Eigenwerte,Eigenvektoren

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Sabine86 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte,Eigenvektoren
Hallo,

erstmal die Aufgabenstellung:
Zitat:
Matrix A= Vektoren = , =

Die Matrix A ist in der üblichen Basis dargestellt.

a) Berechnen Sie die Derterminante der Matrix A.
b) Geben Sie zu den beiden Eigenvektoren , der Matrix A die zugehörigen Eigenwerte an.
c) Welche Eigenvektoren hat die Matrix A zum Eigenwert 3?
d) Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren der Matrix A und stellen Sie A in dieser Basis dar.
e) Stellen Sie auch die Vektoren , in der Orthonormalbasis von Eigenvektoren aus c) dar.


a) Da habe ich 0 raus...sollte stimmen.
Was bedeutet die 0 jetzt genau?
Das die Matrix zwar eine Lösung hat, diese aber nicht eindeutig ist?

b) Ich bin mir nicht sicher ob man das so machen sollte.
Ich habe die Formel genommen.
Also einfach die Matrix A mit dem Vektor multipliziert. Dann konnte ich ablesen das bei , und bei sein muss.

Jetzt bin ich mir nicht sicher ob man das immer so machen darf, bzw ob es mehrere Eigenwerte zu einem Eigenvektor geben kann?

c) Hier bin ich verwirrt.
ich benutze die Formel
Zum Schluss bekomme ich dann folgendes heraus:

d.h. ja dass x3=0 ist und -x1+x2-x3=0, x3 fällt weg da 0, also -x1+x2=0.
d.h. x1=x2 ?
Was heißt das jetzt... gibts da also jetzt unzählig viele Eigenvekotren? würde die Gleichung ja genauso erfüllen wie .
Irgendwas versteh ich da wohl nicht.


Und bei d) und e) weiß ich leider überhaubt nicht weiter

Würde mich über Eure Hilfe sehr freuen!

Liebe Grüße
Sabine
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das die Matrix zwar eine Lösung hat, diese aber nicht eindeutig ist?


Matrizen haben keine Lösungen. Gleichungssysteme haben Lösungen.

Zitat:
Ich bin mir nicht sicher ob man das so machen sollte. Ich habe die Formel genommen. Also einfach die Matrix A mit dem Vektor multipliziert. Dann konnte ich ablesen das bei , und bei sein muss.


Dieser Weg ist völlig richtig, und diese Teilaufgabe ist auch so angelegt das man mit ein wenig überlegen viel schneller zum Ziel kommt als mit der Standardmethode. Allerdings solltest Du deine Schreibweise ändern, denn die Gleichung



ist falsch. ist ein Vektor, was Du meinst ist das der zugehörige Eigenwert 3 ist.

Zitat:
Jetzt bin ich mir nicht sicher ob man das immer so machen darf, bzw ob es mehrere Eigenwerte zu einem Eigenvektor geben kann?


Zu jedem Eigenwert gibt es unendlich viele Eigenvektoren. Diese Eigenvektoren bilden einen Vektorraum, den sogenannten Eigenraum.

Zitat:
Was heißt das jetzt... gibts da also jetzt unzählig viele Eigenvekotren?


Ohne deine Lösung überprüft zu haben : Siehe oben.

zu d)

Wähle eine Basis aus den Eigenräumen zu 0 und 3. Alle Vektoren aus dem Eigenraum zu 0 stehen sowieso schon Senkrecht auf den Vektoren aus dem Eigenraum 3. Du musst lediglich noch 2 orthogonale, linear unabhängige Eigenvektoren aus dem Eigenraum zu 3 wählen, und anschließend normieren.

zu e)

Wie man einen Vektor bezüglich einer Basis darstellt sollte bekannt sein. Sei dazu die genannte Basis, dann soll zum Beispiel



Das Ganze ist ein einfaches lineares Gleichungssystem, welches Du sicher lösen kannst.
 
