Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert

19.02.2010, 15:05

Andrei

Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert

Hallo ihr Experten

Ich mache mir Gedanken über folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie die Funktion hinsichtlich a) Definitionsbereich, b) Nullstellen, c)Extremwerte

Ich würde zunächst die untere Klammer ausmultiplitzieren, aber wie dann weiter?

f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{3x-1}{(1-x)³} \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 15:23

klarsoweit

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert

Zitat:

Original von Andrei
Ich würde zunächst die untere Klammer ausmultiplitzieren

Das wäre das allerdümmste. Wann kann bei der Funktion ein nicht definierter Ausdruck entstehen?

19.02.2010, 15:37

andrei

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert
besser so?

(3x-1) * (1-x)^-3?

19.02.2010, 15:46

klarsoweit

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert
Nee. Die Darstellung mit dem Bruch im 1. Post ist schon ok. Da würde ich nicht dran rütteln. Kümmere dich lieber um die Beantwortung der Fragen nach Definitionsbereich und Nullstellen.

19.02.2010, 15:54

Andrei

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert
ich versuchs zunächst mal mit den nullstellen.

ich machs mal ohne bruch,

also wäre das dann: (3x-1)*(1-x)^-3

folglich : 3x²-4x+1

PQ Formel: x1=1 x2= 1/3

richtig?

19.02.2010, 15:57

klarsoweit

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert

Zitat:

Original von Andrei
ich machs mal ohne bruch,

Das ist fatal.

Zitat:

Original von Andrei
also wäre das dann: (3x-1)*(1-x)^-3

Ich weiß nicht, was du rechnest, um auf diesen Ausdruck zu kommen. verwirrt

Zitat:

Original von Andrei
PQ Formel: x1=1 x2= 1/3

Setze mal x=1 in die Funktion ein.

Vielleicht solltest du erstmal drüber nachdenken, wie ein Bruch aussehen muß, damit er gleich Null ist.

19.02.2010, 15:59

Andrei

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert
Extremwert:

f'(X) =0

0= 6x-4

x= 2/3

f''(x) = 6

f''(1/3) = 2 > 0 : TP

ist das soweit ok?

19.02.2010, 16:04

Andrei

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert
ich habe gerechnet:
Ich machs lieber so, weil ich mit den Brüchen nicht so klar komme
(3x-1)*(1-x)^-3

folgt 3x-1-3x²+x

= 4x-1-3x²
= -3x²+4x-1 /*(-1)

=3x²-4x+1 dieses dann in die pq formel eingesetzt und ich bekomme mein x1 und x2

haut das so nicht hin?

19.02.2010, 16:11

Andrei

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert
oh, habe x=1 in die Funktion eingesetzt, geht nicht verwirrt

1/3 geht aber, da komme ich auf Null

19.02.2010, 16:25

Iorek

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert

Zitat:

Original von Andrei
(3x-1)*(1-x)^-3

folgt 3x-1-3x²+x

Ganz falsch. Du kannst das so nicht ausmultiplizieren, am besten sofort wieder vergessen.

Nimm doch klarsoweits Tipp an und lass das einfach im Nenner stehen, dadurch wird die gesamte Aufgabe um ein vielfaches einfacher.

19.02.2010, 16:42

Andrei

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RE: Definitionsbereich,Nullstellen und Extremwert
ich weiß jedoch nicht, wie ich dann forzugehen habe.

ein tip?

19.02.2010, 16:44

Iorek

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Da hilft der nächste Tipp von klarsoweit:

Zitat:

Wann kann bei der Funktion ein nicht definierter Ausdruck entstehen?

Anders ausgedrückt, welche Werte darfst du nicht für x einsetzen?

19.02.2010, 16:54

Andrei

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alle werte, für die die funktion ungleich null ist, meine ich, denn das ist ja die vorraussetzung.

19.02.2010, 17:04

Iorek

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Zitat:

Original von Andrei
alle werte, für die die funktion ungleich null ist, meine ich, denn das ist ja die vorraussetzung.

Wofür ist das eine Vorraussetzung? (Wir sind noch bei Aufgabe a), dem Definitionsbereich).

