DGL x''=sin(x)

12.02.2010, 12:32

Zari

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DGL x''=sin(x)

Hallo alle zusammen..
versuche mich grad an der dgl x''=sin(x) mit den anfangswerten x(0)=0 und x'(0)=1

dachte eigentlich es funktioniert wie immer mit umschreiben in system 1. ordnung und dann einfahc lösen.. komme da allerdings auf kein ergebnis..

muss man bei dieser dgl anders vorgehen?

danke im voraus!

12.02.2010, 12:48

saz

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Edit: Sorry, hatte deine DGL falsch im Kopf gehabt (y'' = sin x), dann bringt dir meins nichts.

12.02.2010, 12:57

wisili

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RE: DGL x''=sin(x)
Ja, es funktioniert wie immer: Integrieren, nochmal integrieren.

12.02.2010, 12:58

Mulder

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RE: DGL x''=sin(x)
Edit: Zu spät...

Und auch falsch gelesen. Das ist ja scheußlich.

12.02.2010, 13:01

saz

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RE: DGL x''=sin(x)

Zitat:

Original von wisili
Ja, es funktioniert wie immer: Integrieren, nochmal integrieren.

verwirrt

Doch aber nicht bei einer nicht-linearen DGL? Zweimal integrieren bringt doch nur was, wenn man sowas wie

x''(t) = sin(t)

hat... aber das hat Zari ja nicht geschrieben.

12.02.2010, 13:02

Zari

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muss erstmal korrigieren: der zweite anfangswert soll x'(0)=0 sein
dann kommt bei mir:

$\begin{eqnarray*} u = x' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = x'' = u' = sin(x) \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \sin(x) \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} \int \! 1 \, du = \int \!\sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} x' = -\cos(x) + C_1 - C_2 \end{eqnarray*}$

und mit dem anfangswert x'(0)=0 folgt: $\begin{eqnarray*} x' = -\cos(x) + 1 \end{eqnarray*}$

löst man des auch, folgt: $\begin{eqnarray*} x(t) = 2*\arctan( \frac{-1}{t+C_3}) \end{eqnarray*}$

bin ich auf dem richtigen weg?

nein, es ist nicht einfach x''=sin(t) sondern x''=sin(x)!

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12.02.2010, 13:16

wisili

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$\begin{eqnarray*} x'(t) = \int \! x''(t) \, dt = \int \!\sin(t) \, dt = -cos(t)+ c1 \end{eqnarray*}$ , jetzt mit x'(0) das c1 bestimmen.
$\begin{eqnarray*} x(t) = \int \! x'(t) \, dt = \int \!\-cos((t)+c1 \, dt = -sin(t)+c1\cdot t +c2 \end{eqnarray*}$ , jetzt mit x(0) das c2 bestimmen.

(Dass es heissen soll «x''=sin(x)», habe ich schlicht nicht geglaubt.)

12.02.2010, 13:20

Zari

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deine aufgabenstellung ist ja kein problem^^
aber es soll x''=sin(x) heißen..
das war eine aufgabe in einer vordiplomsprüfung

12.02.2010, 13:27

wisili

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Glaube ich nicht. Dazu wäre x'=sin(x) schwierig genug.

12.02.2010, 13:37

Zari

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und deine aufgabe wäre viel zu einfach..
nur weil du es nicht kannst heißt es nicht dass es solche aufgaben nicht gibt..

und x'=sin(x) hatten wir auf dem ersten übungsblatt.. war eigentlich kein so großes problem wenn man sich mit solchen aufgaben beschäftigt und weiß wie man substituieren muss..

Kann mir jmd bei meinem Problem noch helfen?

12.02.2010, 14:09

stereo

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RE: DGL x''=sin(x)

Zitat:

Original von Zari
Hallo alle zusammen..
versuche mich grad an der dgl x''=sin(x) mit den anfangswerten x(0)=0 und x'(0)=1

dachte eigentlich es funktioniert wie immer mit umschreiben in system 1. ordnung und dann einfahc lösen.. komme da allerdings auf kein ergebnis..

muss man bei dieser dgl anders vorgehen?

danke im voraus!

