rekursion + partialbruchzerlegung

19.02.2010, 19:46

mathelisl

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rekursion + partialbruchzerlegung

hallo!
Aufgabenstellung lautet:
Finde einen geschlossenen Ausdruck fuer die glieder der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ die der Rekursion
$\begin{eqnarray*} a_{n} = - a_{n-1} +5a_{n-2} -3a_{n-3} \end{eqnarray*}$ mit den anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} a_{0}=7, a_{1}=-12,a_{2}=49 \end{eqnarray*}$ genuegt.

ich folge brav der anleitung aus meinem skript:
mulitpliziere beide seiten der rekursion mit $\begin{eqnarray*} z^{n} \end{eqnarray*}$ .
summiere anschliessend ueber $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$
setzte $\begin{eqnarray*} a(z)=\sum\limits_{n\geq 0}^n a_{n} z^{n} \end{eqnarray*}$
und kommen nach dem "ausgleichen" und umformen auf
$\begin{eqnarray*} a(z)= \frac {2z^{2}-5z+7} {3z^{3}-5z^{2}} + z + 1 \end{eqnarray*}$

so jetzt muss man mit diesem rationalen polynom eine partialbruchzerlegung anstellten und anschliessend das ergebniss in potenzreihen entwickeln. die koeffizienten der potenzreihenentwicklung sollten den geschlossenen ausdruck ergeben.

bei der fraktorisierung des nennerpolynoms bleibt mir eine konstante 3.
(nullstellen sind zweimal 1, und 1/3)
beim problem ist das ich nicht weis wohin ich die drei beim ansatz der partialbruchzerlegung geben soll.
soll sie unter jedem "teilbruch" stehen? - dann haette sie beim ausrechnene der koeffizienten sowieso keinen einfluss
oder nur bei einem einzelenen "teilbruch"

kann mir jemand den korrekten ansatz bitte aufschreiben? danke.

und das zweite "problem" ist: fuers potenzreihen entwickeln ist es von vorteil wenn im nenner etwas wie (1-z) steht. muss ich meine linearefaktoren schon vor der partialbruchzerlegung in diese form bringen, oder reicht es auch wenn ich sie erst umforme wenn ich schon fertig bin mit der pratialbruchzerlegung? also die frage ist ob es einen unterschied macht.

tausend dank fuer jede hilfe
elisabeth

19.02.2010, 21:42

mathelisl

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung
hey!

offenbar ist meine frage unverstaendlich.
es geht nur um die partialbruchzerlegung von - oh fehler - sorry latex anfaenger bin-

$\begin{eqnarray*} a(z)=\frac{2z^{2}+5z+7}{3z^{3}-5z^{2}+z+1} \end{eqnarray*}$

is folgender ansatz richtig?:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{3(z-1)}+\frac{B}{3(z-1)^{2}}+\frac{C}{3(z+1/3)} \end{eqnarray*}$

lg elisabeth

19.02.2010, 21:48

kiste

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Viel Text dafür das es nur um PBZ geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja der Ansatz ist richtig, die 3en im Nenner sind jedoch nicht notwendig da man die genauso gut in die Konstanten packen kann. Aber das ist Geschmackssache.

19.02.2010, 21:49

wisili

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung
Ja, der Zerlegungsansatz stimmt.
(Könnte Zahlen zur Kontrolle liefern.)

19.02.2010, 22:10

mathelisl

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ja den text hab ich dazu geschrieben damit kuenfige loeser dieser art von uebungsbeispiele was zum anhalten finden Augenzwinkern

Augenzwinkern

. geloest ist das beispiel ja eh noch nicht;

waere auch folgende zerlegung richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac {A}{1-z}+\frac{B}{(1-z)^{2}}+\frac{C}{1+3z} \end{eqnarray*}$

19.02.2010, 22:13

wisili

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Ja, natürlich.

