Mehrfachintegral berechnen

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thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrfachintegral berechnen
Hallo.

Ich bräuchte bitte eure Hilfe zu folgender Aufgabe:

"Bestimmen Sie das Integral



wobei das Integral durch folgenden Bereich begrenzt wird:

"

Das Schwierigste ist natürlich eine geeignete Transformation zu finden.

Habt ihr Tipps, wie man im Allgemeinen vorgehen kann?

Danke und Tschüss,
Thorsten
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrfachintegral berechnen
Hallo!

1. Skizze machen

2. Grenzen der Fläche feststellen, "Eck-" Punkte berechnen

3. Doppelintegral(e) mit entsprechenden Grenzen hinschreiben

4. Integrieren

Grüße Abakus smile
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mit Skizzen und Bildchen hab ich es nicht so; noch dazu ist das alles 2-dimensional - da kann ich es erst recht nicht zeichnen.
Ich wäre sehr interessiert an einer systematischen (algebraischen) Lösung, wie man aus einem gegebenen Integrationsbereich die jeweiligen eindimensionalen Integralgrenzen ermittelt. In der Vorlesung wurde das leider nicht behandelt; vermutlich gibt es auch gar kein Standardverfahren (?)

Ich kann natürlich umformen zu:



Das bringt mir aber nicht viel, denn ich muss finden, so dass:

gilt.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von thorsten_s.
mit Skizzen und Bildchen hab ich es nicht so; noch dazu ist das alles 2-dimensional - da kann ich es erst recht nicht zeichnen.


Ohne Anschauung bist du in einem schweren Nachteil und wirst solche Probleme oft nicht lösen können. Eine Punktmenge in einer Ebene - hier in einem Quadranten - zu zeichnen, ist eher elementar.

Zitat:
Ich wäre sehr interessiert an einer systematischen (algebraischen) Lösung, wie man aus einem gegebenen Integrationsbereich die jeweiligen eindimensionalen Integralgrenzen ermittelt. In der Vorlesung wurde das leider nicht behandelt; vermutlich gibt es auch gar kein Standardverfahren (?)


Nicht jede Kurve lässt sich explizit in der üblichen Form angeben, das wird also scheitern.

Zitat:
Ich kann natürlich umformen zu:



Ja, das sieht doch schon brauchbar aus. Was heißt das jetzt geometrisch?

Zitat:
Das bringt mir aber nicht viel, denn ich muss finden, so dass:

gilt.


Keineswegs, sonst könntest du ja nur über Rechtecke integrieren. Integrationsgrenzen können auch Variable beinhalten, womit sich dann zB krummlinig begrenzte Gebiete beschreiben lassen.

Damit kommst du auch hier weiter, dazu brauchst du aber zunächst eine Vorstellung von deinem Bereich B.

Grüße Abakus smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integral soll offenbar nicht direkt, sondern durch eine Substitution gelöst werden. Da bieten sich viele Transformationen an,

zum Beispiel



oder



oder auch ganz hübsch



Mit allen Transformationen



kann man das Integral auf die Form



mit konstanten Grenzen bringen. Und damit hat man den gesuchten Rechtecksbereich
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal und danke für eure Beiträge.

@ Abakus:
Wenn ich in beiden Integrationsgrenzen Variablen stehen habe, dann kommt zum Schluss beim Integrieren keine Zahl heraus, sondern ein Ausdruck, der von einer Variablen abhängt und das sollte nicht so sein. Es dürfen in den Integrationsgrenzen Variablen stehen, aber die Integrationsgrenzen des letzten Teilintegrals müssen unabhängig von Variablen sein - das dachte ich zumindest bisher immer...


@Leopold:
Wenn ich dich richtig verstehe, soll ich den Transformationssatz auf das Integral anwenden. Der Transformationssatz garantiert folgende Gleichheit



falls

Der Beweis zu dem Satz war sehr lang (ca. sechs handgeschriebene DIN A4-Seiten) und er ist schwierig nachzuvollziehen. Angewendet hab ich ihn bisher noch nie.