Ich würde mit x' die Gleichung multiplizieren, dann steht dort folgendes:

$\begin{eqnarray*} x''(t) \cdot x'(t) = \frac 1 2 \frac {\dd}{\dd t} x'(t)^2 = \sin(x(t)) \cdot x'(t) = - \frac{\dd}{\dd t} \cos x(t) \end{eqnarray*}$

Das kann man lösen.

12.02.2010, 14:09

wisili

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Prüfungsaufgaben sind normalerweise kein so grosses Problem ...
Aber wer soll wie und womit helfen, wenn eine Differentialgleichung gar keine elementare Lösung hat?

12.02.2010, 15:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von wisili
Aber wer soll wie und womit helfen, wenn eine Differentialgleichung gar keine elementare Lösung hat?

Na, vielleicht kennt man ja in Zaris Kurs die Funktion, die bei Mathematica "JacobiAmplitude" heißt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2010, 15:52

saz

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Interessiert mich jetzt trotzdem: Was ist denn an dem, was Zari oben gerechnet hat, dann falsch? Eigentlich ist das doch nur so eine Art Trennung der Variablen, das macht man doch bei linearen DGL auch...

12.02.2010, 15:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von Zari
$\begin{eqnarray*} u = x' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = x'' = u' = sin(x) \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \sin(x) \end{eqnarray*}$

Da sind wir falsch. Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dt} = \sin(x). \end{eqnarray*}$

EDIT: Und nein, Trennung der Variablen macht man bei einer linearen DGL NICHT.

12.02.2010, 16:03

saz

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Zitat:

Original von WebFritzi

EDIT: Und nein, Trennung der Variablen macht man bei einer linearen DGL NICHT.

Mh, ganz so allgemein würde ich das nicht sagen, bei DGL 1. Ordnung macht man es ja durchaus (oder bin ich gerade vollkommen falsch?). Aber okay, du hast natürlich recht, selbst bei linearen DGL 2. Ordnung geht es schon nicht mehr...

12.02.2010, 16:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von saz

Zitat:

Original von WebFritzi

EDIT: Und nein, Trennung der Variablen macht man bei einer linearen DGL NICHT.

Mh, ganz so allgemein würde ich das nicht sagen, bei DGL 1. Ordnung macht man es ja durchaus (oder bin ich gerade vollkommen falsch?).

Ja, das bist du. Schonmal was von der Variation der Konstanten gehört?

12.02.2010, 16:21

saz

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Zitat:

Original von WebFritzi
Ja, das bist du. Schonmal was von der Variation der Konstanten gehört?

Ja, klar. Hat aber nichts mit dem zu tu, was ich meinte verwirrt

verwirrt

... ich meinte sowas in der Art wie:

$\begin{eqnarray*} y' = (a-b \cdot y) \cdot y \end{eqnarray*}$

Dann macht man ja den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dy}{(a-b \cdot y) \cdot y} = \int dt \end{eqnarray*}$

... und das hieß bei uns Trennung der Variablen. Und danach sah das für mich oben auch aus, auch wenn du wie gesagt Recht hast, dass es bei DGL 2. Ordnung nicht mehr so funktioniert.

12.02.2010, 16:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von saz
$\begin{eqnarray*} y' = (a-b \cdot y) \cdot y \end{eqnarray*}$

Das ist keine lineare DGL.

12.02.2010, 16:26

saz

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Zugegebenermaßen. Wenn man es aber auf DGL 1. Ordnung anwenden kann, kann man es logischerweise erst recht auf lineare DGL 1. Ordnung anwenden. Meinetwegen kannst du ja auch

$\begin{eqnarray*} y' = a-b \cdot y \end{eqnarray*}$

betrachten.

