Dualraum

11.02.2010, 14:09

BanachraumK_5

Dualraum

Definiere $\begin{eqnarray*} E' := L(E, \mathbb{K}) = \{\varphi:E \rightarrow \mathbb{K}: \varphi\ linear + stetig\} \end{eqnarray*}$ also E' der sogenannte Dualraum von E wobei E ein normierter Vektorraum sei. Wir versehen natürlich E' mit der Operatornorm

$\begin{eqnarray*} \vert\vert \varphi \vert\vert := \sup_{x \not= 0}\frac{\vert\vert\varphi x\vert\vert}{\vert\vert x \vert\vert} \end{eqnarray*}$

Habe jetzt mal ne allgemeine Frage wie gehe ich denn explizit vor, wenn ich ein solches PHI angeben möchte. Bei Wikipedia ist diesbezüglich eine Tabelle angegeben:

http://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum

Was mich da ein wenig verwirrt ist die Tatsache, dass da auch immer ein Skalarprodukt dabei steht (Dualität). Wieso das? Wir brauchen gem. Definition kein Skalarprodukt, lediglich einen normierten Raum, der nicht unbedingt ein Skalarprodukt induziert.

11.02.2010, 15:20

BanachraumK_5

Auf diesen Beitrag antworten »

bitte in Analysis verschieben
OK. Gruß, Reksilat

12.02.2010, 01:49

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dualraum

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Was mich da ein wenig verwirrt ist die Tatsache, dass da auch immer ein Skalarprodukt dabei steht (Dualität).

Das ist kein Skalarprodukt, sondern nur eine Notation. Bei $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ z.B. (Dualraum: $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ ) ist $\begin{eqnarray*} \langle f,g\rangle = \phi(f), \end{eqnarray*}$ wobei

$\begin{eqnarray*} \phi : L^1\to\mathbb K,\quad\phi(f) = \int\,fg\,d\mu \end{eqnarray*}$

mit einem $\begin{eqnarray*} g\in L^\infty. \end{eqnarray*}$ Zu jedem $\begin{eqnarray*} \phi\in (L^1)' \end{eqnarray*}$ gibt es solch ein $\begin{eqnarray*} g\in L^\infty. \end{eqnarray*}$ Andersherum definiert jedes $\begin{eqnarray*} g\in L^\infty \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \phi\in (L^1)' \end{eqnarray*}$ gemäß der obigen Definition. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} g\mapsto\phi \end{eqnarray*}$ ist sogar ein isometrischer Isomorphismus zwischen den Räumen $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (L^1)'. \end{eqnarray*}$ Deswegen kann man diese beiden Räume miteinander identifizieren.

Diese Skalarproduktschreibweise (man schreibt auch manchmal $\begin{eqnarray*} \langle f,\phi\rangle \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \langle f,g\rangle \end{eqnarray*}$ ) finde ich aber auch höchst verwirrend.

12.02.2010, 20:47

roman2

Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe auch erster Absatz des geposteten Artikels:
$\begin{eqnarray*} \langle \cdot,\cdot\rangle\colon\ V^* \times V \rightarrow K,\ \langle f,x\rangle = f(x) \end{eqnarray*}$
(Find ich auf den ersten Blick einlaeuchtender als den vorherigen Erklaerungsversuch. Auch wenn es den gleichen Zusammenhang darstellt)
Das ganze wird als Skalarprodukt geschrieben, weil es eine Bilinearform ist.

12.02.2010, 21:33

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von roman2
Siehe auch erster Absatz des geposteten Artikels:
$\begin{eqnarray*} \langle \cdot,\cdot\rangle\colon\ V^* \times V \rightarrow K,\ \langle f,x\rangle = f(x) \end{eqnarray*}$

Dann ist die Verwendung in der Tabelle aber falsch, denn da steht nicht <f,x> mit f aus V*, sondern <f,x> mit f aus L^\infty, also einer Funktion f anstatt einem Funktional.

Wenn du also nochmal drüber nachdenkst, findest du meinen Beitrag vielleicht doch einleuchtend.

13.02.2010, 12:36

BanachraumK_5

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal möchte ich auf folgenden Mißstand aufmerksam machen:

$\begin{eqnarray*} E' := L(E, \mathbb{K}) = \{\varphi:E \rightarrow \mathbb{K}: \varphi\ linear + stetig\} \end{eqnarray*}$

Bei Wikipedia ist der Dualraum, als die Menge der linearen! Abbildungen definiert. Fehlt da nicht noch die Stetigkeit (haben wir so definiert).