 
Sabine86 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

erstmal danke für die flotte Antwort

hab bei c) aber noch so meine Probleme

als Ergebnis bekomme ich ja raus

In der Aufgabenstellung steht aber Eigenvektoren, also scheint es mehr zu geben. Hab die Matrix mal in einen Eigenvektorrechner eingegeben und bekomme heraus:

Eigenvektor zu Eigenwert 3:
(1; 1; 0)
Eigenvektor zu Eigenwert 3:
(-1; 0; 1)

Den (1; 1; 0) konnte ich ja mit meiner Methode heraus finden. Aber wie bekomme ich den zweiten Eigenvektor raus?

die d) und e) versuche ich gleich mal zu lösen

Grüße
Sabine
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Den (1; 1; 0) konnte ich ja mit meiner Methode heraus finden. Aber wie bekomme ich den zweiten Eigenvektor raus?


Systematisches lösen des Gleichungssystems.



Nun, wie lößt man ein Gleichungssystem in Zeilenstufenform? Zunächst betrachten wir Zeile 3. Da steht dann



daher ist schonmal

beliebig.

Zeile 2 :

Dort steht :



daher gilt auch

beliebig

Zeile 1 nun :



daher ist



Wir haben 2 Freiheitsgrade. Wählen wir , so ist , wählen wir so ist . Wir können bel. wählen, wichtig ist, die ANzahl der Freiheitsgrade liefert dir die Anzahl der linear unabhängigen Lösungen, und diese suchen wir.
Sabine86 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Super Erklärung!
Das habe ich jetzt verstanden.

Jetzt probier ich mal die d)

Ich habe mir jetzt einfach die 3 vorhandenen Eigenvektoren genommen und diese mit x1-x3 beschriftet.

Dann habe ich geprüft ob jeder Vektor im Skalarpdoukt mit sich selbst 1 ergibt, wenn nicht habe ich die Vektoren auf die Einheitslänge gebracht.

Dann habe ich mit Hilfe des Skalarproduktes geprüft ob sie alle orthogonal zueinander sind.
x2 war nicht orthogonal zu x3, daher habe ich gerchnet: x2` = x2 - (Projektion von x2 auf x3)

hätte man bei den einfachen Vektoren wohl auch gut im Kopf durch probieren hinbekommen können...

Jetzt habe ich die folgenden 3 Eigenvektoren als Basis:


Habe ich jetzt hiermit eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren der Matrix A konstruiert?

Und wie kann ich jetzt die Matrix A in diesem System darstellen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vektoren bilden eine Orthonormalbasis und sind alle Eigenvektoren. Freude

Zitat:
Und wie kann ich jetzt die Matrix A in diesem System darstellen?


Du sollst die Vektoren durch die Orthonormalbasis darstellen. Sprich Du sollst eine Linearkombination finden so dass,



gilt. Analog für . Das ist ein einfaches lineares Gleichungssystem. Wenn Du allerdings genauer überlegst, dann wirst Du feststellen, das zwei Koeffizienten der Linearkombination 0 sein müssen, denn sind Viellfache von bzw.
Sabine86 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

bei der d) steht auch noch das ich die Matrix A in diesem System darstellen soll.

Das mit den Vektoren ist schon die e)


Allerdings stehe ich bei der e) auch noch auf dem Schlauch.

und sind vielfache von meinen konstruierten Basisvektoren. Das sehe ich ein.

Für auszurechnen wäre es dann: da x_3 ja ein vielfaches von ist.
So komme ich aber auf keine Lösung
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bei der d) steht auch noch das ich die Matrix A in diesem System darstellen soll.


Ach, jetzt seh ichs auch. Wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt, so ist die Darstellung der Matrix bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix. Du musst eigentlich nichts rechnen. Mit diesem theoretischen Hintergrund kann man die Matrix bezüglich der Basis sofort hinschreiben, eine Diagonalmatrix auf deren Diagonalen die Eigenwerte stehen (2mal 3 einmal 0).

Zitat:
ür auszurechnen wäre es dann: da x_3 ja ein vielfaches von ist.


