Komplexe Zahl Gleichung

23.02.2010, 21:18

Komplexe Zahl

Komplexe Zahl Gleichung

Hallo,
für welche Zahle(n) gilt |z|*z=1. Wenn man das Ergebnis weiß ist es klar. Aber kann man das durch Umformung mit x+iy erreichen?

Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} x^3-y^3+2xyi(x+y)=1 \end{eqnarray*}$ Doch wie komme ich nun zum Ergebnis?

23.02.2010, 21:45

Leopold

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In $\begin{eqnarray*} |z| \cdot z = 1 \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein. Nach Division durch $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{|z|} \end{eqnarray*}$

Da auf der rechten Seite der Gleichung eine positive reelle Zahl steht, folgt

$\begin{eqnarray*} z = x \in \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$

Gesucht ist also eine positive Zahl, die

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

erfüllt.

23.02.2010, 21:50

Komplexe Zahl

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Kann dann bitte noch jemand kontrollieren, ob die Rechnung richtig ist:

$\begin{eqnarray*} ||z|-z|=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |r-r(\cos \phi + i \sin \phi)|=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |r(1-\cos \phi - i \sin \phi)|=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2((1-\cos \phi)^2+\sin^2\phi)}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2(2(1-\cos\phi))}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=\frac 1 {\sqrt{2(1-\cos \phi})} \end{eqnarray*}$

Besonders, wenn ich den Betrag nehme, ob ich da einfach so das ausgeklammerte r quadriern kann

23.02.2010, 21:57

Komplexe Zahl

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Danke klingt sehr plausibel.

Zitat:

Original von Leopold
In $\begin{eqnarray*} |z| \cdot z = 1 \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein. Nach Division durch $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{|z|} \end{eqnarray*}$

Da auf der rechten Seite der Gleichung eine positive reelle Zahl steht, folgt

$\begin{eqnarray*} z = x \in \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$

Gesucht ist also eine positive Zahl, die

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

erfüllt.

23.02.2010, 23:46

haffael

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danke, die Erklärung hat mir auch sehr geholfen

Ist aus meiner Probeklausur, und die zweite Aufgabe auch. Du bist nicht zufällig TU Dresden, 1. Semester ET? :P

Die zweite Aufgabe ist mir nämlich auch ein Rätsel.. vor allem wie man das Zeichnen soll. Ich bin so weit: $\begin{eqnarray*} ||z|-z| = 1 \end{eqnarray*}$

Das heißt der Abstand vom Betrag von z, der ist ja reel, und z soll immer = 1 sein.
Aber was heißt das für die Zeichnung?

24.02.2010, 00:02

haffael

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Zitat:

Original von Komplexe Zahl
Kann dann bitte noch jemand kontrollieren, ob die Rechnung richtig ist:

$\begin{eqnarray*} ||z|-z|=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |r-r(\cos \phi + i \sin \phi)|=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |r(1-\cos \phi - i \sin \phi)|=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2((1-\cos \phi)^2+\sin^2\phi)}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2(2(1-\cos\phi))}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=\frac 1 {\sqrt{2(1-\cos \phi})} \end{eqnarray*}$

Besonders, wenn ich den Betrag nehme, ob ich da einfach so das ausgeklammerte r quadriern kann

Ja, kannst du schon. Du könntest sogar vorher das r aus dem Betrag rausziehen, weil es ohnehin reel und positiv ist (ist ja auch ein Betrag !)

also:

$\begin{eqnarray*} |r-r(\cos \phi + i \sin \phi)|=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |r(1-\cos \phi + i \sin \phi) |= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r | 1-\cos \phi) + i \sin \phi |= 1 \end{eqnarray*}$
Betrag auflösen:
$\begin{eqnarray*} r \sqrt{ (1- \cos \phi)^2 + \sin^2 \phi )} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r \sqrt{ 1- 2\cos \phi + \cos^2 \phi + \sin^2 \phi )} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r \sqrt{ 1- 2\cos \phi + 1} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r \sqrt{ 2(1- \cos \phi)} = 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt also, würde ich sagen.
Bringt mich aber für meine Zeichnung und Vorstellugn auch nicht weiter..

24.02.2010, 12:45

Leopold

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Wenn man bei der zweiten Aufgabe in kartesischen Koordinaten rechnet, erhält man

$\begin{eqnarray*} 2x \sqrt{x^2 + y^2} = 2 \left( x^2 + y^2 \right) - 1 \end{eqnarray*}$

Wenn man diese Gleichung quadriert, findet man damit nach einer kleinen Rechnung

$\begin{eqnarray*} 4 x^2 \left( 1 - y^2 \right) = \left( 2y^2 - 1 \right)^2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ erhält man einen Widerspruch. Ansonsten darf man dividieren:

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{\left( 2 y^2 - 1 \right)^2}{4 \left(1 - y^2 \right)} \end{eqnarray*}$

Der Zähler rechts ist nichtnegativ. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Lösungen gibt es daher nur für $\begin{eqnarray*} |y|<1 \end{eqnarray*}$ . Man zieht formal die Wurzel. Macht man die Probe (die ist erforderlich, da wir zwischendurch die Gleichung quadriert hatten), so stellen sich nur die Lösungen mit dem positiven Vorzeichen der Wurzel als Lösungen der Ausgangsgleichung heraus:

$\begin{eqnarray*} x = f(y) = \frac{2 y^2 - 1}{2 \sqrt{1 -y^2}} \, , \ \ |y| < 1 \end{eqnarray*}$

Die Kurve ist ist ein unendlich langes U mit der reellen Achse als Symmetrieachse und den Geraden $\begin{eqnarray*} y= \pm 1 \end{eqnarray*}$ als Asymptoten, das U ist nach rechts geöffnet. Der Scheitel des U liegt bei $\begin{eqnarray*} x = -\frac{1}{2}, y = 0 \end{eqnarray*}$ .

24.02.2010, 17:53

haffael

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ach du schande :O
kann das wirklich so kompliziert sein ? Aus dieser Darstellung hätte ich jetzt auch wirklich kein U herauslesen können... :\

in der Aufgabe steht noch dabei "Hinweis: verwenden sie die trigonometrische Darstellung von z". Also muss man damit wohl auch ans ziel kommen ?

Auf den Punkt $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{2}\;|\; 0) \end{eqnarray*}$ wäre ich sogar auch noch gekommen, durch probieren Augenzwinkern

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