Basis

27.02.2010, 14:58	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Halloo! V sei ein IR-Vektorraum mit Basis (v_1, v_2, v_3) und (w_1, w_2, w_3) sei gegeben durch: w_1 = 2v_1 - v_2 - v_3 ; w_2 = v_1 + v_2 ; w_3 = 2v_2 + v_3. Meine Frage dazu wäre: Wie finde ich alle Vektoren in V, welche die gleichen Koordinaten bezüglich beider Basen haben? Besten Dank für den Tipp und die Hilfe!
27.02.2010, 15:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Wie lautet denn die Matrix des Basiswechsels? Welche speziellen Vektoren sucht man also?
27.02.2010, 15:10	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun das sind die Vektoren, deren Koordinatenvektor durch die Transformationsmatrix auf sich selbst abgebildet wird. Also $\begin{eqnarray} Fix ( T_{A,B}) \end{eqnarray}$ (wenn $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ die Basen sind).
27.02.2010, 15:43	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, dann sind dies: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also die Einheitsvektoren.
27.02.2010, 15:48	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn darauf
27.02.2010, 15:59	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm also muss ich die transponierte Matrix der Darstellungsmatrix (von v_i nach w_i) finden, oder wie?
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27.02.2010, 16:12	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast zwei Basen des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ gegeben. Sei $\begin{eqnarray} A: = (v_i)_{i \in I} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B: = (w_i)_{i \in I} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} I = {1,2,3} \end{eqnarray}$ die zwei Basen. Nun sind die Basiselemente von B durch LK´s von A gegeben. Trägst du die Koeffizienten dieser LK´s als Spalten in eine Matrix ein, so erhältst du $\begin{eqnarray} M_{B,A}(id) \end{eqnarray}$ , dies ist aber zugleich $\begin{eqnarray} T_{B,A} \end{eqnarray}$ . Nun betrachtest du einfach $\begin{eqnarray} Ker ( T_{B,A} - E_3) \end{eqnarray}$ .
27.02.2010, 16:44	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste das im Kern nicht ein -Zeichen sein? Also das heisst: $\begin{eqnarray} Ker( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = Ker(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \left\{ \begin{pmatrix} \lambda \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \lambda \in \mathbb R^n \right\} \end{eqnarray*}$ Stimmt das so?
03.03.2010, 00:34	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage: was ist denn eigentlich mit E_3 gemeint? Der dritte Einheitsvektor, also (0,0,1) ? Oder alle drei Einheitsvektoren? ..dass die Berechnung des Kerns falsch ist, habe ich eingesehen

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