Differenzierbarkeit/Stetigkeit Verständnisfrage

21.02.2010, 13:45

TimTim

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Differenzierbarkeit/Stetigkeit Verständnisfrage

Moin, ich melde mich hier dann auch mal ein letztes mal vor der großen Klausur morgen.

Es geht um folgende (Altklausur)Frage:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{cc}<br /> x+\frac{sin(2x)}{x} & x\neq0\\<br /> 2 & x=0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow0}{lim}f(x) \end{eqnarray*}$ mit L'Hospital

b) Ist die Funktion f stetig?

c) Bestimmen Sie für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Ableitung von f, insbesondere für x=0

Die Aufgabe dürfte keineswegs schwierig sein aber irgendwie ist das alles noch zu schwammig in meinem Kopf, ich weiss nicht ob meine Argumentation stimmt.

Mein Gedankengang ist Folgender:

a)
$\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\underset{x\rightarrow0}{lim}\frac{1+2*cos(2x)}{1}=2 \end{eqnarray*}$
b)
Ich hab jetzt also die Ableitung ausgerechnet und der ermittelte Grenzwert stimmt (beidseitig) mit der punktweisen Definition 2 wenn x=0 überein. Damit gibt es an dieser Position des Graphen keine Sprungstelle und er ist damit stetig und (nach meiner Logik auch differenzierbar, siehe Beispiel unten).
c) Die Ableitung habe ich doch bereits in Teil a bestimmt? Was ist hier gemeint?

Logik:

Beispiel, Gegeben sei:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{cc}<br /> -7x^{3}+8x^{2}+2x-6 & bei\, x<2\\<br /> -26 & bei\, x=2\\<br /> -5x^{3}+x^{2}+7x-4 & bei\, x>2\end{array}\right.<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Für Stetigkeit setze ich 2 in die Gleichungen ein, liefern beide -26, dann beidseitig stetig, was hier der Fall ist.
Für Differenzierbarkeit bilde ich die Ableitungen, und setze 2 ein, stimmen beide Werte überein, so ist die Funktion differenzierbar. Das ist hier nicht der Fall!

21.02.2010, 14:02

pseudo-nym

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Also wenn ich das richtig verstehe, hast du aus
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 0}f'(x) = \lim_{x\searrow 0}f'(x) = a \end{eqnarray*}$
geschlossen, dass
$\begin{eqnarray*} a = f'(0) \end{eqnarray*}$
und die Funktion damit differenzierbar ist. Sehe ich das richtig?

21.02.2010, 14:11

TimTim

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ja genau!

Man könnte das ja auch manuel über den Weg des Differenzenquotienten bestimmt berechnen also lim h->0 (f(x0+h)-f(x0)/h) aber das schreckt total ab mit dem Sinus da drin!

21.02.2010, 14:15

pseudo-nym

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Indem du
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}f'(x) = f'(x) \end{eqnarray*}$
gesetzt hast, hast du vorrausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ existiert und stetig ist, also f stetig differenzierbar ist. Das geht natürlich nicht.

b)Ich nehme an ihr habt Folgenstetigkeit definiert. Wie lautet die Definition? Kannst du sie auf die Aufgabe anwenden?

21.02.2010, 14:25

TimTim

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Folgenstetigkeit sagt mir mal nichts, unser Skript ist sowas von Mist, wir haben quasi nur Beweise und dazwischen irgendwas zu finden ist ne Sisyphusarbeit. Wie sollen denn Folgenglieder auch ne Sprungstellt haben, !?

$\begin{eqnarray*} \underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{x+h+\frac{sin(2(x+h)}{x+h}-x+\frac{sin(2x)}{x}}{h} \end{eqnarray*}$

Ist einfach mal Mega unschön!

21.02.2010, 14:48

pseudo-nym

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Jaja Beweise sind scheiße und Dozenten alle unfähig...

Folgenstetigkeit

Und du sollst nicht zeigen, dass f differenzierbar ist sondern stetig.
Der Differenzenquotient ist also fehl am Platz.

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21.02.2010, 15:40

TimTim

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Ich habe nicht behauptet, dass Beweise scheisse sind und über Dozenten steht da oben garnichts. Es ist nunmal so, dass viel Wert auf Beweise gelegt wird und die praktische Anwendung - zumindest an der Uni - auf ein Minimum reduziert wird. In der Klausur soll man dann das erlernte Wissen praktisch anwenden. Dumm nur, dass man als mathematisch Unbegabter nunmal keine Erleuchtung in einem langen komplizierten Beweis findet. Und so strömen täglich die Massen ins Internet um sich helfen zu lassen, ich gehöre auch dazu. Das sagt aber nichts über die Fähigkeit der Dozenten oder der Sinnhaftigkeit von Beweisen aus sondern lediglich, dass diese sich kaum dafür eignen einen Unwissenden komplexe Sachverhalte zu erklären.

