Unverständnis beim Definitionsbereich |
| 15.02.2010, 16:06 | Bouncer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Unverständnis beim Definitionsbereich ich verstehe nicht, wie man auf den Wertebereich einer Funktion kommt, der viel größer als die Definitionsmenge ist. Z.B. bei f(x) = x^2 : von [1,2] auf [1,4]. Wenn man also alles Zahlen von 1 bis 2 quadriert, bekommet man alle Zahlen von 1 bis 4. Es gibt zwar in [1,2] unendlich viele Zahlen, aber in [1,4] doch noch mehr. (Was das nun auch heißen mag: Mehr als Unendlich) Und da f(x) surjektiv ist, wird jede Zahl als Wert angenommen. Da sie aber auch monoton steigend ist, besitzen unterschiedliche Zahlen der Definitionsmenge unterschiedliche Funktionswerte. Könnte mich einer in die richtige Richtung schubsen oder so? |
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| 15.02.2010, 16:12 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Problem ist einfach, dass in nicht mehr Elemente als in enthalten sind obwohl die Intervalllängen unterschiedlich sind. Zwei Mengen haben nach Definition die gleiche Kardinalität, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen beiden gibt. Und die existiert mit . |
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| 15.02.2010, 16:18 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Duedi So korrekt das ist, ich fürchte, er will hier eine anschaulichere Antwort. Mathematisch kann man sagen "dem ist so", anschaulich ist das Problem aber klar: Ich mache, sozusagen, aus je einer Zahl des Definitionsbereiches irgendwie zwei Zahlen (von 1..2 auf 1..4), aber irgendwie auch nicht (ist ja eine Funktion und da wird jedem x-Wert nur ein y-Wert zugewordnet). Irgendwie scheint man die Zahlenbereiche also zu "dehnen", ohne, dass dabei Löcher entstehen. Das Problem, das hier hintersteht, ist eben eines, das un-mathematisch wohl nur unbefriedigend zu beantworten ist: Mit Unendlichkeiten ist es meist schwer, sich wirklich ein Bild zu machen. Bei einem Intervall wie [1,2] hat man zwar eine "endliche Unendlichkeit", denn das Intervall ist links und rechts ja begrenzt, aber die Unendlichkeit ist hier eben im Intervall selber: In [1,2] liegen nicht nur unendlich viele Zahlen, es ist noch "schlimmer": Zwischen zwei beliebigen (aber verschiedenen) dieser Zahlen, egal wie nah sie beieinander liegen, liegen immernoch unendlich viele Zahlen! Und das Unbefriedigende daran ist, dass genau hierin eigentlich der Schlüssel zur Antwort liegt (muss man sich auf der Zunge erstmal zergehen lassen), aber es die Anschauung eben nicht befriedigt. Ergo hat man keine Wahl, als sich auf die mathematische Betrachtung (siehe Duedi) zu verlassen. Ich finde solche Fragen aber berechtigt und gut, denn an und für sich zeigt diese Frage ja, dass man sich hier wirklich mit abstrakteren Konzepten auseinanderzusetzen versucht. air |
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| 15.02.2010, 16:42 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da stimme ich dir zu, dieses Phänomen ist eines der ersten Dinge, die die Unendlichkeit so faszinierend machen.
Wie meinst du das? Die Dichtheit ist ja nicht erforderlich, damit beschränkte Mengen gleichmächtig sind und in Teilmengenbeziehung stehen: . Gruß |
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| 15.02.2010, 17:19 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ papahuhn Das Ganze war weniger mathematisch-formal korrekt, als anschaulich gemeint. Nehme ich z.B. nur die Menge {1, 2, ..., 10} und möchte sie auf {1, 2, ..., 20} abbilden, so muss ich die erste Menge gewissermaßen "dehnen", reiße dabei aber eben Löcher auf und schaffe es deswegen nicht, diese Abbildung hinzubekommen. Bei endlichen Mengen versagt das also. Zwischen den Intervallen [1, 10] und [1, 20] sieht das dagegen anders aus, hier haben wir unendlich viele Elemente und zwischen beliebigen (aber verschiedenen) davon wiederum unendlich viele. Wenn man so will, kann man das gewissermaßen als anschaulichen Grund nehmen: Ich kann das Intervall "dehnen", ohne es zu zerreißen, weil zwischen den Elementen nicht nur eine begrenzte (endliche) Zahl anderer Elemente liegt, sondern unendlich viele. Dass das nicht "absolut korrekt" ist, gar keine Frage; ich denke aber, es macht die Sache, vielleicht, ein klein wenig anschaulicher. 
air |
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| 15.02.2010, 19:25 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und ein kleiner Denkanstoß zur Unendlichkeit (ruhig länger darüber nachdenken, das ist nicht ganz leicht zu verstehen): Eine Menge M ist genau dann "unendlich", wenn es eine echte Teilmenge N gibt (also eine Menge, die einige, aber nicht alle Elemente von M enthält), sodass M und N bijektiv sind. |
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| 15.02.2010, 20:53 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Masochist 
UPPPS sry, ich wollte zitieren und habe editiert. VERZEIHUNG <-- sagt Airs anderes Ego Duedi |
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| 15.02.2010, 21:24 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt denkt jeder, ich wär schizophren!
Wenigstens nehm' ich das als Anlass, mir einen Doppelpost zu erlauben. Bin ja eigentlich nicht ich, sondern mein anderes ich 
air |
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| 15.02.2010, 21:41 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es sind doch eh alle Mathematiker verrückt... Behauptest du, du hast imaginäre Freunde, kommen sofort Ärzte mit einer Ich-Hab-Mich-Lieb-Jacke vorbei, wenn du aber mit imaginären Zahlen arbeitest wirst du als Genie verschrien
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| 15.02.2010, 21:55 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
KLICK |
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| 16.02.2010, 00:30 | Bouncer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist aber mit der Ableitung: Die Ableitung einer Funktion an der Stelle x ist das Verhältnis von dy zu dx, f'(x) = dy/dx. Dann ist dy = f'(x)dx. dx geht gegen 0, es ist also unendlich klein. Da es aber eben nicht 0 ist, wird der Ausdruck f'(x)dx auch nicht zu 0. Jetzt frage ich mich, was denn dann zwischen f(x) und f(x)+f'(x)dx? Die Folgerung für mich wäre jetzt, dass Zahlen Ausdehnung oder Breite haben. So gesehen gebe es endlich viele Zahlen zwischen zwei Grenzen. ??? *verzweifelt* |
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| 16.02.2010, 00:37 | DarkD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
df/dx ist nur ein Symbol für: Nicht mehr und nicht weniger. Physiker spielen gern mit df und dx rum und schieben, dass auf die andere Seite der Gleichung. Das ist aber alles Unsinn (was der Grund dafür ist warum ich die Notation so schlecht finde). Zu Vielleicht kann man sich das als ein Gummiband vorstellen, das gestreckt wird. Das hat zwar nicht unendlich viele Atome, aber eine bessere Veranschaulichung hab ich auch nicht. Edit: Ich merke gerade, dass hier ist im Bereich Schulmathematik, daher hat dir dein Lehrer Differenzialrechnung vermutlich falsch beigebracht (was z.z. Standard ist wegen den Lehrplänen). Fakt ist dass man das nur verstehen kann, wenn man vorher das Prinzip von Konvergenz verstanden hat. Falls du es also richtig lernen willst empfehle ich ein Mathestudium oder: http://emathematik.wordpress.com/liste-der-videos/ (Die Videos sind wirklich gut) |
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