Funktionsgleichung

21.02.2010, 17:29

Hirni

Funktionsgleichung

Hi, ich hab mal wieder ein Problem, bei einer Aufgabe.

Ich habe eine Funktionsgleichung gegeben, nämlich f(x)=ln(ax²-b)

Nun soll aufgrund der Bedingungen, die ich hab a und b bestimmt werden. unszwar soll die Funktion bei + und -2 eine senkrechte Asymptote besitzen, und an der Stelle 1 die Tangentensteigung -2/3.

Mein Ansatz: Ich hab mir zuerst gedacht, senkrechte Asymptoten = irgendwelche Polstellen = wenn ich irgendwo +/-2 einsetze muss irgendwo im Nenner 0 rauskommen.

deswegen hab ich im ln das a ausgeklammert: ln((a(x²-b/a)))

Nun kann man das noch auseinanderziehen: ln(a)+ln(x²-b/a)

Und nun ist ja b/a interessant: da a nie 0 werden darf, hab ich mir gedacht, ich setze a=x²-4, da dann, egal ob ich + oder -2 einsetze das 0 wird.

also kann man ja dann x²-4 einsetzen:

f(x)=ln(x²-4)+ln(b/(x²-4)).

jetzt hätte ich ja schonmal eine variable weg,

nun zur zweiten Bedingung: f´(1)=-2/3 ergeben.

Ok, das auch munter eingesetzt ergibt:

-2/3 = -6/(-3-b) nach b aufgelöst.... b=-12 .. so jetzt hätte ich das b und könnte es ja wieder in die erste ableitung einsetzen, mit der bedingung der tangentensteigung, um a rauszufinden....

das problem ist aber, dass b jetzt schon nicht mehr stimmt, ich hab die Aufgabe auch mehrfach schon gerechnet, es kommt aber immer nur aufs gleiche raus...

Kann mir jemand einen Tipp geben?

Danke

21.02.2010, 18:19

system-agent

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Du könntest dir auch zunächst einmal überlegen, wo denn $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ eine senkrechte Asymptote hat.
Dann versuche, dass $\begin{eqnarray*} ax^2+b \end{eqnarray*}$ gerade bei 2 und -2 diesen Wert annimmt.

21.02.2010, 19:15

Hirni

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Ja, bei x=0, aber das hilft mir jetzt nicht wirklich weiter, wenn ich schreibe, dass bei + - 2 das (ax²-b) 0 werden soll, müsste es ja lauten

4a-b=0

4a=b

dann kann ich das ja einsetzen ln (ax²-4a)

aber wenn ich die erste ableitung bilde, die bedingung einsetze und nach a auflöse kommt sowas wie -2/3 = (2a)/(-3a) raus...

21.02.2010, 20:00

system-agent

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Das Polynom $\begin{eqnarray*} ax^2+b \end{eqnarray*}$ soll seine Nullstellen bei 2 und -2 haben, also hat es die Form $\begin{eqnarray*} a(x-2)(x+2) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sollte daraus bekannt sein, in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Nun musst du ein passendes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ finden.
Eine Bedingung hast du noch übrig.

21.02.2010, 20:27

Hirni

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b ist immernoch 4a, das läuft immer noch auf die gleichung -2/3=2a/3a hinaus, da

a(x-2)(x+2)= 0 => ax²-4a

4a=b

Edit: Wieso schreibst du eiglt. ax²+b hat das einen bestimmten Grund? Die innere Funktion heißt doch ax²-b

21.02.2010, 22:34

system-agent

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Hmm...da habe ich mich verschrieben. Aber es ist sowieso egal ob ich da ein Plus oder Minus schreibe, notfalls stecke ich das Vorzeichen in die Konstante $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

.

Ich habe aber gerade mal nachgerechnet:
So wie ich das sehe ist die Aufgabe nicht zu lösen Edit: Doch ! Siehe meinen nächsten Beitrag..
Du hast bis jetzt
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(ax^2-4a) \end{eqnarray*}$ .

Damit diese Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} (-2,2) \end{eqnarray*}$ überhaupt definiert ist, muss man $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ verlangen [wieso?].

Aber wie dem auch sei, bei der Ableitung fällt die Konstante $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ heraus [wieso?] und damit folgt
$\begin{eqnarray*} f'(1)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
unabhängig von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Also kann man die Bedingung $\begin{eqnarray*} f'(1)=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ niemals erfüllen.

Dass sich die Tangentensteigung nicht ändert hat damit zu tun, dass
$\begin{eqnarray*} \ln(ax^2-4a)=\ln(a)+\ln(x^2-4) \end{eqnarray*}$
und jeder (zulässige) Wert von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bringt nur eine Verschiebung des Graphen von $\begin{eqnarray*} \ln(x^2-4) \end{eqnarray*}$ in y-Richtung. Ändert also insbesondere keine Tangentensteigungen.

21.02.2010, 22:41

Hirni

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Ich weiß nicht, irgendwie hab ich das Gefühl, wir schreiben aneinander vorbei^^.