Zum Problem:

Bildlich gesprochen geht es ja eifnach um die Frage ob die Funktion nahtlos an den Ounkt x=0 anschliesst.

Man betrachtet also den Grenzwert und sagt jetzt, dass man auf $\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow0}{lim}f(x)=2 \end{eqnarray*}$ überprüft.

$\begin{eqnarray*} \underset{n\rightarrow0}{lim}f(x_{n})=\underset{n\rightarrow0}{lim}\frac{sin(2x_{n})}{x_{n}} \end{eqnarray*}$

Also entweder bin ich jetzt selbst monoton und beschränkt oder ich erhalte den Audruck 0/0 ... was mir mal nichts hilft?

21.02.2010, 16:01

pseudo-nym

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Alles was ich sage ist das ich von einem Studenten erwarte, dass er in der Lage ist einen Begriff den er nicht kennt nachzuschlagen. Dein Dozent mag eine unübersichtliche Vorlesung halten, aber du bist verantwortlich für was du lernst.

Zitat:

Original von TimTim
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0}f(x_n) \end{eqnarray*}$

Das geht nicht, den du betrachtest eine Folge von Bildern. Ein Grenzwert ist höchstens für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ definiert, wobei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von TimTim
Man betrachtet also den Grenzwert und sagt jetzt, dass man auf $\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow0}{lim}f(x)=2 \end{eqnarray*}$ überprüft.

Das ist zu zeigen, aber hast du das nicht schon Teilaufgabe a) gemacht?

Ach ja:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$
kann etwas leichter mit

code:
1:	\lim_{n \to \infty}

generieren.

21.02.2010, 16:19

TimTim

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Nungut, L'Hospital hat mir in a) gezeigt, dass es einen Grenzwert gibt und dieser 2 lautet (für x->0).
Da der Grenzwert existiert und gleich 2 ist, ist die Funktion stetig in x0.

Wenn ich jetzt die Ableitung für die kompletten Funktion bestimmen will müsste ich das ja über den Differenzenquotienten machen. Für die Stelle x0 müsste ja dann die obige Gleichung stimmen obwohl die ziemlich kompliziert aussieht. Es gibt ja nur punktweise Differenzierbarkeit ...wie zeigt man denn, dass die Funktion an allen Punkten differenzierbar ist?

Also irgendwie ist in der ganzen Soße der Wurm drinne!

Wieso existiert

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow0}{\lim}x+\frac{sin(2x)}{x} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow0}{\lim}2x*sin(\frac{1}{x})*cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ nicht!?

21.02.2010, 16:41

pseudo-nym

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Die Ableitung für x ungleich null kannst du einfach ausrechnen. An der Stelle 0 wirst du wohl den Differenzenquotienten bilden müssen.

Zitat:

Original von TimTim
$\begin{eqnarray*} \underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{x+h+\frac{sin(2(x+h)}{x+h}-x+\frac{sin(2x)}{x}}{h} \end{eqnarray*}$

Das ist alles nicht so schlimm wenn du beachtest, dass $\begin{eqnarray*} x = 0, f(0) = 2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Was die zwei Grenzwerte angeht:
Den ersten hast du doch schon berechnent und warum solte es den zweiten nicht geben?

21.02.2010, 16:46

TimTim

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nun der zweite ist undefiniert laut Taschenrechner. Ich hab halt das Gefühl ich hab das Prinzip von "x gegen 0 gehen lassen" nicht verstanden denn genau das tue ich bei beiden Funktionen...die eine ist defineirt, die andere nicht.

21.02.2010, 16:52

pseudo-nym

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Dein TR ist komisch. Der Grenzwert existiert und ist Null. Stichwort: Einschrürungssatz.

Was deine Unsicherheit angeht:
Weißt du wie " $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert" definiert ist?

21.02.2010, 17:02

TimTim

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Intuitiv gesprochen soll sich f(x) bei steigendem x immer näher der a annähern. Definieren kann man das bestimmt ähnlich wie bei Folgen indem man sagt, dass es zu jeder gewählten Umgebung einen indexwert (hier also xwert) gibt, bei dem der abstand a-x kleiner ist als a-e?

21.02.2010, 17:15

TimTim

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Tja ich scheiter mal wieder...wo ist der Wurm bei den Rechenschritten?

$\begin{eqnarray*} \underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{x_{0}+h+\frac{sin(2(x_{0}+h)}{x_{0}+h}-x_{0}+\frac{sin(2x_{0})}{x_{0}}}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{h+\frac{sin(2h)}{h}+2}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{4}{h} \end{eqnarray*}$

21.02.2010, 17:20

Anatol

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letzte Gleichung ist falsch

21.02.2010, 17:23

pseudo-nym

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Grenzwertdefint
ion mit Hilfe von Folgen

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