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26.02.2010, 19:10

klausii

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Guten Abend allerseits!

Sei T: K^(IN) --> K^(IN), f --> Tf definiert durch
(Tf)(m) := f(m+1) für ein m aus IN.

Meine Frage ist nun, wie denn das Bild von T, also ImT, aussieht.

Meine Antwort dazu wäre:
ImT = {(f1), f(2), f(3), ....); f in K^(IN)}

Stimmt diese Lösung, bzw. gibt es nicht eine "kompaktere", "schönere" Schreibweise dafür?

Vielen Dank für die Antwort!

26.02.2010, 19:14

Mazze

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Überlege, ob es Folgen gibt, die nicht im Bild des Operators liegen.

26.02.2010, 19:50

klausii

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Ja, die gibt es schon - aber auf eine kürzere Form (bzw Schreibweise) bin ich bis jetzt noch nicht gekommen.

26.02.2010, 19:53

klausii

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ich checks einfach nicht!!

26.02.2010, 20:01

Mazze

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Eine Frage dazu :

Zitat:

(Tf)(m) := f(m+1) für ein m aus IN.

Heisst das , das alle anderen Folgenglieder nicht geändert werden, oder sollte es für alle m heissen?

26.02.2010, 20:14

klausii

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Tut mir Leid, falls ich mich nicht klar ausgedrückt habe - es sollte für alle heissen, also für m aus IN
(da ist ein "ein" zuviel, du hast recht)

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26.02.2010, 20:20

Mazze

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Ok, sei nun $\begin{eqnarray*} y = (y_1,y_2,...) \end{eqnarray*}$ eine entsprechende Folge. Wie müsste man eine Folge $\begin{eqnarray*} x = (x_1,x_2,...) \end{eqnarray*}$ definieren, damit

$\begin{eqnarray*} Tx = y \end{eqnarray*}$

gilt ?

26.02.2010, 20:53

klausii

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Hmm..das müsste dann $\begin{eqnarray*} x = (x_1-1, x_2-1, ...) \end{eqnarray*}$ sein, wobei ich nicht ganz sicher bin..

26.02.2010, 20:56

Mazze

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In Latex kann man mehre Zeichen tiefstellen in dem man sie in geschweifte Klammern setzt. (Abgesehen davon macht man sowieso alles in Latex damit ) , also :

$\begin{eqnarray*} x_{a + b} \end{eqnarray*}$ = x_{a + b}

Deine Definition von x macht aber trotzdem keinen Sinn. Irgendwo muss die Folge y ja schliesslich auftauchen.

26.02.2010, 22:12

klausii

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Ja schon, aber ich ich bin nicht ganz sicher, wo bzw. wie die y-Folge berücksichtigt werden muss:

$\begin{eqnarray*} x = (x_1(y_1), x_2(y_2), ...) \end{eqnarray*}$

27.02.2010, 08:42

Mazze

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} x_1(y_1) \end{eqnarray*}$ bedeuten? Das macht ja noch viel weniger Sinn.

27.02.2010, 15:22

klausii

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Hmm..leider sehe ich die "Kurzform" meiner Lösung nicht..tut mir leid..
Ich behalt sonst einfach meine Lösung.. =P

27.02.2010, 17:20

Mazze

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Wenn Du keine Lust hast weiter drüber nachzudenken. Deine Lösung ist zumindest falsch.

27.02.2010, 17:56

klausii

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Doch, Lust hab ich schon, nur fehlen mir leider die Ideen, wie ich denn bei meiner Suche vorgehen soll..

27.02.2010, 18:20

Mazze

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Wenn Du zur Folge $\begin{eqnarray*} y = (y_1,y_2,...) \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} x = (x_1,x_2,...) \end{eqnarray*}$ findest , so dass

$\begin{eqnarray*} Tx = y \end{eqnarray*}$

gilt, zeigst Du :

T ist Surjektiv, und daraus folgt $\begin{eqnarray*} Im(T) = \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

und mehr brauchst Du nicht.

27.02.2010, 23:56

klausii

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Angenommen, x sei $\begin{eqnarray*} {x_0, x_1, x_2, ...} \end{eqnarray*}$ eine unendliche Folge.
dann ist $\begin{eqnarray*} Tx = {x_1, x_2, x_3, ...} \end{eqnarray*}$ .
T ist also eine Surjektion --> $\begin{eqnarray*} Im(T) = \mathbb K^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$
Richtig so?

28.02.2010, 00:11

WebFritzi

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Jepp. Ist T auch eine Injektion?

28.02.2010, 00:20

klausii

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Nein, "wegen" x_0

Wäre es zusätzlich injektiv, so wäre T ja auch bijektiv, was es aber nicht ist.. smile

smile

28.02.2010, 00:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von klausii
Nein, "wegen" x_0

Freude

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