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rekursion + partialbruchzerlegung
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19.02.2010, 19:46 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl rekursion + partialbruchzerlegung

hallo!
Aufgabenstellung lautet:
Finde einen geschlossenen Ausdruck fuer die glieder der Folge [latex] a_{n}[/latex]die der Rekursion
[latex]a_{n} = - a_{n-1} +5a_{n-2} -3a_{n-3}[/latex] mit den anfangsbedingungen [latex]a_{0}=7, a_{1}=-12,a_{2}=49[/latex] genuegt.

ich folge brav der anleitung aus meinem skript:
mulitpliziere beide seiten der rekursion mit [latex]z^{n}[/latex].
summiere anschliessend ueber [latex]n\geq 2 [/latex]
setzte [latex]a(z)=\sum\limits_{n\geq 0}^n a_{n} z^{n} [/latex]
und kommen nach dem "ausgleichen" und umformen auf
[latex] a(z)= \frac {2z^{2}-5z+7} {3z^{3}-5z^{2}} + z + 1 [/latex]

so jetzt muss man mit diesem rationalen polynom eine partialbruchzerlegung anstellten und anschliessend das ergebniss in potenzreihen entwickeln. die koeffizienten der potenzreihenentwicklung sollten den geschlossenen ausdruck ergeben.

bei der fraktorisierung des nennerpolynoms bleibt mir eine konstante 3.
(nullstellen sind zweimal 1, und 1/3)
beim problem ist das ich nicht weis wohin ich die drei beim ansatz der partialbruchzerlegung geben soll.
soll sie unter jedem "teilbruch" stehen? - dann haette sie beim ausrechnene der koeffizienten sowieso keinen einfluss
oder nur bei einem einzelenen "teilbruch"

kann mir jemand den korrekten ansatz bitte aufschreiben? danke.

und das zweite "problem" ist: fuers potenzreihen entwickeln ist es von vorteil wenn im nenner etwas wie (1-z) steht. muss ich meine linearefaktoren schon vor der partialbruchzerlegung in diese form bringen, oder reicht es auch wenn ich sie erst umforme wenn ich schon fertig bin mit der pratialbruchzerlegung? also die frage ist ob es einen unterschied macht.

tausend dank fuer jede hilfe
elisabeth
 
 
 
19.02.2010, 21:42 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl RE: rekursion + partialbruchzerlegung

hey!

offenbar ist meine frage unverstaendlich.
es geht nur um die partialbruchzerlegung von - oh fehler - sorry latex anfaenger bin-

[latex] a(z)=\frac{2z^{2}+5z+7}{3z^{3}-5z^{2}+z+1}[/latex]

is folgender ansatz richtig?:

[latex]\frac{A}{3(z-1)}+\frac{B}{3(z-1)^{2}}+\frac{C}{3(z+1/3)}[/latex]

lg elisabeth
19.02.2010, 21:48 Auf diesen Beitrag antworten »
kiste

Viel Text dafür das es nur um PBZ geht Augenzwinkern
Ja der Ansatz ist richtig, die 3en im Nenner sind jedoch nicht notwendig da man die genauso gut in die Konstanten packen kann. Aber das ist Geschmackssache.
19.02.2010, 21:49 Auf diesen Beitrag antworten »
wisili RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Ja, der Zerlegungsansatz stimmt.
(Könnte Zahlen zur Kontrolle liefern.)
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19.02.2010, 22:10 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl

ja den text hab ich dazu geschrieben damit kuenfige loeser dieser art von uebungsbeispiele was zum anhalten finden Augenzwinkern . geloest ist das beispiel ja eh noch nicht;

waere auch folgende zerlegung richtig:

[latex] \frac {A}{1-z}+\frac{B}{(1-z)^{2}}+\frac{C}{1+3z} [/latex]
19.02.2010, 22:13 Auf diesen Beitrag antworten »
wisili

Ja, natürlich.
19.02.2010, 22:18 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl

super danke.

dann weis ich jetzt das bishierher alles stimmt und der rechenfehler weiterunten liegt...

nochmals danke smile
19.02.2010, 22:21 Auf diesen Beitrag antworten »
wisili

Für die zuletzt genannte Zerlegung gilt A = 3/8, B = 7/2 und C = 25/8.

