Basistransformation Ebene zum spiegeln ?

17.02.2010, 00:18

Lumalalelo

Basistransformation Ebene zum spiegeln ?

Ok..gegeben ist folgende Aufgabe:

Ebene:
$\begin{eqnarray*} r = t1 * \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t2 * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Entwickeln Sie eine Matrix S mit der an der Ebene
gespiegelt werden kann. Erzeugen Sie die Matrix mit Hilfe
geeigneter Basistransformationen.

--------------------------------------------------------------------

Also ich wenn man das Skalarprodukt auf die beiden vektoren anwendet, kommt 0 dabei raus..die Vektoren, die die Ebene aufspannen sind also
orthogonal zueinander.

Die Matrix müsste nach meiner Vorstellung so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also einfach die punktrichtungsform als matrix dargestellt (die 0 0 0 Spalte ist quasi der Ortsvektor der ja in diesem fall im Ursprung liegt)

Ok ab hier weiß ich nicht mehr weiter...ich habe keine ahnung wie die Basis ausschauen soll die ich brauche um an der Ebene z.B Punkte (Aufgabenteil b) spiegeln zu können.

jemand anderes hat mir gesteckt, dass ich die matrix orthonormalisieren soll mit dem Gram-Schmidt - verfahren aber ich komm da nicht wirklich weiter unglücklich

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen !
Luma

17.02.2010, 01:44

WebFritzi

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Vielleicht solltest du dir erstmal eine Abbildungsvorschrift für die gewünschte Spiegelung überlegen.

Gram-Schmidt kannst du hier übrigens vergessen.

17.02.2010, 10:00

Lumalalelo

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danke für deinen Hinweis, WebFritzi
Leider bin ich in mathe relativ schwach und weiss mit deiner Antwort ehrlich gesagt nicht so viel anzufangen ^^;
(meinst du dass die Spiegelungsmatrix bijektiv werden soll, so dass alle Punkte um die Z-Achse gespiegelt werden ?)

also wenn ich w+sste, dass die Ebene quasi die Ebene des karthesischen koordinatensystems beschreibt, müsste ich die gewünscheten Punkte wie z.B
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
einfach mit der Matrix :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

multiplizieren...die X und die Y Achse sind (da skalarprodukt der beiden Vektoren = 0) orthogonal zueinander...allerdings hängt die Ebene schief im karthesischen koordinatensystems so dass ich eigentlich mit der projektionsformel eine Orthogonale zu diese Ebenen erzeugen müsste um die Punkte richtig durchspiegeln zu können.

Ich weiss einfach nicht wie ich das ganze mit einer geeigneten basis und einer matrix realisieren soll unglücklich

17.02.2010, 11:42

Ehos

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Der Spiegel (=Ebene) wird von den beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a =(-1|1|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ aufgespannt. Diese beiden Vektoren sind senkrecht. Ein zum Spiegel senkrechter Vektor ist das Kreuzprodukt $\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ =(1|1|0). Damit hast du eine orthogonale Basis $\begin{eqnarray*} \vec a,\vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ und kannst jeden Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ , den du spiegeln willst, als Linearkombination dieser Basis darstellen, also

$\begin{eqnarray*} \vec x=t_1 \vec a+t_2 \vec b +t_3 \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$

Die Koordinaten $\begin{eqnarray*} t_1, t_2, t_3 \end{eqnarray*}$ kannst du schnell berechnen, wenn du einen originale Vektor gegeben hast. Der gespiegelte Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x' \end{eqnarray*}$ unterscheidet sich vom obigen originalen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ nur durch das Vorzeichen im 3.Summenden, denn nur die zum Spiegel senkrechte Komponente wird beim Spiegeln "umgeklappt". Der gespiegelte Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x' \end{eqnarray*}$ lautet also

$\begin{eqnarray*} \vec x'=t_1 \vec a+t_2 \vec b -t_3 \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$

