Stammfunktion Frage

17.10.2006, 19:33

Airblader

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Stammfunktion Frage

Hi,
ich bin diese Woche in der 12., weil ich nicht mit auf die Berlinfahrt gehe(bin eig. 11.)
Das Thema sind Stammfunktionen und ich versuche mich etwas einzuarbeiten. Meine Frage ist, ob die Stammfunktion für folgende Funktion wirklich undef. ist - wie es mein Ergebnis ist:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1+2x}{2} = \frac{1}{2}+\frac{2x}{2} = 2^{-1}+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{0}*2^0+\frac{1}{2}x^2+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow undef. \left(wegen \frac{1}{0}\right) \end{eqnarray*}$

Stimmt die Rechnung so?

air

17.10.2006, 19:38

derkoch

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RE: Stammfunktion Frage

Zitat:

Original von Airblader
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1+2x}{2} = \frac{1}{2}+\frac{2x}{2} = 2^{-1}+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot x^0 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2006, 19:43

Dorika

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Tanzen

hey

also ich würde $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{2} +x \end{eqnarray*}$ so stehen lassen.

jetzt musst du die exponenten von x je um 1 erhöhen und dann durch den neuen exponenten dividieren, das ist dir klar oder?

eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2} x +x^2 \end{eqnarray*}$

leider weiß ich nicht, wie du auf 1/0 kommst oä...

lg tina

17.10.2006, 19:45

Airblader

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Hi,
erstmal Danke, aber dann: hä? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Könntest du das evtl. etws erklären? Also wie kommst du auf

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

bzw. auf die Gesamtlösung für f?

air

Edit:
ach, jetzt... der konst. Summand geht ja verloren Augenzwinkern

Augenzwinkern

@2. Antwort
jap, das is mir klar

17.10.2006, 19:46

derkoch

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@ Dorika

bitte keine fertige Lösung hinschreiben!

17.10.2006, 19:51

Airblader

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@derkoch
fertige antwort ist egal - ich mache das eh alles freiwillig.

Aber nun komme ich auf

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}x^2+c \end{eqnarray*}$

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17.10.2006, 19:52

Dorika

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tut mir leid

also ich glaube, derkoch wollte damit lediglich darauf hinweisen, dass man 1/2 auch als 1/2*x^0 ausdrücken kann, da, 0 als exponent zu einer belibigen basis immer 1 herauskommt

17.10.2006, 19:52

Serpen

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leite doch mal deine Stammfunktion ab, was erhältst du dann? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2006, 19:54

Dorika

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$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}x^2+c \end{eqnarray*}$ [/quote]

huch, wo ist dein x geblieben?

das c ist in ordnung, damit drückst du aus, dass es unendlich viele stammfunktionen zu deiner ausgangsfunktion gibt smile

smile

17.10.2006, 19:58

brain man

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Servus !

Um die Stammfunktion zu berechnen, wende Folgendes an :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}*x^{n+1} \end{eqnarray*}$

17.10.2006, 20:14

Airblader

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Ich komme dann auf

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^2+c \end{eqnarray*}$

Stimmt das nun so?

air

17.10.2006, 20:15

Serpen

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nein nicht ganz

17.10.2006, 20:15

Dorika

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ja, abgelietet wär das ja f(x)=1/2 +1/2x

17.10.2006, 20:18

derkoch

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Zitat:

Original von Dorika
ja, abgelietet wär das ja f(x)=1/2 +1/2x

geschockt

ich gehe vom tippfehler aus, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2006, 20:21

Dorika

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Ja, tut mir leid.... LOL Hammer

LOL Hammer

also hier und nochmal schön in latex:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2} +x \end{eqnarray*}$
(peinlich, peinlich)

17.10.2006, 21:13

Airblader

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So,
nun kann ich endlich mit funktionierendem Keyboard und nicht über Bildschirmtastatur (wie bisher alle Beiträge im Thread) tippen smile

smile

Also ist meine letzte Lösung nun richtig gewesen?