12.02.2010, 16:50

Zari

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im endeffekt gings bei der aufgabe in der prüfung nur darum, den lösungsweg aufzuschreiben.. würde mich einfach interessieren, wie man diese dgl lösen würde..
einer meiner kommilitonen hat gemeint, dass man es in ein system 1.ordnung umschreibt und dann dieses system dann löst.. scheint aber in der praxis nicht so einfach zu sein^^

bei ihm wurde in der prüfung x''=cos(x) abgefragt.. da sollte der lösungsweg doch identisch sein..

12.02.2010, 16:54

wisili

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@saz
Ich finde, du hast Recht. Lineare DGL 1. Ordnung löst man doch in 2 Schritten: erst homogen, dann inhomogen.
Den ersten Schritt kann man durchaus durch Trennen der Variablen lösen (bekommt allerdings eine allgemeine Lösungsformel, sodass dieser Schritt nicht mehr für jedes Beispiel gemacht werden muss).
Den zweiten Schritt macht man durch Variation der Konstanten (manche Formelsammlungen geben sogar auch hier eine allgemeine Lösungformel an).

12.02.2010, 17:02

saz

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@wisilli Danke dir. Hatte schon überlegt, ob Analysis-Lernen vllt. zu Schäden im Verstand führt ^^. Vielleicht war's ja auch nur ein Missverständnis.

@Zari Bist du dir denn sicher, dass er nicht einfach y'' = cos(x) meinte? Dann würde das mit dem Umschreiben in ein System 1.Ordnung ja auch passen...

12.02.2010, 17:06

stereo

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RE: DGL x''=sin(x)

Zitat:

Original von stereo

Zitat:

Original von Zari
Hallo alle zusammen..
versuche mich grad an der dgl x''=sin(x) mit den anfangswerten x(0)=0 und x'(0)=1

dachte eigentlich es funktioniert wie immer mit umschreiben in system 1. ordnung und dann einfahc lösen.. komme da allerdings auf kein ergebnis..

muss man bei dieser dgl anders vorgehen?

danke im voraus!

Ich würde mit x' die Gleichung multiplizieren, dann steht dort folgendes:

$\begin{eqnarray*} x''(t) \cdot x'(t) = \frac 1 2 \frac {\dd}{\dd t} x'(t)^2 = \sin(x(t)) \cdot x'(t) = - \frac{\dd}{\dd t} \cos x(t) \end{eqnarray*}$

Das kann man lösen.

Warum wollt ihr darauf nicht eingehen? verwirrt

verwirrt

12.02.2010, 17:06

WebFritzi

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@saz: Klar, du kannst die Trennung der Variablen benutzen. Aber diese ist einfach mathematisch etwas ungenau bzw. schlampig. Daher lieber Variation der Konstanten. Und für die Lösung der homogenen Gleichung kannst du meinetwegen TdV anwenden, nur weiß man einfach, dass die Lösungen von

y' + a(x)y = 0

die Form $\begin{eqnarray*} ce^{-A(x)} \end{eqnarray*}$ haben, wobei A eine Stammfunktion von a ist. Ich würde das auch eher wie folgt lösen:

y' + ay = 0

y'/y = -a

(ln(y))' = -a

ln(y) = -A + c

$\begin{eqnarray*} y = ce^{-A}. \end{eqnarray*}$

Aber auch das ist wegen des Dividierens durch y heikel...

12.02.2010, 17:07

WebFritzi

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RE: DGL x''=sin(x)

Zitat:

Original von stereo

Zitat:

Original von stereo

Zitat:

Original von Zari
Hallo alle zusammen..
versuche mich grad an der dgl x''=sin(x) mit den anfangswerten x(0)=0 und x'(0)=1

dachte eigentlich es funktioniert wie immer mit umschreiben in system 1. ordnung und dann einfahc lösen.. komme da allerdings auf kein ergebnis..

muss man bei dieser dgl anders vorgehen?

danke im voraus!