Das ist falsch, gerade weil ein Vielfaches von ist, ist , die anderen beiden Koeffizienten werden aber Null. Und Lambda 3 bestimmt sich dann leicht.
Sabine86 Auf diesen Beitrag antworten »

dann wäre das bei d):


?
Woher weiß ich dann welcher Eigenwert zuerst kommt, könnte ja auch 3-0-3 oder 0-3-3 in der Diagonale sein.
Oder verstehe ich da wieder was falsch?

bei e) habe ich dann folgendes raus:

neues
und für das neue c_2=

kann das so stimmen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Woher weiß ich dann welcher Eigenwert zuerst kommt, könnte ja auch 3-0-3 oder 0-3-3 in der Diagonale sein. Oder verstehe ich da wieder was falsch?


Die Reihenfolge der Basisvektoren bestimmt die Reihenfolge auf der Diagonalen. Ist der Eigenvektor zur 0, so steht die 0 an erster Stelle usw., sprich, die Diagonalform ist eindeutig bis auf Reihenfolge der Diagonalelemente.

Was das andere angeht :

Die Gleichungen ergeben keinen Sinn, was Du meinst ist



Übrigens ist

Sabine86 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Reihenfolge ist klar, da hätte ich eigentlich selber drauf kommen müssen....


zu der e)
hmm.. stimmt, ich habe ausgerechnet,
dann wäre die Gleichung ja
und da ich bereits ausgerechnet habe bekomme ich wieder meine ursprünglichen Vektoren raus, wie sie auch in der Aufgabenstellung stehen.
Oder bin ich wieder auf dem Holzweg?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bekomme ich wieder meine ursprünglichen Vektoren raus, wie sie auch in der Aufgabenstellung stehen.


Genau darum geht es doch, den Vektor als Linearkombination der Orthonormalbasis darstellen, sprich der muss wieder raus kommen.
Sabine86 Auf diesen Beitrag antworten »

ahh, ich glaub so langsam dämmerts...

d.h. wenn ich mithilfe der Eigenvektoren eine Orthonormalbasis konstruiere, sind die Eigenvektoren ja bereits in dieser Basis, bzw. ein vielfaches der Eigenvektoren.

Das bedeutet ich muss bei der e) überhaubt nichts rechnen wenn ich dies erkenne?
Rechnen muss ich nur, falls ich Vektoren in dieser Basis darstellen soll, mit denen ich vorher nicht diese Basis konstruiert habe...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das bedeutet ich muss bei der e) überhaubt nichts rechnen wenn ich dies erkenne?


Wenn mans sich vorher gut überlegt nicht. Dann kann man die Koeffizienten der Linearkombination direkt angeben.
Sabine86 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar

Vielen Dank!
Bin dank Dir jetzt ein gutes Stück schlauer

Liebe Grüße
Sabine
ChiquitaBanana Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hänge gerade an der gleichen Aufgabe und mir wird einiges immernoch nicht klar...

bei der c)

Wenn , wieso kann dann x1 nicht 0 und x2 und x3 1 sein?


außerdem verstehe ich die e) noch nicht ganz - was ist dort das Ergebnis? Sind das einfach nur die Eigenvektoren c1, c2 umgerechnet ins Orthonormalsystem, so wie ich es bei der d) schon ausgerechnet habe?
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl der Thread schon etwas länger her ist, würde ich dennoch gerne zwei Sachen fragen.

Ich habe bis Punkt d) alles verstanden. Auch beim Punkt d) ist mir klar wie ich Orthonormalbasis bilden soll.

Es kommt der Punkt an dem ich nicht mehr weiter weiss und zwar soll man ja die Matrix A die oben angegeben ist in dieser Basis darstellen.
Dass erklärt wird, dass diese eine Diagonalmatrix ist, ist mir auch klar.

Jedoch würde mich jetzt interressieren wie man die berechnet und nicht einfach die Werte von den Eigenwerten ablesen und dann hinschreiben.

