Schnittgerade von Ebene und Geradenschar

19.02.2010, 16:10

yo0726

Schnittgerade von Ebene und Geradenschar

Hallo,

diese Frage wurde schonmal gestellt, aber ich versteh nicht genau wie man jetzt drauf kommt. Wie soll ich denn das Gleichungssystem lösen
(steht ganz unten)?

Gegeben sind die Geraden $\begin{eqnarray*} Ga: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 4+2a \\ -1+5a \\ 1+3a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die Ebene E, die durch die Punkte $\begin{eqnarray*} P(1|0|2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Q(2|0|3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R(0|2|2) \end{eqnarray*}$ festgelegt wird. Die Schnittpunkte Sa dieser Geraden mit der Ebene E bilden eine Gerade h.
a.) Bestimmen sie eine Gleichung der Geraden h.
b.) für welche a schneidet die Gerade Ga nicht die Ebene E.

also zuerst habe ich die Gleichung der Ebene bestimmt : $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann habe ich die Gerade mit der Ebene gleichgesetzt.. normalerweise berechnet man so ja den Durchstoßpunkt.. in dem Fall gibt es ja unendlich viele Druchstoßpunkte, die ja wieder diese Gerade bilden... ist das der richtige Weg schonmal?
ich weiß allerdings nicht so genau, wie ich dann weiterrechnen soll.. soweit bin cih jetzt im Moment: (sorry, konnte das LGS nicht besser darstellen)

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -1 & (-4-2a)& |1 \\ 0 & 2 & (1-5a)& |7 \\ 0 & 0 & (-5-3a) & |7 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 17:09

Gualtiero

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RE: Schnittgerade von Ebene und Geradenschar
Aufgabe a.) wollte ich mit diesem LGS

2 + (4 + 2a) * t = 1 + r - s

7 + (5a - 1) * t = 0 + 0 + 2s

3 + (1 + 3a) * t = 2 + r + 0

lösen. Entweder ist es der falsche Gedankenansatz, oder ich hab mich verrechnet, weil ich a = 0 herausbekam. verwirrt

Zu b.) Eine Gerade schneidet eine Ebene dann nicht, wenn sie zur Ebene parallel ist; das ist der Fall, wenn z. b. das Skalarprodukt von Richtungsvektor der Geraden und Normalvektor der Ebene Null ergeben. Weißt Du, wie man den NV einer Ebene bekommt?

19.02.2010, 18:37

yo0726

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ich glaub man müsste diese gleichung lösen:

r - s - t(4+2a) = 1
2s - t(-1+5a) = 7
r - t(1+3a) = 1

Liege ich da richtig?

19.02.2010, 18:48

riwe

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RE: Schnittgerade von Ebene und Geradenschar
etwas einfacher dürfte die aufgabe werden, wenn man E auf koordinatenform bringt, eine form,
die man wegen b) vermutlich sowieso braucht (zumindest einen normalenvektor von E).

damit bekomme ich für die schnittgerade:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -3 \\ 0\\ -2\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-1 \\ 14\\6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(ohne mich mit a ärgern zu müssen Augenzwinkern

)

19.02.2010, 18:51

Gualtiero

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Das ist praktisch mein LGS, nur etwas umgestellt. Hast Du es gelöst?

Mein Ansatz war, dass in der Schnittgeraden für $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ beide Gleichungen - Gerade und Ebene - erfüllt sein müssen.

Edit: Meine Antwort bezieht sich auf yo0726.

19.02.2010, 19:03

riwe

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die lösung ist

$\begin{eqnarray*} a=-\frac{7+5t}{3t} \end{eqnarray*}$

mit t <> 0 (pünktchen)

womit man (auch) auf mein obiges ergebnis kommt (zumindest der richtungsvektor stimmt überein, der rest ist mir zu mühsam)

19.02.2010, 20:44

Gualtiero

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Das verstehe ich nicht. Wo steht, dass man a durch t ausdrücken soll. Die beiden Parameter sind doch voneinander unabhängig.

Oder verstehe ich die Aufgabe doch nicht. verwirrt

Ich sehe es so: durch a können linear unabhängige Vektoren erzeugt werden, so dass damit eigentlich eine Ebene definiert wird.

Wenn die Gerade zur Ebene parallel sein soll, habe ich a = - (5 / 3).

19.02.2010, 21:14

riwe

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du sollst doch die schnittgerade der beiden ebenen $\begin{eqnarray*} G_a \end{eqnarray*}$ und E bestimmen.
und dazu mußt du einen der beiden parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s = a\cdot t \end{eqnarray*}$ durch den anderen ausdrücken,
(woraus man schließen könnte, dass sie für die schnittgerade eben nicht unabhängig voneinander sind).
und dies geht viel einfahcher, wenn man eine ebene in die koordinatenform bringt.

$\begin{eqnarray*} E : 2x+y-2z+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 14 \\6 \end{pmatrix} =t\begin{pmatrix} 4+2a \\ -1+5a \\1+3a \end{pmatrix} \to a=-\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ Freude

19.02.2010, 21:21

yo0726

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wie kommste auf den vektor (-1 ; 14 ; 6) ????

19.02.2010, 21:22

Gualtiero

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Zitat:

Original von riwe

. . und dazu mußt du einen der beiden parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s = a\cdot t \end{eqnarray*}$ durch den anderen ausdrücken,
(woraus man schließen könnte, dass sie für die schnittgerade eben nicht unabhängig voneinander sind).
[/latex] Freude

Das ist der springende Punkt, habe ich verschlafen. Augenzwinkern

Danke Dir.

@yo0726
Lass Dich nicht abschrecken, sondern frag ruhig dazwischen, wenn Dir was unklar ist.

19.02.2010, 21:26

yo0726

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Ga ist eine Gerade und keine Ebene.

19.02.2010, 21:42

riwe

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Zitat:

Original von yo0726
Ga ist eine Gerade und keine Ebene.

das ist falsch.
du solltest deinen eigenen text genauer lesen: ... gegeben sind DIE geradeN.... unglücklich