Quadraturformel: Ein Knoten gegeben, Rest optimal bestimmen

10.02.2010, 18:03	Studentin Elena	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadraturformel: Ein Knoten gegeben, Rest optimal bestimmen Hallo, ich habe ein Ansatzproblem bei folgendem Aufgabentyp: Gegeben ist das Intervall I=[-1,1] und ein Knoten x0 = -0.5. Bestimmen soll ich nun den Knoten x1 und die Gewichte, sodass die Quadraturformel eine möglichst hohe Ordnung bekommt. Was ich verstanden habe: - Zu gegebenen Knoten die Gewichte berechnen (Interpolationspolynom aufstellen mit Lagrange-Polynomen, dann eben integrieren) - Eine Gaußquadraturformel aufstellen indem ich die Polynome orthogonalisiere und dann die NST bestimme. Bei dem hier fehlt mir leider der Ansatz. Vermutlich ist die Lösung x1=0.5, aber ich weiß nicht warum und wie sich das berechnet. Auf die Gewichte komme ich dann selber denke ich. Lg. Elena
12.02.2010, 13:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadraturformel: Ein Knoten gegeben, Rest optimal bestimmen Was ist die maximale Ordnung, die man mit 2 Knoten erreichen kann? Wie überprüft man die Ordnung einer Quadraturformel? $\begin{eqnarray} I_1(f)=\omega_0f(x_0) + \omega_1f(x_1) \end{eqnarray}$ Ordnung 1: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1} 1dx \stackrel{!}= \omega_0 \cdot p_0(x_0) + \omega_1\cdot p_0(x_1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 \stackrel{!} = \omega_0 + \omega_1 \Leftrightarrow \omega_1 = 2-\omega_0 \end{eqnarray}$ Ordnung 2: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1} xdx \stackrel{!}'= \omega_0 \cdot p_1(x_0) + \omega_1\cdot p_1(x_1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \stackrel{!}= \omega_0 \cdot x_0 + \omega_1 \cdot x_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \stackrel{!}= \omega_0 \cdot (-0.5) + (2-\omega_0) \cdot x_1 \end{eqnarray}$ Hieraus einen Zusammenhang erstellen. Division durch 0 ausschließen. Ordnung 3 betrachten.
12.02.2010, 21:41	die OP	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das hat mir sehr geholfen damit klappt es natürlich. Auf diese einfache Idee bin ich im Numerik-Wirr-Warr gar nicht mehr gekommen. Lg

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