Sei nun H ein Hilbertraum, dann können wir wg. dem Rieszeschen Darstellungssatz in der Tat
unseren Dualraum durch eine bijektive Abbildung identifiezieren;

Definiere für $\begin{eqnarray*} x \in H \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi_x \in H' := L(H, \mathbb{K}) = \{\varphi:E \rightarrow \mathbb{K}: \varphi\ linear + stetig\} \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} (*)\ \varphi_x(y) := <y,x> y \in H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_x \end{eqnarray*}$ ist dann linear und stetig:

Cauchy Schwarz liefert nämlich: $\begin{eqnarray*} | \varphi_x(y) | = |<y,x> | \le \vert\vert y \vert\vert \cdot \vert\vert x \vert\vert\ \forall y \in H \end{eqnarray*}$

Wir stellen also fest, dass wir die Elemente aus dem Dualraum explizit angeben können (für mich wichtig damit ich es mir vorstellen kann, womit ich überhaupt rechne.)

So und jetzt kommen wir zu der Abbildung

$\begin{eqnarray*} \langle \cdot,\cdot\rangle\colon\ H^* \times H \rightarrow \mathbb{K},\ \langle \varphi_x,y\rangle = \varphi_x(y) = < y, x > \end{eqnarray*}$ Ich hoffe das ist so korrekt von mir aufgeschrieben?

Wir habe im Skript einen andern Weg gewählt und zwar $\begin{eqnarray*} x \rightarrow \varphi_x \end{eqnarray*}$
von der Menge $\begin{eqnarray*} H \rightarrow H' \end{eqnarray*}$

Zitat:

(Dualraum: $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ )

Das ist so nicht ganz in Ordnung, denn $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ ist nur isometrisch isomorph zum Dualraum von $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi : L^1\to\mathbb K,\quad\phi(f) = \int\,fg\,d\mu \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} g\in L^\infty. \end{eqnarray*}$

In meinem Fall wär das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wieder aus $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ also aus dem selben Raum wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt das daran dass ich mich bei meinem Beispiel in einem Hilbertraum befinde??

Mir ist beispielsweise auch nicht klar warum $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ eine Dualraum hat der sich mit $\begin{eqnarray*} l^q \end{eqnarray*}$ identifizieren lässt?? $\begin{eqnarray*} l^q \end{eqnarray*}$ ist ein VR mit Folgen als Elemente. Ein Dualraum ist doch ein Raum in dem Abbildungen drinliegen? Das verstehe ich nicht!

Zitat:

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} g\mapsto\phi \end{eqnarray*}$ ist sogar ein isometrischer Isomorphismus zwischen den Räumen $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (L^1)'. \end{eqnarray*}$ Deswegen kann man diese beiden Räume miteinander identifizieren.

Ah ja genau! Wieso kann man den Dualraum nicht direkt angeben?

13.02.2010, 19:28

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Einiges scheint bei dir noch im Unklaren zu sein.

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Zunächst einmal möchte ich auf folgenden Mißstand aufmerksam machen:

$\begin{eqnarray*} E' := L(E, \mathbb{K}) = \{\varphi:E \rightarrow \mathbb{K}: \varphi\ linear + stetig\} \end{eqnarray*}$

Bei Wikipedia ist der Dualraum, als die Menge der linearen! Abbildungen definiert. Fehlt da nicht noch die Stetigkeit (haben wir so definiert).

Das eine ist der algebraische Dualraum, das andere der topologische Dualraum.

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Sei nun H ein Hilbertraum, dann können wir wg. dem Rieszeschen Darstellungssatz in der Tat unseren Dualraum durch eine bijektive Abbildung identifizieren;

Das ist Unfug. Man kann H' mit H identifizieren, denn es gibt einen isometrischen Isomorphismus von H auf H' (der, den du unten angegeben hast).

Zitat:

Original von BanachraumK_5

Zitat:

(Dualraum: $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ )

Das ist so nicht ganz in Ordnung, denn $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ ist nur isometrisch isomorph zum Dualraum von $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Mir ist beispielsweise auch nicht klar warum $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ eine Dualraum hat der sich mit $\begin{eqnarray*} l^q \end{eqnarray*}$ identifizieren lässt?? $\begin{eqnarray*} l^q \end{eqnarray*}$ ist ein VR mit Folgen als Elemente. Ein Dualraum ist doch ein Raum in dem Abbildungen drinliegen? Das verstehe ich nicht!

