endlich, also können in denen naturgemäß auch immer nur endlich viele Werte auftreten - selbst wenn man diese Stichprobe aus einer stetig verteilten Grundgesamtheit zieht.

Zitat:

Original von sandra1989
1. Wenn ich einen Maximum-Likelihood-Schätzer bestimmen möchte. Wann darf ich das durch ableiten machen?

Wenn die Likelihoodfunktion stetig differenzierbar ist - und zwar durchgehend über den gesamten in Frage kommenden Parameterbereich! Gibt es "Knickstellen" oder gar Sprünge, dann sind die eben gesondert zu betrachten - wie es eben notwendig ist bei dieser Art Extremwertproblem. Das ist also kein spezifisch stochastisches Problem.

12.02.2010, 17:43

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Mag die Fragestellerin nicht antworten?

Soviel in Sachen Drängelei, von wegen eilig und so. Augenzwinkern

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