Ich habe in meinem Skript zwei Formeln stehen:

Orthonormalbasis von Eigenvektoren:
Z=B*A*Bt wobei Bt=die transponierte Matrix ist
Orthonormalbasis mit Eigenvektoren:
Z=BT*A*B wobei Bt=die transponierte Matrix ist

Welches B nimmt man? Sprich B=(b1b2b3) mit den ausgerechneten Werten aus der Orthonormalbasis oder nimmt man B=(b1b2b3) mit b1=(1,0,0)t b2=(0,1,0) b3=(0,0,1).

Was ist der unterschied zwischen den beiden Formeln? Deutsch ist nicht meiner Muttersprache deswegen gibt es bei mir schwierigkeiten um zu verstehen was gemeint ist mit (von Eigenvektoren und mit Eigenvektoren)!!!!


Und bei Punkt d) möchte ich dies ebenfalls rechnerisch zeigen, jedoch fehlt mir auch hier der Ansatz wie ich das ganze lösen soll.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir wirklich keiner helfen damit ich diese Aufgabe verstehe
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch
Ich kann versuchen, dir zu helfen, aber dafür müssen wir nacheinander vorgehen. Spalte das ganze doch mal auf. Was hast du gegeben und was möchtest du als erstes berechnen?
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabenstellung:
Zitat:
Matrix A= Vektoren = , =

Die Matrix A ist in der üblichen Basis dargestellt.

a) Berechnen Sie die Derterminante der Matrix A.
b) Geben Sie zu den beiden Eigenvektoren , der Matrix A die zugehörigen Eigenwerte an.
c) Welche Eigenvektoren hat die Matrix A zum Eigenwert 3?
d) Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren der Matrix A und stellen Sie A in dieser Basis dar.
e) Stellen Sie auch die Vektoren , in der Orthonormalbasis von Eigenvektoren aus c) dar.



Teilaufgaben a bis c) habe ich schon berechnet.

Jetzt kommt bei Teilaufgabe d) mein Problem:
Nachdem ich nun die Eigenvektoren in eine Orthonormalbasis umgewandelt habe, möchte ich nun mit der Formel die Matrix A in dieser Basis angeben.

Wobei die Transponierte Matrix von der Orthonormalbasis ist.

Als Resultat bekomme ich folgende Matrix heraus:


Aber hier wurde ja gesagt es kommt
heraus.

Es wurde nur gesagt dass es eine Diagnoalmatrix ist und dadurch einfach die Eigenwerte der Eigenvektoren in die Matrix geschrieben.
Aber wie kann man das nun rechnersich lösen. Denn in einer Klausur kann man ja auch nicht einfach das Resultat schreiben sondern man muss den Weg angeben damit man überhaupt Punkte bekommt
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
OK, langsam...
Vielleicht hast du die Eigenvektoren einfach nur in einer anderen Reihenfolge in die Orthonormalbasis gebaut? Das Ergebnis muss hier nämlich nicht zwingend eindeutig sein.

Die Eigenvektoren sind ja für 3 und für 0. Hast du das auch so?
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

ja das habe ich aus so.



x1=

Und dann baue ich mir die Basis:




Aber ist dieses Resultat nicht falsch was hier im Forum steht:


ich bekomme für x_2 folgendes heraus:


Was bekommst du denn für x2 heraus?
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry oben sollte stehen


Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Definition
Im Grunde muss das stimmen, was hier im Forum steht:
.

Das hat einen ganz einfachen Grund und der ist die Definition der Orthonormalbasis. Diese besagt, dass alle Vektoren der Basis senkrecht aufeinanderstehen und(!!) die Norm 1 haben. Mit dem Vorfaktor, den ich hier eben geschrieben habe, ist das gegeben. Siehst du das anders?