Das ist doch genau so wie oben. Der isometrische Isomorphismus ist auch bei Wikipedia angegeben. Für $\begin{eqnarray*} (x_n)\in\ell^p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_n)\in\ell^q \end{eqnarray*}$ definiere

$\begin{eqnarray*} \phi((x_n)) := \sum_n\,x_ny_n. \end{eqnarray*}$

Das ist dann ein Element von $\begin{eqnarray*} (\ell^p)' \end{eqnarray*}$ , und die Abbildung $\begin{eqnarray*} (y_n)\mapsto\phi \end{eqnarray*}$ ist ein isometrischer Isomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} \ell^q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\ell^p)'. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von BanachraumK_5

Zitat:

Ah ja genau! Wieso kann man den Dualraum nicht direkt angeben?

Kann man doch:

$\begin{eqnarray*} (L^1)' = \left\{\phi_g : g\in L^\infty\right\}. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} g\in L^\infty \end{eqnarray*}$ ist dabei $\begin{eqnarray*} \phi_g : L^1\to\mathbb K,\;\phi_g(f) := \int\,fg\,d\mu. \end{eqnarray*}$

17.02.2010, 01:31

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du nicht, dass es dazugehört, sich nochmal zu melden, Banachraum?

08.04.2010, 21:27

BanachraumK_5

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Meinst du nicht, dass es dazugehört, sich nochmal zu melden, Banachraum?

Hm, doch tut mir echt leid. Du hast du mir das alles so gut erklärt und dann hatte ich keine Fragen mehr zunächst, also bitte ich inständig um Verzeihung WEB Fritzi.

So und eine Frage habe ich dann doch noch

definiere nach Riesz $\begin{eqnarray*} (l^{\infty})' = \{<\cdot,x>:l^{\infty} \rightarrow \mathbb{K}: x \in l^1\} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist es aber anders wie bei $\begin{eqnarray*} p < \infty \end{eqnarray*}$ , denn die Abbildung $\begin{eqnarray*} x \rightarrow \phi_x = <\cdot,x> \end{eqnarray*}$ ist nicht surjektiv. Nun ist es ja auch so, dass l^1 nicht reflexiv ist, denn sonst müsste $\begin{eqnarray*} l^{\infty} \end{eqnarray*}$ auch seperabel sein, was nicht der Fall ist.

Wäre außerdem $\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ der Dualraum, wäre $\begin{eqnarray*} l^{\infty} \end{eqnarray*}$ separabel.

Nun kann ich, ich hoffe es stimmt so, gemäß Webfritzis Aussage den Dualraum wie oben angeben. Meine Frage welcher Raum ist den isometrisch isomorph zu $\begin{eqnarray*} (l^{\infty})´ \end{eqnarray*}$ ??

Zweite Frage:

Zitat:

Kann man doch: $\begin{eqnarray*} (L^1)' = \left\{\phi_g : g\in L^\infty\right\}. \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} g\in L^\infty \end{eqnarray*}$ ist dabei $\begin{eqnarray*} \phi_g : L^1\to\mathbb K,\;\phi_g(f) := \int\,fg\,d\mu. \end{eqnarray*}$

Wieso schreibt man das nicht immer so?? Sondern indentifiziert den Raum dann mit $\begin{eqnarray*} L^{\infty} \end{eqnarray*}$ , wieso brütet man denn sowas aus wenn ich bezüglich des Dualraums doch eigentlich Funtkionale betrachten will?

08.04.2010, 21:33

BanachraumK_5

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das ist dann ein Element von $\begin{eqnarray*} (\ell^p)' \end{eqnarray*}$ , und die Abbildung $\begin{eqnarray*} (y_n)\mapsto\phi \end{eqnarray*}$ ist ein isometrischer Isomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} \ell^q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\ell^p)'. \end{eqnarray*}$

Aber im Fall $\begin{eqnarray*} p = \infty \end{eqnarray*}$ ist die Abbildung nicht surjektiv!

Neue Frage »

Antworten »

Dualraum

Verwandte Themen