kompexe Zahlen und Beträge

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TB Auf diesen Beitrag antworten »
kompexe Zahlen und Beträge
Hmm. habe hier folgende Aufg:

Für welche komplexen Zahlen z=x+iy gilt:
.
Geben Sie alle Lösungen z Element C an..

Die selbe aufgabe habe ich gefunden mit.


Wie löse ich denn sowas ?
Etwa (x+iy)^2 nach binomischer Formel aufspalten? aber wie geht das denn dann bei der rechten Seite vom Term?
Quadratzahl-Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
Der Betrag einer komplexen Zahl ist immer eine reelle Zahl.
Eine geometrische Anschauung kann dir weiterhelfen. Weißt du was geometrisch passiert, wenn man zwei komplexe zahlen multipliziert?

Edit: Es ist zwar ganz gut, die Anschauung zu haben, aber du musst nur bedenken, dass |z| aus /R ist.
TB Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man 2 komplexe Zahlen multipliziert: z=x+iy, w=u+iv


aber was es geometrisch dann draus wird ... vllt so etwas wie eine Kreisfunktion?

Und der Betrag auf der rechten Seite, soll dann wohl Betrag, im Sinne von Länge heißen und nicht Betrag, im Sinne von "immer positiv" ?
wenn man die erste Aufg, also z²=|z|² nimmt.

Und wie mir das jetzt was bringt ...
vllt Termumformung ?
Quadratzahl-Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, du kannst die Aufgabe lösen, indem du einfach die beiden Seiten der Gleichung vergleichst, mit z=x+iy, bedenke dass die rechte Seite reell ist.
Das geht schneller und einfacher. was ich oben meinte ist: Wenn man 2 komplexe Zahlen multipliziert, addieren sich die Winkel.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Um Quadratzahls Gedanken zu vervollständigen: Es geht um die Darstellung von z=x+iy in der komplexen Zahlenebene sowie die Multiplikation über die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl.
TB Auf diesen Beitrag antworten »

darf ich dann so etwas wie einen Koeffizientenvergleich machen?
weil rechts kein Imaginärteil steht, muss dann gelten:

ohjoa...und wenn das dem wäre, würd ich dann ausmultiplizieren und gucken, dass ich dann x und y in eine Beziehung setze . mache ich das dann mit z oder mache ich das einfach über gewöhnliche Relle- Termumformungen ?
 
 
Quadratzahl-Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Wurzel beim Betrag vergessen, die macht dir das Leben einfacher smile
TB Auf diesen Beitrag antworten »

achso ja klar ...
kein Wunder
also steht ja da am Ende nur noch:
0=2y²

ich brauch doch nur noch den letzten Schritt, warum geht das um solche Uhrzeiten nicht mehr unglücklich
Quadratzahl-Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es doch schon!
Das heißt für alle komplexen Zahlen z=x+iy, die der ersten Gleichung genügen, gilt
y=0. Naja, und welche Zahlen sind das?
Die zweite Aufgabe kannst du analog zur ersten bewältigen.
TB Auf diesen Beitrag antworten »

ah!
also wird diese Gleichung nur erfüllt, wenn der Imaginärteil = 0 ist, also nur für reelle Zahlen.
UNd analog dazu die 2.:

...


das bedeutet, diese Gleichung gilt für alle reellen Zahlen = 0 und auch nur, wenn der Imaginärteil = 0 ist. sprich diese Gleichung gilt nur für 0 smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

z=i ist ein Gegenbeispiel zu deiner (für mich unbegründeten) Vermutung
TB Auf diesen Beitrag antworten »

warum unbegründet ?
ich habe alle Rechenschritte oben aufgelistet und begründet ..

für z=i bekommen ich:

ok...
also wo ist denn der Fehler in meiner Begründung ?

hier nochmal anders formuliert:

wenn links der Term
(x²-y²)+i(2xy)

und rechts der Term -(x^2+y^2) steht.
habe ich einen Koeffizienten vergleich gemacht ...weil der Term rechts keinen Im(z) besitzt...ok gut. vllt war das falsch. Bei der ersten Aufgabe oben hatte es doch auch geklappt ... oder ich hab unbewusst ne Termumformung gemacht :S

also dann weiter:

und nun ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Koeffizientenvergleich stimmt auch.
Dann kommst du auch auf und auf .
Jetzt musst du eben nur noch dieses System lösen
TB Auf diesen Beitrag antworten »

Aha...
also bedeutet es dann:
dass entweder x oder y 0 sein muss ...
und nicht beide gleichzeitig ...
wenn x=0 ist kann y zB 1 sein (z=0+1i - das wäre jetzt dein Bsp) dann wäre die Bedingungen erfüllt und der Term stimmt, oder x=4711 und y=0 dann würde der Term auch stimmen ...
Probe:
das wiederum ist falsch ... unglücklich

btw:
Zitat:
Original von kiste
Koeffizientenvergleich stimmt auch.
Dann kommst du auch auf und auf .
Jetzt musst du eben nur noch dieses System lösen


wie kommst du denn hier von:
auf ?
für mich ist das 2x²=0 ?!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind nicht 2 äquivalente Gleichungen, sondern beide(!) Gleichungen müssen gelten
Quadratzahl-Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest es eigentlich schon im Beitrag von 8:30 Uhr.
2xy=0 muss gelten, damit die linke seite reell ist.
Aus folgt aber nur .
Einschränkungen an y gibts keine!
TB Auf diesen Beitrag antworten »

achsoooo.
koeffizientenvergleich von Re(z) links und rechts und Im(z) links und rechts...

ok...ahsooo ja na dann ... mit 2 Gleichungen kriegt man auch 2 Unbekannte weg...
ich verstehe..
ahso. also hatte ich es dann also prinzipiell schon gehabt. nur war die Begründung schlappig...
Also zusammengefasst:
der Realteil muss 0 sein, aber der Imaginärteil beliebig ...
deshalb:
Gleichung 2:
2*x*y=0 gilt.
2*0*y=0 gilt auch, also kann man für y einsetzen was mann will. zB +1 und siehe da, das Bsp: z=i
da geht mir ein Licht auf smile
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