Konvergenz Reihe und GW

13.02.2010, 15:28

lilithilli1210

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Konvergenz Reihe und GW

Hi,

habe gestern eine Klausur geschrieben in Analysis I.

Folegende Reihe sollte auf Konvergenz geprüft werden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\sqrt{n} -1)^n \end{eqnarray*}$
allerdings is die Wurzel die n-te Wurzel aus n und nich die Quadratwurzel, weiß leider nicht wie man das bei Latex eingibt.

Kann mir jmd sagen, welches Konvergenzkriterium ich anwenden kann.
Mir kam die Idee des Leibnizkr. wegen der -1^n, aber die steht ja nicht seperat davor und ist auch nich einfach aus den Klammern rauszuziehen.

Also hab diese Aufgabe nicht lösen können und würde mich freuen, wenn mir jmd sagen kann, wie man da auf ne Lösung kommen kann, also welches Kriterium zu benutzen ist...

so zweites Problem war dann folgender GW:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to {\infty}} (\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$

also diesma mit Quadratwurzeln und die letzte Wurzel nicht unter der Großen.

Auch hier hab ich bis jetzt überhaupt keine Ahnung wie man da vorgehen kann, um dem GW näher zu kommen.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, damit ich das nächste Mal bescheid weiß, wie ich mit sowas umgehe.
(Hatten nämlich bis dato so gut wie nie Wurzeln in den Reihen und GWs)

LG Lili smile

smile

13.02.2010, 16:06

Felix

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Bei der Reihe hat wohl etwas mit dem Laufindex nicht hingehauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für den Fall, dass das k ein n sein sollte, probier doch mal das Wurzelkriterium. Alternativ kannst du auch mit der geometrischen Reihe majorisieren.

Auch bei deinem 2. Problem sollte beim lim wohl ein n und kein x stehen. Ist mit 3. binomischer Formel zu lösen.

lg

13.02.2010, 16:19

lilithilli1210

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Ja die Indices sind wohl nicht passend ;/ sorry

1)
ok beim wurzelkriterium hätt man dann

n-te wurzel aus dem ganzen:

also $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n} -1):=a \end{eqnarray*}$

wenn dann a<1 ist, gilt: a<q<1 und damit konvergent.

aber ist der ausdruck denn kleiner 1? eher nicht oder?

würde ja heißen dass es divergent ist... oder?

2)
wenn ich also 3. bin Formel anwende:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to {\infty}} (\sqrt{\sqrt{n-\sqrt{n} } }-\sqrt{\sqrt{n} } )( \sqrt{\sqrt{n-\sqrt{n} } }+\sqrt{\sqrt{n} } ) \end{eqnarray*}$

bringt mich das irgendwie weiter?? sehe ehrlich gesagt nicht wie...

danke trotzdem für den tip
vllt kannst du mir noch weiterhelfen...

LG Lili

13.02.2010, 16:23

Felix

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1) Beim Wurzelkriterium betrachtest du den lim sup, in dem Fall also den GW und der ist wohl eindeutig kleiner 1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

2) Du sollst in Hinblick auf die 3. binomische Formel erweitern ...

13.02.2010, 16:25

wisili

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RE: Konvergenz Reihe und GW
-- (Habe Vorgängerbeiträge übersehen)

13.02.2010, 16:43

lilithilli1210

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1) ach stimmt ja, jez hatte ich selbst vergessen dass es ja n-te wurzel is und nich quadratwurzel.

das mit dem limsup war mir klar, hatte nur vergessen es davor zu schreiben.

ok also is die reihe nach wurzelkr konvergent.

2)
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n})(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{n- \sqrt{n} -n}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})(\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n})} =\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n}\sqrt{n}}{n-\sqrt{n}+n} =\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 - n} - n}{n-\sqrt{n}+n} \end{eqnarray*}$

bin ich noch aufm richtigen Weg??

lg

EDIT: Latex verbessert, keine Zeilenschaltungen im Code. (klarsoweit)

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13.02.2010, 17:00

AD

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Zitat:

Original von lilithilli1210
jez hatte ich selbst vergessen dass es ja n-te wurzel is und nich quadratwurzel.

Sozusagen selbst ausgetrickst. Also schreib es das nächste Mal besser richtig: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der hiesige Formeleditor hatte das übrigens im Angebot.

13.02.2010, 17:06

lilithilli1210

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ja selbst ausgetrickst^^

ja habs grad gefunden im formeleditor... Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.02.2010, 19:15

TommyAngelo

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Zitat:

Original von lilithilli1210
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n})(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{n- \sqrt{n} -n}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})(\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n})} =\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n}\sqrt{n}}{n-\sqrt{n}+n} =\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 - n} - n}{n-\sqrt{n}+n} \end{eqnarray*}$

bin ich noch aufm richtigen Weg??

lg

An der Stelle bist du ja fast fertig: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})} \end{eqnarray*}$

Klammer jetzt das n innerhalb der 1. Wurzel im Nenner aus.

