Gaußscher Algorithmus

15.02.2010, 11:11	Chris321	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußscher Algorithmus Hi, ich bereite mich gerade auf meine Matheklausur vor, und habe diesbezüglich eine Frage zum Gaußschen Algorithmus. Gegeben ist die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 5 & 10 & 15 \\ 5 & 15 & 30 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und der vektor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 30 \\ 50 \\ 75 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier soll mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus die Lösungsmenge des Gleichungssystems bestimmt werden. Sprich: Matrix A? Vektor x = Vektor b Als Lösung erhält man dann den Vektor x $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So weit so gut. Diese Aufgabe konnte ich lösen. In der nächsten Klausur, die ich durchgerechnet habe, bin ich jedoch gescheitert. Im Anhang ist die Aufgabe mit Lösung. Ich hab lediglich einen Vektor als Lösung erhalten. Wie geht man bei dieser Aufgabe vor? Wie der Gaußsche Algorithmus prinzipiel funktioniert dachte ich verstanden zu haben. Das Ergebnis der anderen Aufgabe kann ich mir jedoch nicht erklären. Wo liegt mein Fehler? Viele Grüße, Chris
15.02.2010, 11:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre von Vorteil, wenn du auch deinen Lösungsweg postest, sonst können wir deine Fehler ja nicht erkennen. Wie man auf 2 Vektoren kommt: Du erhälst bei den Umformungen irgendwann eine Nullzeile, musst dir dann einen Parameter wählen (in der Lösung haben sie $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ genommen) und damit weiterrechnen.
15.02.2010, 11:19	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußscher Algorithmus Hi Chris, Wenn Du die Aufgabe schon gerechnet hast und sogar ein Ergebnis hast, dann solltest Du das auch mitliefern und eventuell Deine Schritte aufschreiben. Ich sehe nur, dass das vorgegebene Ergebnis richtig ist. Wo Dein Fehler liegt, kann ich nicht erraten. Gruß, Reksilat. €: zu spät!
15.02.2010, 11:35	Chris321	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, die letzte Zeile ist eine Nullzeile. Nur weiß ich nicht, was ich damit anzufangen habe. Hier mein Rechenweg: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 0 \\ 3 & 7 & -5 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & -4 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was fange ich denn jetzt mit der letzten Zeile an? Sonst würde ich ja einfach einen Vektor mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhalten. Gruß, Chris
15.02.2010, 11:39	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal mußt du die allgemeine Lösung des homogenen Systems bestimmen. Wie bestimmt man nun bei einem homogenen System die frei wählbaren Variablen? Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt. Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt: Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar. Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig. Anschließend muß noch eine spezielle Lösung des inhomogenen GLS bestimmt werden.
15.02.2010, 11:51	Chris321	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Schade nur, dass ich mit dem letzten Lösungsschritt nicht ganz klar komme - überhaupt nicht um ehrlich zu sein. Ich versteh nicht, was ich machen soll. Könnte das bitte jemand etwas rustikaler formulieren? Gruß, Chris
Anzeige

15.02.2010, 12:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine Nullzeile, also kannst du das ganze nicht auf strikte Zeilenstufenform bringen. Um das zu ändern, wählst du dir einfach einen Parameter frei; die Nullzeile kannst du ja streichen und stattdessen einen beliebigen Parameter einsetzen. Als Beispiel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wichtig ist hierbei, dass die letzte Zeile stimmt, würdest du z.B. in der letzten Zeile $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ stehen haben, wäre das ganze nicht lösbar. Das ist hier zum Glück nicht der Fall, also machen wir weiter. Wir wählen uns jetzt einen Parameter, um das LGS auf strikte ZSF zu bringen stört uns ja noch die dritte Spalte. Also wählen wir uns: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & a \end{pmatrix}, \ a \in \mathbb K \end{eqnarray}$ . Mit diesem Parameter können wir jetzt weiter den Gauß-Algorithmus durchführen und erhalten dann am Ende $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1-a \\ 0 & 1 & 0 & 2-a \\ 0 & 0 & 1 & a\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , das heißt als Lösungsmenge erhalten wir $\begin{eqnarray} L=\{ {\begin{pmatrix} 1-a \\ 2-a \\ a \end{pmatrix} \in \mathbb K^{3x1}} \} =\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + a\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \| a \in \mathbb K\} \end{eqnarray}$
15.02.2010, 13:03	Chris321	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt, vielen Dank euch allen! Hab das Ergebnis jetzt raus! Gruß, Chris

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »