Abelsche Gruppe, Untergruppen

15.02.2010, 19:10

carlos99

Abelsche Gruppe, Untergruppen

Ich werde aus dem Beweis zu folgendem Satz nicht schlau:

Zitat:

Sei p eine Primzahl und $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ die höchste Potenz von p, die die Ordnung einer endlichen abelschen Gruppe teilt.
Dann gibt es genau eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ .

Im Beweis haben wir angenommen, es gäbe 2 Untergruppen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ . Dann gilt
$\begin{eqnarray*} |AB| = \frac{|A| \cdot |B|}{|A \cap B|} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist auch die Ordnung von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ eine p-Potenz, die aber $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ teilen muss.

Bis hierhin komme ich noch mit. Nun soll daraus folgen, dass $\begin{eqnarray*} B=A \cap B \end{eqnarray*}$ ist, und damit $\begin{eqnarray*} A \leq B \end{eqnarray*}$ . Die selbe Betrachtung mit vertauschten $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ führt dann zu $\begin{eqnarray*} B \leq A \end{eqnarray*}$ und damit insgesamt $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ .

Ich habe gleich zwei Probleme:
1) Die Folgerung, dass $\begin{eqnarray*} B=A \cap B \end{eqnarray*}$ gilt ist mir nicht klar
2) Haben wir nicht nur gezeigt, dass höchstens eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ existiert? Warum muss denn überhaupt so eine Untergruppe existieren?

15.02.2010, 19:15

kiste

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Es ist $\begin{eqnarray*} |AB| \geq |A| \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ maximal gilt also $\begin{eqnarray*} |B\cap A| = |B| \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} A\cap B \subset B \end{eqnarray*}$ gilt die Gleichheit $\begin{eqnarray*} A\cap B = B \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} B\leq A \end{eqnarray*}$

Die Existenz folgt aus mehreren Dingen, wie genau ihr es gemacht habt hängt von euren Vorkenntnissen und den Präferenzen des Dozenten ab

15.02.2010, 19:29

carlos99

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Danke. Punkt 1 ist mir nun klar.

Zur Existenz: Wir haben zuvor nur einen Satz zu abelschen Gruppen behandelt:

Eine von n Elementen erzeugte abelsche Gruppe ist eine direkte Summe von höchstens n zyklischen Untergruppen.

Kann man das daran erkennen?

15.02.2010, 19:53

kiste

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Zusammen mit dem chinesischen Restsatz genügt das

15.02.2010, 23:22

carlos99

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Hm ok. Also ich kenne den chinesischen Restsatz als Aussage zur Lösbarkeit simultaner Kongruenzen modulo paarweise teilerfremder natürlicher Zahlen. Aber wenn ich ehrlich bin ist mir nicht ganz klar, wie ich ihn auf mein Untergruppenproblem anwende. Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben?

Mit dem Restsatz soll ja gelten

$\begin{eqnarray*} x \equiv a_1 \mod n_1\\ x \equiv a_2 \mod n_2\\ \vdots \\ x \equiv a_k \mod n_k \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, man nimmt $\begin{eqnarray*} |G| = \prod_i n_i \end{eqnarray*}$ , also sind die $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ meine Primpotenzen. Aber wie man das nun benutzt sehe ich nicht unglücklich

16.02.2010, 20:33

kiste

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Ich meine $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/nm\mathbb Z \cong \mathbb Z/n\mathbb Z\times \mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray*}$ falls ggT(m,n)=1. Das was du da hast ist nur die Anwendung des Satzes

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