19.02.2010, 17:24

andrei

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sorry, war bei den nullstellen.

also,ich weiß nicht genau was du meinst, der def bereich muss den reellen zahlen entsprechen?

19.02.2010, 17:25

Iorek

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Nicht allen reellen Zahlen, da muss es nämlich eine Einschränkung geben.

Wir haben ja einen Bruch da stehen, was ist bei einem Bruch denn absolut verboten? Was darf bei einem Bruch niemals auftreten?

19.02.2010, 17:31

Andrei

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wäre der Definitionsbereich dann R \ (1) ?

19.02.2010, 19:51

Iorek

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Der Definitionsbereich stimmt Freude

Der Nenner darf halt nie 0 werden, und das wäre eben für x=1 der Fall, also muss man dieses ausschließen.

Wie sieht es denn mit den Nullstellen aus? Wie kann man die am besten berechnen?

20.02.2010, 15:44

Andrei

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habe etwas ausprobierrt, meine mich schwach dran zu erinnern.

habe den zähler null gesetzt und dann nach x aufgelöst

3x-1=0

x= 1/3

das hab ich dann in den nenner eingesetzt, wenn das ergebnis ungleich 0 ist, ist das meine nullstelle?

20.02.2010, 15:49

Iorek

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In meinen Augen etwas umständlich, aber durchaus richtig smile

Ein Bruch ist natürlich dann 0, wenn der Zähler gleich 0 ist. Also reicht es aus, nur den Zähler zu betrachten. Falls man für x dann Werte erhält, die nicht im Definitionsbereich, müssen diese natürlich ausgeschlossen werden, man darf sie ja nicht einsetzen.

Deine Nullstelle für $\begin{eqnarray*} x=\frac 13 \end{eqnarray*}$ stimmt also smile

Damit sind a) und b) abgehakt, bleibt nur noch c übrig.

Was braucht man denn zur Bestimmung der Extremwerte einer Funktion?

20.02.2010, 15:58

Andrei

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wie wäre dein ansatz dazu gewesen?

für die extremwerte benötige ich die erste ableitung.
die dann 0 setzen

ich habs mit der kettenregel und quotientenregel probiert, das erscheint mir doch sehr umständlich, ich komme auch auf kein vernünftiges ergebnis

20.02.2010, 16:04

Iorek

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Erste Ableitung ist schonmal richtig, Ketten- und Quotientenregel auch. Umständlich sollte es auch nicht sein, wenn man organisiert vorgeht.

Du kannst dir den Bruch erstmal aufteilen und nur die Ableitung vom Zähler und vom Nenner einzeln bestimmen. Die kannst du dir dann gesondert aufschreiben.

Nenne z.B. den Term im Zähler $\begin{eqnarray*} h(x)=3x-1 \end{eqnarray*}$ , wie ist dann die Ableitung davon? Den Term im Nenner bezeichnen wir einfach mit $\begin{eqnarray*} g(x)=(1-x)^3 \end{eqnarray*}$ , mit der Kettenregel bekommen wir auch davon die Ableitung.

Danach können wir das ganze für die Quotientenregel benutzen.

20.02.2010, 16:18

Andrei

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h(x) = 3x-1 h'(x) = 3

g(x) = (1-x)³ g'(x) = -3(1-x)²

aber dann?

20.02.2010, 16:28

Iorek

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Jetzt haben wir die Ableitungen von Zähler und Nenner gebildet, diese brauchen wir für die Quotientenregel: $\begin{eqnarray*} [ \frac {g(x)}{h(x)}]'=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{(h(x))^2} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt müssen wir unsere Ableitungen einfach einsetzen und erhalten als Ergebnis die erste Ableitung.

20.02.2010, 16:49

Andrei

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habe alles ausmultipliziert

latex]\frac{-6x³+12x²-6x+6}{9x²-6x+1}[/latex]

20.02.2010, 16:50

Andrei

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habe alles ausmultipliziert

$\begin{eqnarray*} \frac{-6x³+12x²-6x+6}{9x²-6x+1} \end{eqnarray*}$

20.02.2010, 17:02

Iorek

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Warum willst du immer alles ausmultiplizieren? Lass das ganze doch schön zusammengefasst stehen.

Außerdem stimmt deine Ableitung nicht, magst du vllt. mal deine Rechenschritte posten?