Deine Aufgabe besteht darin, diejenige Abbildungsmatrix A finden, welche das Koordinaten-Tripel $\begin{eqnarray*} (t_1|t_2|t_3) \end{eqnarray*}$ des originalen Vektors auf das Koordinaten-Tripel $\begin{eqnarray*} (t_1|t_2|-t_3) \end{eqnarray*}$ des gespiegelten Vektors abbildet, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ -t_3 \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder kurz $\begin{eqnarray*} \vec t'=A\vec t \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, du kannst die zugehörige Matrix A ohne Rechnung sofort ablesen. Damit hast du aber nur die Abbildungsmatrix A bezüglich der obigen Basis $\begin{eqnarray*} \vec a,\vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ , also bezüglich der Koordinaten $\begin{eqnarray*} \vec t=(t_1|t_2|t_3) \end{eqnarray*}$ . Du sollst aber die Abbildungsmatrix bezüglich der natürlichen Basis $\begin{eqnarray*} \vec e_1=(1|0|0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec e_2=(0|1|0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec e_3=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ finden. Finde deshalb zunächst die Abbildungsmatrix F, welche die Transformation zwischen der Basis $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ und der natürlichen Basis $\begin{eqnarray*} \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 \end{eqnarray*}$ vermittelt, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=F \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch hier kannst du F sofort ablesen. Die Koordinaten transformieren sich kontragredient zur Basis, also über die Matrix $\begin{eqnarray*} F^{T-1} \end{eqnarray*}$ . Die Koordinatentransformation lautet also $\begin{eqnarray*} \vec t=F^{T-1} \vec x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec t'=F^{T-1} \vec x' \end{eqnarray*}$ . Einsetzen in die obige Abbildungsgleichung $\begin{eqnarray*} \vec t'=A\vec t \end{eqnarray*}$ liefert $\begin{eqnarray*} F^{T-1}\vec x'=AF^{T-1}\vec x \end{eqnarray*}$ oder umgestellt $\begin{eqnarray*} \vec x'=F^{T}AF^{T-1}\vec x \end{eqnarray*}$ . Die gesuchte Abbildungsgleichung bezüglich der natürlichen Basis lautet also $\begin{eqnarray*} F^{T}AF^{T-1} \end{eqnarray*}$ .

Das war die Theorie. Die Rechnung versuche mal allein.

17.02.2010, 16:27

Lumalalelo

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Vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Anleitung, Ehos !
Ich bin mal deiner Anleitung gefolgt, um die Aufgabe zu lösen.

"Deine Aufgabe besteht darin, diejenige Abbildungsmatrix A finden, welche das Koordinaten-Tripel $\begin{eqnarray*} (t_1|t_2|t_3) \end{eqnarray*}$ des originalen Vektors auf das Koordinaten-Tripel $\begin{eqnarray*} (t_1|t_2|-t_3) \end{eqnarray*}$ des gespiegelten Vektors abbildet, also "

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ -t_3 \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder kurz $\begin{eqnarray*} \vec t'=A\vec t \end{eqnarray*}$

"Ich hoffe, du kannst die zugehörige Matrix A ohne Rechnung sofort ablesen"

--> A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (hoffentlich^^)

"Damit hast du aber nur die Abbildungsmatrix A bezüglich der obigen Basis $\begin{eqnarray*} \vec a,\vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ , also bezüglich der Koordinaten $\begin{eqnarray*} \vec t=(t_1|t_2|t_3) \end{eqnarray*}$ . Du sollst aber die Abbildungsmatrix bezüglich der natürlichen Basis $\begin{eqnarray*} \vec e_1=(1|0|0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec e_2=(0|1|0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec e_3=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ finden. Finde deshalb zunächst die Abbildungsmatrix F, welche die Transformation zwischen der Basis $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ und der natürlichen Basis $\begin{eqnarray*} \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 \end{eqnarray*}$ vermittelt, also: "

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=F \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> also so wie ich das verstehe, ist der linke Teil der Geichung die transponierte Basismatrix von $\begin{eqnarray*} \vec a,\vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ welcher somit auch identisch mit F ist (die ja lediglich mit der einheitsmatrix multipliziert wird)

---> F = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das dann also die gesuchte matrix ?

der restliche Teil mit den Umformungen ist mir noch nicht ganz klar, werd mich damit nochmal ein weilchen auseinander setzen Augenzwinkern

eine sache die ich besonders nicht Verstehe $\begin{eqnarray*} F^{T-1} \end{eqnarray*}$ ist woher die "- 1) kommt.
Hat das etwas mit dem invertierten x3 (für die Spiegelung) zu tun ?

Auf alle Fälle nocheinmal vielen Dank für deine Zeit und Mühe ! smile

17.02.2010, 17:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lumalalelo
also wenn ich w+sste, dass die Ebene quasi die Ebene des karthesischen koordinatensystems beschreibt, müsste ich die gewünscheten Punkte wie z.B
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
einfach mit der Matrix :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

multiplizieren...

Dann weißt du doch schon ne ganze Menge. Genau das ist nämlich die gesuchte Matrix!!! Allerdings bezüglich einer anderen Basis. Welche Basis ist das wohl? Wenn du die hast, musst du nur noch die Basistransformationsmatrix bestimmen, deine Matrix damit transformieren und bist fertig.

