Untergruppen

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19.10.2006, 15:28	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen Hallo zusammen Hab zwei kleine Probleme 1. Seien A, B und $\begin{eqnarray} A \bigcup B \end{eqnarray}$ Untergruppen von G. Zeigen sie das entweder A Teilmenge von B ist oder B Teilmenge von A. Hab mir dazu gedacht: Klar man muss die Untergruppenaxiome anweden.(das neutrale element muss enthalten sein,abgeschlossenheit und es muss für jedes element ein inverses ex.) und eine zweite frage 2 Sind Gruppen von Exponet 3 immer abelsch? Für den Exponet 2 hab ich es bewiesen das sie immer abelsch sind Mein Problem ist, ich kann kein Gegenbeispiel finden.Die Ordnung der Nicht Abelschengruppen muss ja irgendwas 3^k sein. bei 3 Elementen gehts nicht, bei 9 Elementen, haben wir mit Hilfe von Soduko bewiesen, gehts auch nicht, und mit 27 Elementen wollten wir kein Sudoku spielen Hab heute irgendwas von einer Läsung mit Matrixen gehört aber kann mir darauf keinen Reim Bilden. ..... lg matze
19.10.2006, 20:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Aufgabe: Nimm an, es gelte nicht $\begin{eqnarray} A\subset B \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} B\subset A \end{eqnarray}$ . Dann sind sowohl $\begin{eqnarray} B\setminus A \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} A\setminus B \end{eqnarray}$ nichtleer (Venn-Diagramm!). Damit gibt es ein $\begin{eqnarray} a\in A\setminus B \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} b\in B\setminus A \end{eqnarray}$ . Wo liegt dann $\begin{eqnarray} a\circ b \end{eqnarray}$ ? Gruß MSS
19.10.2006, 20:56	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
hoffe ich habs, danke für deine hilfe $\begin{eqnarray} a\circ b \end{eqnarray}$ liegt ja in $\begin{eqnarray} A \bigcup B \end{eqnarray}$ ersteze nun A durch $\begin{eqnarray} A\setminus B \end{eqnarray}$ also folgt $\begin{eqnarray} a\circ b \in A \bigcup B = A\setminus B \bigcup B = A \end{eqnarray}$ das nun ein wiederspruch zur Annahme die wir oben getroffen haben, da nun auch b in A liegen müsste das selbe geht auch in die andere richtung hoffe so hattest du es auch gemeint und so ist es richtig danke für die hilfe
19.10.2006, 21:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist falsch! Da sind leider sogar zwei Fehler drin! Du hast unten stehen $\begin{eqnarray} A\cup B=A \end{eqnarray}$ . Das gilt doch nur, falls $\begin{eqnarray} B\subset A \end{eqnarray}$ , was wir aber ausgeschlossen haben! $\begin{eqnarray} (A\setminus B)\cup B \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} A\cup B \end{eqnarray}$ !!! Der zweite Fehler ist folgender: Für Untergruppen $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} a,b\in U\Rightarrow a\circ b\in U \end{eqnarray}$ . Du hast jetzt die andere Richtung gebraucht: $\begin{eqnarray} a\circ b\in U\wedge a\in U\Rightarrow b\in U \end{eqnarray}$ . Das ist zwar richtig, du hast das aber noch nicht bewiesen! Und sie würde dir auch nichts nutzen, da du ja den ersten Fehler begangen hast. Versuchs mal mit einem Widerspruchsbeweis! Nimm an, es gelte $\begin{eqnarray} a\circ b\in A \end{eqnarray}$ und führe das zu einem Widerspruch! Entsprechend dann nochmal für $\begin{eqnarray} a\circ b\in B \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
20.10.2006, 15:09	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
wird wohl noch ein hartes semester algebra für mich kann man annehmen das $\begin{eqnarray} a\circ b\in \end{eqnarray}$ A oder in B ist?
20.10.2006, 19:17	jungwolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn a und b nicht in A oder B sind,können sie nur in A und B sein?
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20.10.2006, 22:17	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab doch schon gesagt, wie man anfangen soll. Angenommen, $\begin{eqnarray} a\circ b \end{eqnarray}$ liegt in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Wo liegt denn dann $\begin{eqnarray} b=a^{-1}\circ a\circ b \end{eqnarray}$ ? Und welchen Widerspruch erkennst du dabei? Gruß MSS
21.10.2006, 18:43	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
das B auch in A liegt, hab ich jetzt auch so schon verstanden gehabt, ich war mir nur nicht so sicher, ob man jetzt annehmen darf das a o b in A oder B liegt. klar dann noch den fall das a o b in B liegt und gut ist... hmm vielen Dank ich sag ja, das wird ein langes semester für mich
21.10.2006, 18:53	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das darf man annehmen. Allgemein bedeutet $\begin{eqnarray} z \in X \cup Y \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} z \in X \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} z \in Y \end{eqnarray}$ gilt (das "oder" ist hierbei inklusiv zu verstehen!). Gruß, therisen

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