(Die Werte A, B und C passen sich der gewählten Zerlegungsform an. Es ist egal, ob du
die Faktoren 3 im Nenner dabei hast oder nicht (also besser ohne) und ebenfalls, ob du
(1-z) oder (z-1) schreibst: Der Wechsel bewirkt einen Vorzeichenwechsel beim Koeffizienten.)

Es ist mir noch aufgefallen, dass die Terme für a(z) in deinen ersten beiden Beiträgen nicht übereinstimmen.
19.02.2010, 22:30 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl

okidoki. ich hab jetzt mit dem zuletzt geposteten ansatz weitergerechnet:

komm auf das GLS

2=-3A+C
-5=2A+3B-2C
7=A+B+C

loesung A=20/13 B=-15/13 C=86/13

stimmt das bis hierher?
19.02.2010, 22:36 Auf diesen Beitrag antworten »
wisili

Statt -5 sollte 5 stehen.
19.02.2010, 22:46 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl

oh, stimmt - ok schon wieder ein abschreibfehler - und ich weis jetzt nicht mehr welches das richtige ist (schon zu oft verrechnet unglücklich )

ich glaub ich werd das dann bei frischem kopf in frueh nochmal machen. smile

eine letzte frage noch:

[latex] \frac {1}{1+3z} = \sum\limits_{n\geq 0} (-3)^{n}z^{n} [/latex]

stimmt das?
19.02.2010, 22:50 Auf diesen Beitrag antworten »
wisili

Ja, wenn |z|<1/3.
19.02.2010, 22:58 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl

das heist ich muss es anders entwickeln wenn ich eine loesung fuer das beispiel haben will. wie kann man das noch machen?

geht das:

[latex] \frac {1}{1+3z}= \sum\limits_{n\geq 0} \begin{pmatrix} -1\\ n \end{pmatrix} z^{n} [/latex]



nein oder? weil der binominalkoeffizient nicht fuer -1 zahlen definiert ist.
19.02.2010, 23:05 Auf diesen Beitrag antworten »
wisili

Wieso heisst es das? (Erzeugende Funktionen werden, soviel ich noch weiss, nur formal verwendet.
Da spielt die genannte Konvergenzbedingung keine Rolle.)
- ich gehe offline -
22.02.2010, 10:02 Auf diesen Beitrag antworten »
Kühlkiste RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Zitat:
Original von mathelisl
und kommen nach dem "ausgleichen" und umformen auf
[latex] a(z)= \frac {2z^{2}-5z+7} {3z^{3}-5z^{2}} + z + 1 [/latex]

Hier geht's schon den Bach runter, denn dieses Zwischenergebnis ist falsch.


Nach 'Ausgleichen und Umformen' solltest Du erhalten:

[latex]\sum_{n=0}^\infty a_nz^n=\frac{2z^2-5z+7}{3z^3-5z^2+z+1}.[/latex]


Das kannst Du dann mittels PBZ umformen zu:

[latex]\frac 1{1-z}^2+\frac 1{1-z}+\frac 5{3z-1}.[/latex]

Die jeweiligen Reihenentwicklungen lassen sich mehr oder weniger ablesen und per Koeffizientenvergleich ergibt sich schließlich:

[latex]a_n=(n+2)+5(-3)^n.[/latex]
22.02.2010, 10:06 Auf diesen Beitrag antworten »
Kühlkiste RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Kleine Korrektur:

Zitat:
Original von Kühlkiste
Das kannst Du dann mittels PBZ umformen zu:

[latex]\frac 1{(1-z)^2}+\frac 1{1-z}+\frac 5{3z-1}.[/latex]
22.02.2010, 10:41 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl RE: rekursion + partialbruchzerlegung

also erstmal danke fuer das fertigrechnen meines bspls.

danke auch fuer die korrektur - das falsche zwischenergebniss war ein tippfehler, den ich erst zu spaet gesehen hab - aber egal, danke trotzdem.

wie kommst du auf die zwei im endergebnis? ist die reihenentwiklung von
[latex]\frac {1}{1-z} [/latex] nicht [latex]\sum {} z^{n} [/latex]

ich haett da 1 als koeffizienten abgelesen.
22.02.2010, 10:49 Auf diesen Beitrag antworten »
Kühlkiste RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Zunächst mal hatte ich noch einen kleinen Tippfehler drin - sorry.


