Entstehung eines Fußballs |
| 12.06.2004, 13:41 | stoffbaer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Entstehung eines Fußballs Die Oberfläche eines Fußballs wird von regelmäßigen Fünf- und Sechsecken gebildet, und zwar so, dass in jeder Ecke ein Fünfeck und zwei Sechsecke zusammenstoßen. Welche Seitenlänge müssen die Fünf- und Sechsecke habe, damit ein Fußball vom Radius 11,3 cm entsteht? Kann wir wer bitte helfen? |
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| 12.06.2004, 14:52 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Willst du das für einen eckigen "Fußball" wissen, der sich aus ebenen Fünf- und Sechsecken zusammensetzt, oder für einen runden Ball mit gebogenen Fünf- und Sechsecken? |
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| 12.06.2004, 15:21 | stoffbaer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eher ein eckiger Fußball, der durch Aufblasen Kugelgestalt erhält. |
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| 12.06.2004, 15:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn r der Kugelradius ist (beim eckigen Fußball derjenige der Umkugel) und s die Kantenlänge des eckigen sowie s' die Kantenlänge des runden Fußballs ist, so habe ich herausgefunden: (arccos-Wert im Bogenmaß) Ich bin mir aber nicht ganz sicher, ob das richtig ist. Kann es hinkommen? |
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| 12.06.2004, 15:40 | stoffbaer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Laut angegebener Lösung soll s=4,560 sein. Dein Ergebnis stimmt, aber wie hast du es gerechnet? |
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| 12.06.2004, 15:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Steckt man drei kongruente Rechtecke mit den Seitenlängen 2 und im Raum symmetrisch ineinander (linke Figur), so bestimmen die 12 Ecken der Rechtecke die Ecken eines regulären Ikosaeders. Daß das so ist, kann man leicht berechnen: 1. Pythagoras im Dreieck mit der Hypotenuse l und der Kathete x: daraus l berechnen 2. Pythagoras im Dreieck mit der Hypotenuse a und den Katheten l und 1: daraus a berechnen Bei richtiger Rechnung ergibt sich a=2, was zeigt, daß die Figur ein reguläres Polyeder darstellt. Aus dem regulären Ikosaeder erhält man den Fußball, indem man jede Kante drittelt und die fünfseitigen Pyramiden abschneidet, deren Seitenkanten in einer Ikosaederecke zusammenlaufen (rechte Figur). Den Umkugelradius des Fußballs findet man nun wieder mit Pythagoras. Dazu betrachte man das rechtwinklige Dreieck, dessen eine Ecke die Mitte des Ikosaeders ist, dessen zweite Ecke der Drittelungspunkt der obersten Rechteckskante in der linken Figur ist und dessen dritte Ecke die Mitte dieser Rechtseckskante ist. Und da sich die Verhältnisse bei einer Streckung nicht ändern, findet man hieraus den Quotienten r/s. Und s'/r findet man, indem man die Sehne s auf die Umkugel projiziert. |
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| 12.06.2004, 16:20 | stoffbaer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Erklärung. 
Wäre nie darauf gekommen. Muss sie noch wirken lassen.Noch eine Frage dazu: Wie kommst du auf die Längen der Rechteckseiten? |
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| 12.06.2004, 16:28 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das habe ich einmal in einem Schulbuch gefunden. Und nachträglich kann man ja leicht verifizieren, daß ein reguläres Ikosaeder entsteht. Der Vorteil der Darstellung mit den Rechtecken ist, daß man sich die geometrische Situation leichter vorstellen kann. Zudem ist implizit ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem mitgeliefert. Man kann alle Ecken der Rechtecke leicht durch kartesische Koordinaten beschreiben und die Methoden der Analytischen Geometrie verwenden, um irgendwelche Seiten oder Winkel in der Figur zu berechnen. |
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| 12.06.2004, 16:32 | stoffbaer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke!
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