(In den letzten 3 Schritten hast du den Bruch nur zurück in die Ausgangsform gebracht.)

EDIT: Latex verbessert, keine Zeilenschaltungen (klarsoweit)

13.02.2010, 19:38

lilithilli1210

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also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{\sqrt{n}-1}+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(\sqrt{\sqrt{n}-1}+1)} \end{eqnarray*}$

aber damit komme ich doch immer noch nicht zum GW... unglücklich

unglücklich

13.02.2010, 19:45

TommyAngelo

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Du hast ja auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausgeklammert und es dann fälschlicherweise nach außen geschrieben.

Schau dir nur den Radikand der 1. Wurzel im Nenner an und klammer n aus.

13.02.2010, 20:22

lilithilli1210

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achso...
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n(1- \frac{1}{\sqrt{n}})}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

so??
aber was soll ich damit anfangen?? verwirrt

verwirrt

13.02.2010, 21:03

TommyAngelo

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Gut.
Jetzt kannst du die Wurzel auf die beiden Faktoren anwenden, also:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$

18.02.2010, 12:58

lilithilli1210

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so, war die letzten tage außer gefecht gesetzt.
jetzt bin ich endlich wieder einigermaßen gesund Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenn ich also jetzt wurzel n raushole:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n(1- \frac{1}{\sqrt{n}})}+\sqrt{n}}= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{1- \frac{1}{\sqrt{n}}})+\sqrt{n}}= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(\sqrt{1- \frac{1}{\sqrt{n}}})+1} <br /> \end{eqnarray*}$

so da der zweite teil der wurzel jetzt gegen 0 geht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\sqrt{1})+1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

richtig?

hab jetzt noch ne neue Aufgabe, wo ich nicht genau weiß,wie ich anfangen muss:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \end{eqnarray*}$

hatte hier die Idee, es nach oben abzuschätzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n}{\sqrt{n^8}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n}{n^4} \leq \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n^2}{n^4} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{13n^2}{n^4} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{13}{n^2} = 13 \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

der letzte Ausdruck ist ja auf jeden Fall Konvergent, fungiert also als Majorante.

Weiß aber nicht,ob alle Schritte so überhaupt erlaubt und richtig sind^^

Wäre toll wenn jmd da mal drüberschaun könnte!

LG Lili smile

smile

EDIT: Latex verbessert, keine Zeilenschaltungen (klarsoweit)

18.02.2010, 13:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von lilithilli1210
so da der zweite teil der wurzel jetzt gegen 0 geht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\sqrt{1})+1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

richtig?

Ja.

Zitat:

Original von lilithilli1210
hatte hier die Idee, es nach oben abzuschätzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n}{\sqrt{n^8}} \end{eqnarray*}$

Wieso sollte das gelten? Setze mal n=2 in den Summanden ein.

Tipp: bitte vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode. Im Internetexplorer sieht das fürchterlich aus.

18.02.2010, 13:11

lilithilli1210

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wie kann ich dann die aufgabe angehn? ist die allgemeine Idee des Majorantenkriteriums angebracht?

sorry wegen den zeilenschaltungen, werd ich in zukunft drauf achten Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.02.2010, 13:22

klarsoweit

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Zunächst mußt du dir überlegen, in welche Richtung du ermitteln willst. Für große n sieht der Summand annähernd so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{8n^2}{\sqrt{n^5}} \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege dir, was $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{8n^2}{\sqrt{n^5}} \end{eqnarray*}$ macht.

18.02.2010, 13:29

lilithilli1210

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{8n^2}{\sqrt{n^5}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{\sqrt{n}} = 8 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

das ist ja eine Nullfolge....

also konvergent?

18.02.2010, 13:36

klarsoweit

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Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist 1/n auch eine Nullfolge. Die Reihe konvergiert trotzdem nicht.

18.02.2010, 14:30

lilithilli1210

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Mist stimmt...

Umformung war aber erstmal so richtig oder?

könnte man vllt so weiterkommen?

$\begin{eqnarray*} 8 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \geq 8 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

das wäre ja ne abschätzung mit der harmonischen Reihe, so dass es dann aber bestimmt divergent ist oder?

18.02.2010, 15:03

Kühlkiste

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Zitat:

Original von lilithilli1210
Mist stimmt...

Umformung war aber erstmal so richtig oder?

könnte man vllt so weiterkommen?