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19.02.2010, 22:18

mathelisl

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super danke.

dann weis ich jetzt das bishierher alles stimmt und der rechenfehler weiterunten liegt...

nochmals danke smile

smile

19.02.2010, 22:21

wisili

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Für die zuletzt genannte Zerlegung gilt A = 3/8, B = 7/2 und C = 25/8.

(Die Werte A, B und C passen sich der gewählten Zerlegungsform an. Es ist egal, ob du
die Faktoren 3 im Nenner dabei hast oder nicht (also besser ohne) und ebenfalls, ob du
(1-z) oder (z-1) schreibst: Der Wechsel bewirkt einen Vorzeichenwechsel beim Koeffizienten.)

Es ist mir noch aufgefallen, dass die Terme für a(z) in deinen ersten beiden Beiträgen nicht übereinstimmen.

19.02.2010, 22:30

mathelisl

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okidoki. ich hab jetzt mit dem zuletzt geposteten ansatz weitergerechnet:

komm auf das GLS

2=-3A+C
-5=2A+3B-2C
7=A+B+C

loesung A=20/13 B=-15/13 C=86/13

stimmt das bis hierher?

19.02.2010, 22:36

wisili

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Statt -5 sollte 5 stehen.

19.02.2010, 22:46

mathelisl

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oh, stimmt - ok schon wieder ein abschreibfehler - und ich weis jetzt nicht mehr welches das richtige ist (schon zu oft verrechnet unglücklich

unglücklich

)

ich glaub ich werd das dann bei frischem kopf in frueh nochmal machen. smile

smile

eine letzte frage noch:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{1+3z} = \sum\limits_{n\geq 0} (-3)^{n}z^{n} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

19.02.2010, 22:50

wisili

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Ja, wenn |z|<1/3.

19.02.2010, 22:58

mathelisl

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das heist ich muss es anders entwickeln wenn ich eine loesung fuer das beispiel haben will. wie kann man das noch machen?

geht das:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{1+3z}= \sum\limits_{n\geq 0} \begin{pmatrix} -1\\ n \end{pmatrix} z^{n} \end{eqnarray*}$

nein oder? weil der binominalkoeffizient nicht fuer -1 zahlen definiert ist.

19.02.2010, 23:05

wisili

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Wieso heisst es das? (Erzeugende Funktionen werden, soviel ich noch weiss, nur formal verwendet.
Da spielt die genannte Konvergenzbedingung keine Rolle.)
- ich gehe offline -

22.02.2010, 10:02

Kühlkiste

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von mathelisl
und kommen nach dem "ausgleichen" und umformen auf
$\begin{eqnarray*} a(z)= \frac {2z^{2}-5z+7} {3z^{3}-5z^{2}} + z + 1 \end{eqnarray*}$

Hier geht's schon den Bach runter, denn dieses Zwischenergebnis ist falsch.

Nach 'Ausgleichen und Umformen' solltest Du erhalten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nz^n=\frac{2z^2-5z+7}{3z^3-5z^2+z+1}. \end{eqnarray*}$

Das kannst Du dann mittels PBZ umformen zu:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1-z}^2+\frac 1{1-z}+\frac 5{3z-1}. \end{eqnarray*}$

Die jeweiligen Reihenentwicklungen lassen sich mehr oder weniger ablesen und per Koeffizientenvergleich ergibt sich schließlich:

$\begin{eqnarray*} a_n=(n+2)+5(-3)^n. \end{eqnarray*}$

22.02.2010, 10:06

Kühlkiste

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung
Kleine Korrektur:

Zitat:

Original von Kühlkiste
Das kannst Du dann mittels PBZ umformen zu:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-z)^2}+\frac 1{1-z}+\frac 5{3z-1}. \end{eqnarray*}$

22.02.2010, 10:41

mathelisl

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung
also erstmal danke fuer das fertigrechnen meines bspls.

danke auch fuer die korrektur - das falsche zwischenergebniss war ein tippfehler, den ich erst zu spaet gesehen hab - aber egal, danke trotzdem.

wie kommst du auf die zwei im endergebnis? ist die reihenentwiklung von
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{1-z} \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \sum {} z^{n} \end{eqnarray*}$

ich haett da 1 als koeffizienten abgelesen.