Ich würde mit x' die Gleichung multiplizieren, dann steht dort folgendes:

$\begin{eqnarray*} x''(t) \cdot x'(t) = \frac 1 2 \frac {\dd}{\dd t} x'(t)^2 = \sin(x(t)) \cdot x'(t) = - \frac{\dd}{\dd t} \cos x(t) \end{eqnarray*}$

Das kann man lösen.

Warum wollt ihr darauf nicht eingehen? verwirrt

verwirrt

Haben wir in zwei Beiträgen getan. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2010, 17:08

Zari

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denke nicht dass der professor zwei mal den gleichen fehler macht und einmal x''=sin(x) und das andere mal x''=cos(x) abfragt.. hatte bestimmt schon seinen grund..

vllt hat ihm auch nur die antwort gereicht, dass man es in ein system 1. ordnung umschreibt und dann "einfach" löst...
diese antwort habe ich grad auch im protokoll der prüfung nachgelesen..
scheint wohl auch so zu gehen.. nur nicht ganz so einfach..

12.02.2010, 17:13

stereo

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RE: DGL x''=sin(x)

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von stereo

Zitat:

Original von stereo

Zitat:

Original von Zari
Hallo alle zusammen..
versuche mich grad an der dgl x''=sin(x) mit den anfangswerten x(0)=0 und x'(0)=1

dachte eigentlich es funktioniert wie immer mit umschreiben in system 1. ordnung und dann einfahc lösen.. komme da allerdings auf kein ergebnis..

muss man bei dieser dgl anders vorgehen?

danke im voraus!

Ich würde mit x' die Gleichung multiplizieren, dann steht dort folgendes:

$\begin{eqnarray*} x''(t) \cdot x'(t) = \frac 1 2 \frac {\dd}{\dd t} x'(t)^2 = \sin(x(t)) \cdot x'(t) = - \frac{\dd}{\dd t} \cos x(t) \end{eqnarray*}$

Das kann man lösen.

Warum wollt ihr darauf nicht eingehen? verwirrt

verwirrt

Haben wir in zwei Beiträgen getan. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich seh es irgendwie nicht. Ich lese nur dass man die DGL nicht so einfach lösen kann, aber das was ich hier geschrieben habe ist ja richtig und der Weg ist meiner Meinung nach sehr simpel.

@ Zari:

Man kann jede DGL in ein System umwandeln, aber ob das Lösen dadurch einfacher wird ist nicht gegeben.
Meine bisherigen Erfahrungen haben gezeigt, dass man durch das Umschreiben ganz gut eine Existenz der Lösung nachweisen / wiederlegen kann. Aber das ist jetzt nur meine persönliche Erfahrung.

12.02.2010, 17:16

WebFritzi

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@stereo:

Zitat:

Original von wisili
Aber wer soll wie und womit helfen, wenn eine Differentialgleichung gar keine elementare Lösung hat?

Dein Weg, um die Ordnung zu reduzieren, ist aber natürlich schön und richtig. Freude

Freude

12.02.2010, 17:20

stereo

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Kannst du mir bitte definieren, was eine elementare Lösung ist? Bei Google finde ich nichts.

Bedeutet das, dass ich die DGL mit Standartverfahren lösen kann?

12.02.2010, 17:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von stereo
Kannst du mir bitte definieren, was eine elementare Lösung ist? Bei Google finde ich nichts.

Eine Lösung einer DGL ist eine Funktion --> http://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

Zitat:

Original von stereo
Bedeutet das, dass ich die DGL mit Standartverfahren lösen kann?

Hat man dir nicht schon öfter gesagt, dass es "Standard" geschrieben wird? Außerdem gibt es kein Standardverfahren zum Lösen von DGL'en.

12.02.2010, 17:31

stereo

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Danke für den Link.

Zitat:

Original von WebFritzi
Hat man dir nicht schon öfter gesagt, dass es "Standard" geschrieben wird?

Ich könnte mich nicht daran erinnern. Aber danke für den Hinweis.

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