Korrekt lautet das Ganze also:

[latex]\sum_{n=0}^\infty a_n z^n=\frac{2z^2-5z+7}{3z^3-5z^2+z+1}=\frac 1{(1-z)^2}+\frac 1{1-z}+\frac 5{1+3z}.[/latex]

Schreib doch einfach mal die drei Reihenentwicklungen hin, dann wird sich Deine Frage von selbst beantworten.
22.02.2010, 10:53 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl RE: rekursion + partialbruchzerlegung

meine reihenentwicklungen lauten
[latex] \sum {}nz^{n} + \sum {} z^{n} +5 \sum {} (-3)^{n}z^{n} [/latex]

daraus ergibt sich

[latex] n + 1 + 5 *(-3)^{n} [/latex]

wo steh ich an????
22.02.2010, 10:57 Auf diesen Beitrag antworten »
Kühlkiste RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Zitat:
Original von mathelisl
meine reihenentwicklungen lauten
[latex] \sum {}nz^{n} + \sum {} z^{n} +5 \sum {} (-3)^{n}z^{n} [/latex]

daraus ergibt sich

[latex] n + 1 + 5 *(-3)^{n} [/latex]

wo steh ich an????


Du solltest bei der Reihenentwicklung von [latex]\frac 1{(1-z)^2}[/latex] noch mal ganz genau hingucken.
22.02.2010, 11:04 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl RE: rekursion + partialbruchzerlegung

ohhhhhhhh!!!!!! schittt....Tausend dank!!!!
ich hab da diese reihenentwicklung falsch abgeschrieben von wikipedia .... z im zaehler uebersehen ....uiuiui....da hat mir jemand ein geschenk gemacht smile und viel zukuenftigen aerger weggenommen smile

alles klar! Big Laugh

danke an alle, danke fuer die hilfe smile

der artikel kann von mir aus nun geschlossen werden smile
22.02.2010, 11:10 Auf diesen Beitrag antworten »
Kühlkiste RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Zitat:
Original von mathelisl
ich hab da diese reihenentwicklung falsch abgeschrieben von wikipedia .... z im zaehler uebersehen


Och nö, so was musste doch nicht bei Wiki nachschlagen.

Mit dem Cauchyprodukt ist das ein Halbzeiler:

[latex]\left(\sum_{n=0}^\infty z^n\right)^2=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n z^n=\sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n.[/latex]
22.02.2010, 11:19 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl RE: rekursion + partialbruchzerlegung

tja....sobald ich das was du mir da grad geschrieben hab mal nachgelesen hab....und ich irgendwann dann mal besser werd in analysis....werd ich das auch sagen....
einstweilen ist wikipedia eine quelle des wissens fuer mich Big Laugh :P

trotzdem danke....so umgeh ich den bloeden binominalkoeffizienten bei der vorgeschlagenen reihe aus wiki smile
22.02.2010, 14:06 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Zitat:
Original von mathelisl
und ich irgendwann dann mal besser werd in analysis....


Wie wär's wenn du "mal besser werd" in Deutsch? Ist ja schrecklich, was du da so schreibst.

Es geht übrigens auch so:

[latex]\frac 1 {(1-z)^2} = \left( \frac 1 {1-z} \right)' = \left( \sum_{n=0}^\infty\,z^n \right)' = \sum_{n=0}^\infty\,(z^n)' = \sum_{n=1}^\infty\,nz^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty\,(n+1)z^n.[/latex]
22.02.2010, 15:28 Auf diesen Beitrag antworten »
mathelisl RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Ich bitte um Entschuldigung wegen meines Deutsches...ich werde in Zukunft bestrebt sein nur noch in geschwollestem Deutsch zu schreiben. Gott


Fuer den mathematischen Hinweis bin ich jedoch sehr dankbar. smile
 
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