Ist der gesuchte Diffeomorphismus in unserem Fall die Abbildung:


Dann müsste ich noch die Jacobi-Matrix von und davon die Determinante ausrechnen.
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von thorsten_s.
@ Abakus:
Wenn ich in beiden Integrationsgrenzen Variablen stehen habe, dann kommt zum Schluss beim Integrieren keine Zahl heraus, sondern ein Ausdruck, der von einer Variablen abhängt und das sollte nicht so sein. Es dürfen in den Integrationsgrenzen Variablen stehen, aber die Integrationsgrenzen des letzten Teilintegrals müssen unabhängig von Variablen sein - das dachte ich zumindest bisher immer...


Ja, richtig. In diesem Fall bekommst du ein Doppelintegral, wobei außen Zahlen und innen eine Variable eine Rolle spielt.

Mit Leopolds Vorschlag hast du eine weitere Option und kannst es auf ein Rechteck zurückführen. Hier musst du dich überzeugen, dass deine Transformation das Rechteck auf B abbildet - auch hier ist etwas Anschauung hilfreich.

Grüße Abakus smile
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Ich habe es versucht, mit der Transformationsformel zu lösen:













Ich bin mir aber unsicher. Wird wahrscheinlich nicht stimmen, weil ich wie gesagt ungeübt bin im Anwenden der Transformationsformel.
Es wäre nett, wenn das jemand auf Richtigkeit überprüfen würde.

Ciao,
Thorsten
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Den Integranden hast du richtig transformiert, allerdings stimmen die Integrationsgrenzen nicht (jeweils die oberen).

Ganz passen übrigens die Voraussetzungen des Transformationssatzes nicht. Durch



wird nämlich der gesamte linke Rechteckrand auf abgebildet. Von Bijektivität also keine Spur. Warum die Rechnung trotzdem stimmt, liegt wohl daran, daß diese Abweichung von der Bijektivität lediglich auf Nullmengen stattfindet (eine Strecke im -Bereich bzw. ein Punkt im -Bereich). Das genauer zu untersuchen oder es auch bleiben zu lassen, bleibt dir überlassen.

Auf diese Substitution zu kommen, lag übrigens nahe. Ich habe



gesetzt, damit aus einfach und aus einfach wurde. Das nichtlineare Gleichungssystem ließ sich dann leicht nach auflösen. Dann sieht man durch Probieren, daß man letztlich auf die Wurzeln verzichten oder andere Exponenten wählen kann.
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

und danke für deine Rückmeldung.

Wenn ich in



die Integrationsgrenzen ändere in



dann müsste es korrekt sein, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von thorsten_s.
dann müsste es korrekt sein, oder?


unglücklich

Setze die Terme für in die Ungleichungen ein, die festlegen. Dann kannst du die Grenzen für unmittelbar ablesen.
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Nach dem Satz von Fubini kann ich ja die Integrale vertauschen, weil die Funktion stetig ist und auf Kompaktum definiert.

Die Integrationsgrenzen habe ich nun geändert.



Ist mein Ergebnis jetzt richtig?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von thorsten_s.
Ist mein Ergebnis jetzt richtig?


Ich komme zumindest auf dasselbe, es spricht also einiges dafür Augenzwinkern .

Grüße Abakus smile
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bin ich ja beruhigt. Augenzwinkern

Danke und viele Grüße,
Thorsten
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast du ja mal Spass die andere Berechnungsvariante auszuprobieren?

Grüße Abakus smile
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Dazu müsste ich mir das Gebiet aber graphisch veranschaulichen, damit ich die Grenzen finde und sowas dreidimensionales kann ich echt nicht zeichnen. Du müsstest mir einen Ratschlag geben, wie ich da rangehen soll. An und für sich ist aber der Transformationssatz recht praktisch, um solche Integrale auszuwerten.
wogir Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu musst du nur zweidimensional zeichnen, es interessiert nur der Bereich , über den integriert werden soll.



z.B. beschreibt die Bedingung die Fläche unter der roten Kurve, die Fläche über der grünen Kurve usw. ist dann die Fläche, die von allen Kurven eingeschlossen wird. Dann kannst du dein Integral aufteilen ala



mfg wogir
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke wogir für die Erklärung und die Zeichnung. Ich habe das Integral nun mit der anderen Methode ausgerechnet und es kommt tatsächlich das selbe Ergebnis heraus:







Gruß,
Thorsten
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, korrekt. Wobei die Integrationsgrenzen dann als Schnittpunkte der jeweiligen Graphen berechnet wurden.

Freude

Grüße Abakus smile
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