affiner Raum =Vektorraum?

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26.02.2010, 12:14

Emmy

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affiner Raum =Vektorraum?

Ist ein affiner Raum eigentlich auch gleichzeitig ein Vektorraum?

26.02.2010, 12:18

Mazze

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Ist die 0 in einem affinen Raum vorhanden?

26.02.2010, 12:30

Emmy

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Ich würde Sagen ja , da er sich der affine Unterraum X aus W Teilmenge V + einem Vektor v Element V zusammensetzt. verwirrt

26.02.2010, 13:34

Mazze

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Ups, da hab ich was verwechselt. Ein Affiner Unterraum ist genau dann ein Vektorraum wenn die Null enthalten ist. Man kann affine Unterräume konstruieren die die 0 nicht enthalten und damit keine Vektorräume sind. Es gilt :

Jeder Vektorraum ist ein affiner Vektorraum.
Es gibt affine Vektorräume die keine Vektorräume sind.

Daher müsstest Du deine Frage schon präzisieren.

26.02.2010, 13:40

wisili

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Zitat:

Original von Mazze
Es gibt affine Vektorräume die keine Vektorräume sind.

Du meinst wohl: Es gibt affine Räume die keine Vektorräume sind.

26.02.2010, 13:44

Emmy

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Die Eigentlich Frage lautet , ob der Lösungsraum einer Linearen inhomogenen Differenzial Gleichung ein VR ist.
Was klar ist, ist das er ein Affiner Raum ist, welcher sich aus dem Lösungsraum der Homogenen Linearen Differenzialgleichung ( Deren Lösungen einen VR darstellen) und einer Speziellen Lösung der Inhomogenen Linearen Differenzialgleichung zusammensetzt.

Ich dachte mir dann wenn ich herausbekomme ob ein affiner Raum ein VR ist habe ich die Antwort auf die Frage Augenzwinkern

26.02.2010, 13:52

Mazze

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Zitat:

Die Eigentlich Frage lautet , ob der Lösungsraum einer Linearen inhomogenen Differenzial Gleichung ein VR ist.

Die Frage wäre mit nein zu beantworten. Betrachte die DGL

$\begin{eqnarray*} u - u' = f(x) ~ x \in M \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ der Lösungsraum. Damit $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum sein kann, muss mindestens $\begin{eqnarray*} u = 0 \end{eqnarray*}$ eine Lösung sein. Für welche $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0 \in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Du meinst wohl: Es gibt affine Räume die keine Vektorräume sind.

Danke für den Hinweis, es muss affiner Raum heissen.

26.02.2010, 13:53

wisili

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Wie Mazze darauf hinwies, kommt es auf die 0 (Nullfunktion) an: Gehört sie dazu oder nicht?
Eine inhomogene Differenzialgleichung hat nie die Nullfunktion als Lösung, also ist der (affine) Lösungsraum kein Vektorraum.
Edit: zu spät

26.02.2010, 13:55

Emmy

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Ah Danke ; smile

26.02.2010, 15:00

Leopold

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Ein affiner Raum

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A} = (\mathcal{V},\mathcal{P},\overrightarrow{(.)}) \end{eqnarray*}$

besteht aus einem Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathcal{V} \end{eqnarray*}$ über einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ (die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathcal{V} \end{eqnarray*}$ heißen Vektoren), einem Punktraum $\begin{eqnarray*} \mathcal{P} \end{eqnarray*}$ (die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathcal{P} \end{eqnarray*}$ heißen Punkte) und einer Abbildung

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{(.)}: \ \ \mathcal{P} \times \mathcal{P} \to \mathcal{V} \end{eqnarray*}$

die je zwei Punkten $\begin{eqnarray*} P,Q \end{eqnarray*}$ einen Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ zuordnet, so daß die folgenden Axiome erfüllt sind:

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ \overrightarrow{OP_1} = \overrightarrow{OP_2} \ \ \Rightarrow \ \ P_1 = P_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ \text{Zu jedem Punkt} \ O \ \text{und jedem Vektor} \ x \ \text{existiert genau ein Punkt} \ X \ \text{mit} \ \overrightarrow{OX} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(3)} \ \ \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR} \ \ \mbox{für alle Punkte} \ P,Q,R \end{eqnarray*}$

26.02.2010, 15:07

jester.

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Oder das alles in einem Satz zusammengefasst: Eine affiner Raum ist eine Menge, auf der ein Vektorraum regulär operiert. smile

26.02.2010, 15:47

wisili

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(1) Jeder Vektorraum ist in trivialer Weise ein affiner Raum über sich selbst.
(2) Die Lösungen einer linearen Diff.gleichung bilden einen affinen Raum.
Der Thread thematisierte die Frage, wann der Spezialfall (1) im Rahmen von (2) zutreffe.

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