18.02.2010, 10:32

Ehos

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Es ist richtig, dass die Spiegelmatrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ lautet

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt müssen wir jetzt die Transformationamatrix F finden, welche die Basis $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ auf die natürlichen Basis $\begin{eqnarray*} \vec e_1=(1|0|0), \vec e_2=(0|1|0), \vec e_3=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ abbildet, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=F \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie du richtig gesagt hast, lautet diese Transformationamatrix offenbar

$\begin{eqnarray*} F=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zwischenbemerkung:
Du hast gefragt, warum man die Matrix $\begin{eqnarray*} F^{T-1} \end{eqnarray*}$ berechnen muss. Antwort: Wenn man allgemein irgend einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x=a_1\vec a_1+a_2\vec a_2+a_3\vec a_3 \end{eqnarray*}$ betrachtet und die Basis ändert gemäß $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2, \vec a_3\rightarrow\vec a'_1, \vec a'_2, \vec a'_3 \end{eqnarray*}$ , dann muss man natürlich auch die Koordinaten ändern gemäß $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, a_3 \rightarrow a'_1, a'_2, a'_3 \end{eqnarray*}$ . Derselbe Vektor lautet dann in der neuen Darstellung $\begin{eqnarray*} \vec x=a'_1\vec a'_1+a'_2\vec a'_2+a'_3\vec a'_3 \end{eqnarray*}$ . Nun gilt folgendes, was du eigentlich in der Vorlesung gehört haben müsstest: Wenn sich die Basis über die Matrix F transformiert, dann müssen die Koordinaten über die Matrix $\begin{eqnarray*} F^{T-1} \end{eqnarray*}$ transformiert werden. (Sieh dir den Beweis nochmals in deinem Skript an. Das ist eine einfache aber wichtige Tatsache.)

Diese Matrix habe ich für inseren Fall berechnet:

$\begin{eqnarray*} F^{T-1}=\begin{pmatrix} -\frac {1}{2} & \frac {1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac {1}{2} & \frac {1}{2} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit dieser Matrix muss man also die Koordinaten $\begin{eqnarray*} (t_1|t_2|t_3) \end{eqnarray*}$ , welche zur Basis $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ gehören auf die Koordinaten $\begin{eqnarray*} (x_1|x_2|x_3) \end{eqnarray*}$ transformieren, welche zur natürlichen Basis $\begin{eqnarray*} \vec e_1=(1|0|0), \vec e_2=(0|1|0), \vec e_3=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ gehören, also

$\begin{eqnarray*} \vec t=F^{T-1}\vec x \end{eqnarray*}$

Dies setzt du nun in unsere bekannte Abbildungsgleichung $\begin{eqnarray*} \vec t'=A\vec t \end{eqnarray*}$ ein und erhälst $\begin{eqnarray*} F^{T-1}\vec x'=AF^{T-1}\vec x \end{eqnarray*}$ oder umgestellt

$\begin{eqnarray*} \vec x'=A'\vec x' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A'=F^TAF^{T-1} \end{eqnarray*}$

Das ist die Abbildungsgleichung bezüglich der natürlichen Koordinaten. Nun können wir die Abbildungsmatrix explizit berechnen.

$\begin{eqnarray*} A'=F^TAF^{T-1}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac {1}{2} & \frac {1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac {1}{2} & \frac {1}{2} & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur Probe kann man diese Matrix A' auf die beiden ursprünglich gegebenen Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a=(-1|1|0)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ anwenden, welche die Spiegelebene aufspannen. Da diese beiden Vektoren innerhalb der Spiegelebene liegen, darf diese Matrix auf diese Vektoren keinerlei Wirkung haben, also $\begin{eqnarray*} A'\vec a=\vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A'\vec b=\vec b \end{eqnarray*}$ . Anschaulich bedeutet dies, dass das Spiegelbild eines Striches auf dem Spiegel (z.B. mit einem Filzstift) mit dem Strich übereinstimmt (Bild=Original). Das ist in der Tat der Fall, wie man leicht nachrechnen kann.

18.02.2010, 21:06

Lumalalelo

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Woah, vielen dank für die ausführlichen Antworten auf meine Fragen, Ehos !
Ich denke ich habe es jetzt verstanden ! smile

Mathe ist leider nicht eine meiner Stärken allerdings sehe ich es auch nicht ein nur stupide Formeln auswendig zu lernen und anzuwenden, ohne die genaue Mechanik zu verstehen.
Ich bin jetzt ein gutes Stück klüger...vielen Dank für deine Zeit und Mühen !

@WebFritzi:
Auch dir vielen Dank für deine Tipps !
(leider fehlte mir das nötige Basiswissen um mit ihnen was anfangn zu können..was natürlich an mir lag Augenzwinkern

)

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