Matrix einer Abbildung bestimmen |
| 16.02.2010, 21:47 | bamboozle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Matrix einer Abbildung bestimmen Sei V der Vektorraum aller Polynome höchstens dritten Grades T:V--> V sei definiert durch (Tp)(x)=p(x)-(x-1)p'(x) Bestimmen Sie die Matrix von T bezüglich der Basis 1,x,x²,x³ Mein Problem fängt hier schon an. Was ist das ist das für eine Schreibweise (Tp)(x), ist das das gleiche wie T(p(x)) ? ein Tippfehler oder hat das eine andere besondere Bedeutung? Und ich kann mir nicht so recht vorstellen wie ich aus dem Ganzen eine Matrix zaubern kann. Aus meinen Unterlagen erkenne ich dass mein Ansatz jetzt darin läge T(1), T(x),T(x²),T(x³) zu bestimmen, nur kriege ich da gerade keine Verknüpfung was denn das genau ist und je länger ich darüber nachdenke desto verwirrter bin ich. Also ich setze jeweils p(x) = 1, x etc. und dann erkenne ich wie meine Matrix aussieht, also wenn z.B. T(1) = 1 dann weiß ich dass x kein mal vorkommt usw. und bilde so die 1. Spalte mit (1 0 0 0 ) 2. Spalte ebenfalls (1 0 0 0) so dass dann die Matrix von T: A= Also ich könnte mir ja nun die Vorgehensweise merken wie man eine solche Matrix bildet, aber ich verstehe absolut nicht wie die Basis und die Matrix mit dem Vektorraum bzw. der Abbildung zusammenhängen. Was genau stellt diese Matrix nun dar, und worauf bezieht sich die Basis? Ich wäre euch sehr dankbar für eine Anschauliche Erklärung! Liebe Grüße |
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| 16.02.2010, 22:25 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Funktion T bildet Funktionen auf Funktionen ab, genauer Polynome auf Polynome. Eine Funktion kann man an der Stelle x auswerten, dafür schreibt man f(x). Nehmen wir an Tf = g, für zwei Funktionen f und g, dann bedeutet (Tf)(x) das gleiche wie g(x). Der Ausdruck T(p(x)) ist nicht definiert, da p(x) eine Zahl ist, der Operator T aber als Argument eine Funktion erwartet. Was die Matrix angeht. Du kannst ein Polynom vom Grad n mit einem Koordinatenvektor assoziieren. Sagen wir wir haben dann ist das Polynom eindeutig durch die definiert. Daher kann man das Polynom auch mit dem Vektor assoziieren. Der erste Schritt ist also die Basisvektoren 1,x,x²,x³ durch ihre Koordinatenvektorrepräsentation zu beschreiben. Danach kannst Du die Matrix wie üblich bestimmen, in dem Du die Bilder der Basis betrachtest. |
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| 17.02.2010, 07:52 | bamboozle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort, das mit Tp(x) kann ich wohl so hinnehmen. Bezieht sich die Koordinatendarstellung der Basisvektoren auf den Vektorraum oder auf meine Abbildung? Mir fällt es recht schwierig mir Basisvektoren bezüglich eines Vektorraumes aller Polynome n-ten Grades vorzustellen. Es geht noch mir eine Abbildung darin Vorzustellen. Dann ist das was ich hier gemacht habe um die Matrix zu kriegen doch so als würde ich mir einen Vektor in meine Abbildung reinstecken und schauen was mit ihm passiert. Damit verstehe ich nur noch nicht, wieso ich dann die Matrix von T bezüglich der Basis bekomme. Oder ist die Formulierung hier nur etwas irreführend und das ganze heißt nichts anderes "Matrix von T bezüglich irgendeines Vektors aus V" nennen wir ihn mal Basis? Oder sind Vektoren die ich in eine solche Abbildung hineinstecke immer die Basis zu meinem Ergebnis? Ich habe mir Basen bisher so vorgestellt dass wenn ich z.B. einen Basiswechsel mache, dann kriege ich die Koordinaten wie sie von dieser Basis aus betrachtet aussehen, kann das mit meiner Aufgabe nicht so ganz verknüpfen. |
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| 17.02.2010, 08:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da du anscheinend enorme Probleme hast, die Begriffe, die mit einem Vektorraum zusammenhängen, auf diese Aufgabe zu übertragen, möchte ich dazu ein paar Hinweise geben: 1. Der Vektorraum V besteht hier aus der Menge der Polynome mit einem Grad maximal 3. Ein Element p dieses Vektorraums V ist mithin also ein Polynom mit einem Grad <= 3. 2. Eine Basis dieses Vektorraums V ist also eine geeignete Familie von Polynomen. In diesem Fall wurde als Basis die Familie B = (1, x, x², x³) gewählt. Beachte, daß dies schon eine verkürzte Schreibweise ist. Formal müßte man schreiben: B = (p_1, p_2, p_3, p_4) mit für 1 <= i <= 4. 3. Die Abbildung T bildet ein Element des Vektorraums V auf ein anderes Element des Vektorraums V ab. Ein Polynom p wird also auf ein Polynom T(p) abgebildet. Jetzt muß man natürlich wissen, wie das Polynom T(p) aussieht. Dazu gibt man seine Funktionsgleichung an, wodurch das Polynom T(p) wohldefiniert ist: (T(p))(x) = p(x) - (x-1)p'(x) oder kürzer: (Tp)(x) = p(x) - (x-1)p'(x) 4. Die Abbildungsmatrix M(T) einer linearen Abbildung T steht immer im Bezug zu den Basen des Urbild- und des Bild-Vektorraums. In diesem Fall ist dies beidesmal die schon oben genannte Basis B. Zur Bestimmung dieser Matrix M(T) brauchst du als erstes die Bilder für 1 <= i <= 4. Von diesen Bildern brauchst du die Koordinatenvektoren bezüglich der Basis B. |
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| 18.02.2010, 12:20 | bamboozle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin nochmal Schritt für Schritt alles durchgegangen, ist ja im Grunde nichts dramatisches 
da hat mein Hirn wohl Polynome gesehen und dicht gemacht... Ich glaube jetzt blick ich durch, kann jetzt meine Matrix von allein berechnen
Danke! 
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