$\begin{eqnarray*} 8 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \geq 8 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

das wäre ja ne abschätzung mit der harmonischen Reihe, so dass es dann aber bestimmt divergent ist oder?

Genau!

18.02.2010, 15:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von lilithilli1210
könnte man vllt so weiterkommen?

$\begin{eqnarray*} 8 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \geq 8 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Allerdings mußt du natürlich eine Abschätzung mit dem ursprünglichen Summanden machen.

18.02.2010, 18:24

lilithilli1210

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das einzige was mir gelingt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \geq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \end{eqnarray*}$

mit wurzel n^5 bekomm ich keine abschätzung vom hin...

18.02.2010, 18:32

lilithilli1210

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obwohl... was ja eigentlich auch gehen müsste:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \geq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \geq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{\sqrt{n^5+3n^5}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{\sqrt{4n^5}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{2n^2\sqrt{n}} = 4 \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \geq 4 \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

=> divergent

18.02.2010, 18:37

WebFritzi

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Zitat:

Original von lilithilli1210
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \geq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{\sqrt{n^5+3n^5}} \end{eqnarray*}$

Nein. Ist 1/4 größer als 1/3 ?

18.02.2010, 18:50

lilithilli1210

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und wennman aus der 7 auch noch ne 7n^5 macht?

18.02.2010, 19:14

WebFritzi

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Oh, ich hatte übersehen, dass du auch den einen Exponenten erhöht hast. Dann stimmt deine Abschätzung, wenn du die Summe mit n=2 beginnen lässt.

18.02.2010, 19:18

lilithilli1210

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und wennman auch noch 7n^5 unter der wurzel stehn lässt, dann müsste es doch für n=0 bis unendlich gelten.

dann hätte man halt im endeffekt nen andern faktor vor der summe stehn am ende, was ja eigenltich egal is, weils ja eh divergent ist...

18.02.2010, 20:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von lilithilli1210
und wenn man auch noch 7n^5 unter der wurzel stehn lässt

Das stand doch gar nicht da...

18.02.2010, 21:03

lilithilli1210

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doch unter der Wurzel steht noch eine +7

wenn ich dann alsoschreibe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2+5n}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \geq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{\sqrt{n^5+3n^4+7}} \geq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{\sqrt{n^5+3n^5+7n^5}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{\sqrt{11n^5}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{8n^2}{ \sqrt{11}n^2 \sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{11}} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{8}{\sqrt{11}} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

=> divergent

das müsste dann für n=0 bis unendlich gelten....

19.02.2010, 06:37

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der dritten Summe bekommst du für n=0 ein Problem.

19.02.2010, 14:05

lilithilli1210

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ja das stimmt wohl, dass das für n=0 problematisch ist, aber wie macht man das denn dann?? unglücklich

unglücklich

kann ja nich einfach die summe ändern oder?

also wie kann man das formal richtig zeigen, so dass man kein problem mit n=0 oder anderem hat...

LG Lili smile

smile

19.02.2010, 14:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von lilithilli1210
kann ja nich einfach die summe ändern oder?

Doch, das kannst du, denn eine Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\,a_n \end{eqnarray*}$

ist genau dann konvergent, wenn die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=N}^\infty\,a_n \end{eqnarray*}$

konvergiert, wobei N eine beliebige nichtnegative ganze Zahl ist.

19.02.2010, 15:00

lilithilli1210

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danke.

hab ich bis jez gar nich gewusst^^

aber es ist ja schon logisch^^

also vielen vielen Dank an alle, die mir bei meinen Aufgaben weitergeholfen haben, hoffentlich werd ich in Zukunft an alles denken

LG Lili

19.02.2010, 15:03

WebFritzi

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Zitat:

Original von lilithilli1210
aber es ist ja schon logisch^^

Nur um sicher zu gehen: wieso? Es reicht mir, wenn du das relativ unmathematisch erklärst.

19.02.2010, 15:51

lilithilli1210

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naja, da ja die reihe ins unendliche geht, isses ja ziemlich egal ob ich jez ein paar partialsummen am anfang wegfallenlasse, die sind ja noch ziemlich "klein".
die "ausschlaggebenden" Partialsummen sind ja noch "da", also die für die großen n.

das war jetzt sehr unmathematisch^^

bei einer konvergenten Folge könnte ich das so erklären, dass ja alle bis auf endlich viele, also fast alle Folgenglieder in der Epsilon-Umgebung von a liegen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

LG Lili

19.02.2010, 16:53

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. Das Stichwort war hier in der Tat "Partialsummen". Das zeigt, dass du weißt, worum es geht. Freude

Freude

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