Wenn ja,
gilt das generell, dass ein Summand a auch als $\begin{eqnarray*} a * x^0 \end{eqnarray*}$ interpretiert wird und dann in der Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} a * x \end{eqnarray*}$ wird? (Das widerspräche dem, was in der Schule gesagt wurde. Da hieß es, dass konstante Summanden entfallen - dafür tritt ja dann das c auf)

Aber ich denke, dafür, dass ich mitten im Stoff eingestiegen bin und das mitten in der 12. wo ich doch in der 11. bin habe ich das schon ganz gut verstanden smile

smile

air

17.10.2006, 21:16

pseudo-nym

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Zitat:

Da hieß es, dass konstante Summanden entfallen

Du verwechselst gerade Differenzieren mit Integrieren

17.10.2006, 21:17

Dorika

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Also, soweit ich das beurteilen kann, war deine Stammfunktion korrekt.

a würde in der stammfkt zu (a/1)*x^1

beim ableiten fallen summanden weg, nur die mit x^0

17.10.2006, 21:19

Serpen

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Zitat:

Original von Airblader
Ich komme dann auf

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^2+c \end{eqnarray*}$

Stimmt das nun so?

air

diese Stammfunktion ist bis auf den Koeffizienten vor dem x² richtig

17.10.2006, 21:31

Dorika

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warum? die ist doch ok, die ausgangsgleichung war doch

f(x)=1/2+x

17.10.2006, 21:31

Airblader

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*seufz*

Könnte mir jemand vllt. mal den genauen Weg aufschreiben? (Ich bin ja kein Fan davon...aber es geht hier um Stoff den ich 1. noch nicht hatte und 2. nicht mal machen muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

).
Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ muss doch vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ stehen, weil der Exponent vorher 1 war, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+1} * x^{1+1} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * x^2 \end{eqnarray*}$ , oder? verwirrt

verwirrt

(Aus der Ausgangsfunktion wurde ja $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}x^0 + x \end{eqnarray*}$ )

Also muss doch sein:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}*\frac{1}{1}x^1 + \frac{1}{2}x^2 + c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x^2 + c \end{eqnarray*}$

Oder wie soll das 1/2 da wegkommen?

air

17.10.2006, 21:38

Dorika

Auf diesen Beitrag antworten »

genau und du dividierst dann den faktor vor dem x durch den neuen exponenten (um eins erhöht)

tut mir leid, ich weiß auch nicht, was Serpen an der allgemeinen Stammfunktion auszusetzten hat...

17.10.2006, 21:40

zweiundvierzig

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Für $\begin{eqnarray*} f(x)=x+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+C \end{eqnarray*}$ . Stimmt also Freude

Freude

17.10.2006, 21:40

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ganz konkret:
So stimmts nun? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Okay, dann hab ichs nun ja. Danke euch smile

smile

air

17.10.2006, 21:42

Dorika

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

endlich super danke 42 smile

smile

17.10.2006, 21:47

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dorika
42 smile

smile

Eine leichte Anspielung an "Per Anhalter durch die Galaxis?" Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

17.10.2006, 21:48

zweiundvierzig

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Ganz leicht, ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.10.2006, 09:05

Airblader

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Ich würde übrigens gern nochmal 2 Fragen anhängen smile

smile

1. (Hatte die Frage schonmal gestellt) Ist es immer so, dass ein Summand beim bilden der Stammfunktion stehen bleibt und als Faktor $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ erhält, so dass man bei der Stammfunktion wieder die Regel $\begin{eqnarray*} x^n = \frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$ anwenden muss?

2. Es gibt ja (u.a.) zwei Regeln zur Bildung der Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} x^n = \frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sin x = -\cos x \end{eqnarray*}$

Muss ich dann beides anwenden? Also etwa so?

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x) = -\cos \left(\frac{1}{2}x^2\right) \end{eqnarray*}$
oder auch
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{2} * (-\cos x^2) \end{eqnarray*}$

oder gilt schlichtweg nur die Regel "sin x = -cos x" ?

Danke schonmal smile

smile

air

18.10.2006, 09:18

xrt-Physik

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Es wird jeder Summand einzeln integriert.
Eine Funktion wie sin(x) hat einfach nur die Stammfunktion -cos(x).
Man kann nicht das anwenden was du unten hin gepostet hast!

18.10.2006, 11:26

Airblader

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Zitat:

Original von xrt-Physik
Es wird jeder Summand einzeln integriert.

D.h., dass jeder den Faktor $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ hat, der beim Bilden der Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird?

Zitat:

Original von xrt-Physik
Eine Funktion wie sin(x) hat einfach nur die Stammfunktion -cos(x).
Man kann nicht das anwenden was du unten hin gepostet hast!

Ok, Danke

smile

air

18.10.2006, 12:39

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Airblader
D.h., dass jeder den Faktor $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ hat, der beim Bilden der Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird?

Der gesamte Summand wird nicht (unbedingt) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , allerdings wird eben dessen Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1}x^1=x \end{eqnarray*}$ wegen der Potenzregel beim Integrieren.

18.10.2006, 18:10

Airblader

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Ja, das meinte ich schon so (vllt. etwas blöd formuliert) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke

smile

air

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