22.02.2010, 10:49

Kühlkiste

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung
Zunächst mal hatte ich noch einen kleinen Tippfehler drin - sorry.

Korrekt lautet das Ganze also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n=\frac{2z^2-5z+7}{3z^3-5z^2+z+1}=\frac 1{(1-z)^2}+\frac 1{1-z}+\frac 5{1+3z}. \end{eqnarray*}$

Schreib doch einfach mal die drei Reihenentwicklungen hin, dann wird sich Deine Frage von selbst beantworten.

22.02.2010, 10:53

mathelisl

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung
meine reihenentwicklungen lauten
$\begin{eqnarray*} \sum {}nz^{n} + \sum {} z^{n} +5 \sum {} (-3)^{n}z^{n} \end{eqnarray*}$

daraus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} n + 1 + 5 *(-3)^{n} \end{eqnarray*}$

wo steh ich an????

22.02.2010, 10:57

Kühlkiste

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von mathelisl
meine reihenentwicklungen lauten
$\begin{eqnarray*} \sum {}nz^{n} + \sum {} z^{n} +5 \sum {} (-3)^{n}z^{n} \end{eqnarray*}$

daraus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} n + 1 + 5 *(-3)^{n} \end{eqnarray*}$

wo steh ich an????

Du solltest bei der Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-z)^2} \end{eqnarray*}$ noch mal ganz genau hingucken.

22.02.2010, 11:04

mathelisl

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung
ohhhhhhhh!!!!!! schittt....Tausend dank!!!!
ich hab da diese reihenentwicklung falsch abgeschrieben von wikipedia .... z im zaehler uebersehen ....uiuiui....da hat mir jemand ein geschenk gemacht smile

smile

und viel zukuenftigen aerger weggenommen smile

smile

alles klar! Big Laugh

Big Laugh

danke an alle, danke fuer die hilfe smile

smile

der artikel kann von mir aus nun geschlossen werden smile

smile

22.02.2010, 11:10

Kühlkiste

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von mathelisl
ich hab da diese reihenentwicklung falsch abgeschrieben von wikipedia .... z im zaehler uebersehen

Och nö, so was musste doch nicht bei Wiki nachschlagen.

Mit dem Cauchyprodukt ist das ein Halbzeiler:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^\infty z^n\right)^2=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n z^n=\sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n. \end{eqnarray*}$

22.02.2010, 11:19

mathelisl

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung
tja....sobald ich das was du mir da grad geschrieben hab mal nachgelesen hab....und ich irgendwann dann mal besser werd in analysis....werd ich das auch sagen....
einstweilen ist wikipedia eine quelle des wissens fuer mich Big Laugh

Big Laugh

:P

trotzdem danke....so umgeh ich den bloeden binominalkoeffizienten bei der vorgeschlagenen reihe aus wiki smile

smile

22.02.2010, 14:06

WebFritzi

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von mathelisl
und ich irgendwann dann mal besser werd in analysis....

Wie wär's wenn du "mal besser werd" in Deutsch? Ist ja schrecklich, was du da so schreibst.

Es geht übrigens auch so:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {(1-z)^2} = \left( \frac 1 {1-z} \right)' = \left( \sum_{n=0}^\infty\,z^n \right)' = \sum_{n=0}^\infty\,(z^n)' = \sum_{n=1}^\infty\,nz^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty\,(n+1)z^n. \end{eqnarray*}$

22.02.2010, 15:28

mathelisl

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RE: rekursion + partialbruchzerlegung
Ich bitte um Entschuldigung wegen meines Deutsches...ich werde in Zukunft bestrebt sein nur noch in geschwollestem Deutsch zu schreiben. Gott

Gott

Fuer den mathematischen Hinweis bin ich jedoch sehr dankbar. smile

smile

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