Wie hast du denn die Vektoren berechnet? Die müsste man doch mit dem Gram-Schmidt-Verfahren (Heißt das so?) berechnen. Hast du das so gemacht und wenn nein, wie dann?
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

ja das habe ich so gemacht:
<x2,x3>=-1 dann bekomme ich für


und dann muss der Vektor noch normiert werden:

Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Oh!!
Naja, aber dann kannst du den Vorfaktor nicht einfach isoliert betrachten. Der gehört zu dem Vektor dazu. Du musst also quasi den Vektor normieren, den du hattest, bevor du die 1/2 rausgezogen hast.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oh!!
Zitat:
Original von Paradiesvogel
Naja, aber dann kannst du den Vorfaktor nicht einfach isoliert betrachten. Der gehört zu dem Vektor dazu. Du musst also quasi den Vektor normieren, den du hattest, bevor du die 1/2 rausgezogen hast.


??? verstehe nicht was du meinst
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
!
Du hast bei deinem Vektor x2 ein 1/2 rausgezogen. Das gehört aber ja zu dem Vektor dazu. Der wirkliche Vektor heißt: und diesen musst du auch normieren.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

ok aber dann kommt noch immer nicht diese Wert heraus der hier angegeben wurde.


so würde dann mein normierter Vetor aussehen oder?
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Fast!
Das stimmt schon. Du musst es nur richtig angucken.

Du hast vor dem Vektor stehen: und jetzt kannst du den Doppelbruch auflösen, indem du die Wurzel unten in beide Zahlen einzeln hineinziehst. Dann kann die von ganz unten, in den Zähler hinauf rücken und du bekommst einen viel einfacheren Bruch. Jetzt musst du nur wieder die 1/2 aus dem Vektor ziehen und hast das Ergebnis stehen.
Auf was kommst du?

P.S.: Algebra ist was tolles!!
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dann kommt
=


Ok aber mit welcher Formel berechne ich nu die Matrix A damit diese in der Basis dargestellt wird???
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry!
Bitte entschuldige die späte Antwort, ich habe gar nicht gemerkt, dass eine neue Seite aufgegangen ist. Augenzwinkern

Ich bin mir zwar grade nicht sicher, ob das geht, aber du hattest doch zu Anfang geschrieben, dass du das mit der Formel berechnen willst. Die Spalten von der Basis hast du und jetzt musst du sie "nur noch" invertieren. Das ist eine ziemlich langwierige Arbeit, aber normalerweise hat man auch nicht so blöde Matrizen. Die invertierte Matrix heißt:
.
Diese kannst du dann in deine Formel einsetzen und du bekommst:

heraus. Das muss stimmen, sonst kämen niemals so tolle Zahlen raus. Ich nehme an, dass die, die diese Aufgabe vor uns gelöst haben, einfach die Vektoren in veränderter Reihenfolge oder so genommen haben. Dadurch verändert sich natürlich die Matrix.

Kommst du auch auf diese Ergebnisse?
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gar kein Problem. Ich bin froh, dass überhaupt einer antwortet. Egal ob das 1 min nach meinem Eintrag oder mehrere Stunden.

Ich dachte es muss die transponierte Matrix sein und nicht die invertierte sprich ???
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Oh!!
Oh, jetzt muss ich dir natürlich recht geben. Die Inverse war wirklich falsch. Das tut mir leid. Es muss natürlich die Transponierte sein. Das Gute daran ist aber: Am Ergebnis ändert sich gar nichts. Wenn du jetzt rechnest, kommt trotzdem wieder:
raus.
Danke für den Hinweis!!

Kommst du auch auf diese Matrix?
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Nur als Bemerkung ( falls ihr es nicht wisst ):

Ihr betrachtet ja hier eine Normale Matrix, da die symmetrischen Matrizen ja auch zu den Normalen Matrizen gehören. Diese sind diagonalisierbar mit einer Orthogonalen Matrix Q für die gilt, dass ihr inverses ist.

Die diagonalisierte Matrix ist dann (wie ihr ja vollkommen richtig berechnet habt)

ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja darauf komme ich auch. Um nun c1 und c2 in dieser Basis darzustellen muss ich ja nur noch folgendes rechnen:





Und das wars dann ne?
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Jep!
Ja und damit kommst du dann auf das Ergebnis.

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. ^^
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok jetzt habe ich es verstanden.

Vielen Dank für die Hilfe
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
!
Immer gerne! Augenzwinkern
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