Wie dem auch sei - du hast geschrieben, dass das a beim Ableiten wegfallen würde - bei mir ist das aber nicht weggefallen:

f(x)=ln(ax²-b)

f´(x)=1/(ax²-b)*2ax also f´(x)=(2ax)/(ax²-b)

Ähm, die Aufgabe ist schon zu lösen, ich hab sie sogar, sie lautet: f(x)=ln(8-2x²), aber wie gesagt, b ist bei mir -12 und nicht 8...

EditEditEdit: Weils so schön ist... ich hab mir gedacht, dass bei ln Funktionen die Kettenregel greift, ln(x) abgeleitet ist ja 1/x als äßere Funktion, die innere Funktion einsetzen und dann nochmal mal der ersten Ableitung der inneren Funktion

21.02.2010, 23:10

system-agent

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Ohjemine, Asche auf mein Haupt, ich kann grad garnicht rechnen Forum Kloppe

. Geh lieber gleich ins Bett! Schläfer

Aber vorher noch eine Antwort:

Zitat:

Original von Hirni
Wie dem auch sei - du hast geschrieben, dass das a beim Ableiten wegfallen würde - bei mir ist das aber nicht weggefallen:

f(x)=ln(ax²-b)

f´(x)=1/(ax²-b)*2ax also f´(x)=(2ax)/(ax²-b)

Ähm, die Aufgabe ist schon zu lösen, ich hab sie sogar, sie lautet: f(x)=ln(8-2x²), aber wie gesagt, b ist bei mir -12 und nicht 8...

EditEditEdit: Weils so schön ist... ich hab mir gedacht, dass bei ln Funktionen die Kettenregel greift, ln(x) abgeleitet ist ja 1/x als äßere Funktion, die innere Funktion einsetzen und dann nochmal mal der ersten Ableitung der inneren Funktion

Na aus der Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} ax^2-b \end{eqnarray*}$ die Nullstellen +2 und -2 haben soll, folgt, dass
$\begin{eqnarray*} ax^2-b=a(x-2)(x+2) \end{eqnarray*}$
gelten muss.
Mit ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich kriegst du $\begin{eqnarray*} b=4a \end{eqnarray*}$ ,
das hattest du ja schon bekommen.

Damit lautet die Gleichung also
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(ax^2-4a) \end{eqnarray*}$ .

Beim ableiten brauchst du selbstverständlich die Kettenregel !
Nun musst du aber noch begründen, dass $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ gelten muss, da ansonsten die Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} (-2,2) \end{eqnarray*}$ nicht definiert wäre!

Dann siehst du, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ tatsächlich herausfällt [setz bei deiner Ableitung eben mal $\begin{eqnarray*} b=4a \end{eqnarray*}$ ein; ausklammern; kürzen!] und du kriegst
$\begin{eqnarray*} f'(1)=\frac{2\cdot1}{1^2-4}=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
[und ich war bis grade eben überzeugt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot1}{1^2-4}=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , deshalb meine Aussage, dass es nicht lösbar sei Forum Kloppe

21.02.2010, 23:17

Hirni

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Du hast Recht! Das a fällt durchs Kürzen raus! Und a muss kleiner 0 sein, da man sonst eine negative Zahl im ln hat (hab ich gar nicht bedacht)... und irgendwas hoch irgendwas kann nicht negativ sein, darum geht das nicht...

Ok, nun wird das alles langsam klarer... ich schau mir die Sache nochmal an, Danke dir

22.02.2010, 00:38

corvus

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Zitat:

f(x)=ln(ax²-b)
soll bei + und -2 senkrechte Asymptoten besitzen
und an der Stelle x=1 die Tangentensteigung -2/3.

Vorschlag:
beginne damit:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln| ax^2- b | \end{eqnarray*}$

die Ableitung ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2ax}{ax^2- b} \end{eqnarray*}$ ..
(für alle x, für die der Nenner nicht 0 wird)

- senkrechte Asymptoten wird es haben, wenn ax² - b = 0 ...(wieso wohl?)
und wenn die bei |x|=2 sein sollen, dann muss also schon mal gelten:

4*a - b = 0 .. also $\begin{eqnarray*} b = 4a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln| ax^2- 4a | = \ln(| a |*|x^2- 4 |) = \ln|x^2- 4 | + \ln|a| \end{eqnarray*}$

die Ableitung ist dann: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2ax}{ax^2- 4a} = \frac{2x}{x^2- 4} \end{eqnarray*}$

und die ist an der Stelle x=1 dann eh f'(1)= -2/3

bleibt nur noch zu klären, was passiert, wenn du
die Betragsstriche weglassen willst für denn Fall,
dass x²-4 negativ ist (was ja bei x=1 der Fall ist)

also : für alle x aus (-2 , +2) ist dann x²-4 negativ
dh: in diesem Intervall ist |x²-4| = (-1)*(x²-4) = 4 - x²

dh: die Lösung deiner Aufgabe sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \ln( 4 - x^2 ) + \ln|a| \end{eqnarray*}$

das ist dann für alle a ungleich 0 eine durch Parallelverschiebung
von f(x)=ln(4-x²) entstehende Kurvenschar
und alle diese Kurven erfüllen die Bedingungen der Aufgabe..
nebenbei: für a=2 erhältst du als eine mögliche Lösung f(x)=ln(8-2x²),
ok?
smile

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