20.02.2010, 17:08

andrei

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welche ableitung stimmt nicht?

20.02.2010, 17:11

Iorek

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Hoppla, ich merk grad, dass ich bei der Quotientenregel einen Fehler gemacht hab, ich hab unsere Variablen verwechselt...

$\begin{eqnarray*} [ \frac {h(x)}{g(x)}]'=\frac{h'(x)\cdot g(x)-h(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2} \end{eqnarray*}$ muss das heißen.

Für die falsche Formel stimmt deine Ableitung, mein Fehler.

20.02.2010, 17:12

Andrei

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ok, ich lass das mit dem ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} \frac{-3(1-x)²*(3x-1)-(1-x)³*3}{(3x-1)²} \end{eqnarray*}$

verwirrt

20.02.2010, 17:15

Andrei.

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ok, ich setzte die werte ein und lass den bruch so stehen.

ich steh total aufm schlauch, wies weiter geht, sorry

20.02.2010, 17:27

Iorek

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Das ist noch immer mit der falschen Formel Augenzwinkern

Wenn wir die richtige nehmen bekommen wir:
$\begin{eqnarray*} \frac{3\cdot (1-x)^3-(3x-1)\cdot (-3)\cdot (1-x)^2}{((1-x)^3)^2} \end{eqnarray*}$

Würden wir das ganze jetzt ausmultiplizieren. wären das ganz schön lange Ausdrücke, daher meinte ich, dass wir das einfach so stehen lassen, wir können das aber noch etwas zusammenfassen und vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3\cdot (1-x)^3-(3x-1)\cdot (-3)\cdot (1-x)^2}{((1-x)^3)^2}=\frac{3\cdot(1-x)^3+3(3x-1)(1-x)^2}{(1-x)^36} \\ =\frac{3(1-x)^2\cdot ((1-x)+(3x-1))}{(1-x)^6}=\frac{3\cdot(2x)}{(1-x)^4}=\frac {6x}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$

Hätten wir das ausmultipliziert, wäre das Ausklammern und kürzen um einiges aufwändiger gewesen.

Jetzt haben wir die erste Ableitung, was ist der nächste Schritt zur Extremwertbestimmung?

20.02.2010, 17:39

Andrei

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Die Zusammenfassung der Brüche, muss ich gleich noch mal selbst nachvollziehen.

als nächstes brauche ich den wert, und schaue dann mit der zweiten ableitung ob es sich um eine min bzw max handelt.

20.02.2010, 17:46

Iorek

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Zur Zusammenfassung der Brüche: Ich habe $\begin{eqnarray*} 3\cdot(1-x)^2 \end{eqnarray*}$ ausgeklammert.

Welchen Wert meinst du? Wie kommt man an diesen Wert? Augenzwinkern

20.02.2010, 17:53

Andrei

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Ich würde wieder ausmultiplizieren, aber ich darf ja nicht Hammer

20.02.2010, 17:59

Iorek

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Glaub mir, das Ausmultiplizieren macht das ganze schwerer Augenzwinkern

Wir müssen aber noch immer den nächsten Schritt machen, was ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt?

20.02.2010, 18:05

Andrei

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Notwendige Bedingung: f'(x) = 0

$\begin{eqnarray*} \frac{6x}{(1-x)^4} =0 \end{eqnarray*}$

20.02.2010, 18:06

Iorek

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Stimmt genau smile

Und diese Gleichung zu lösen sollte ja nicht allzu schwer sein Augenzwinkern

20.02.2010, 18:11

Andrei

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Ich würde jetzt einfach im Zähler für x 0 einsetzen, da somit die Bedingung ja erfüllt wäre Big Laugh

20.02.2010, 18:13

Iorek

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Das Ergebnis ist zwar richtig, allerdings sollte man es noch vernünftig aufschreiben. Bei der Aufgabe gibt es nur einen möglichen Extrempunkt, aber bei anderen Aufgaben kann es auch noch mehr geben, also einfach nur eine Zahl einsetzen wo es funktioniert reicht nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{6x}{(1-x)^4}=0 \ | \cdot (1-x)^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x=0 \ | : 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

Also haben wir nur eine mögliche Extremstelle. Was müssen wir damit jetzt machen?

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