Beweis der 1/x^n Funktion

27.02.2010, 18:34

Timoaz3

Beweis der 1/x^n Funktion

Könnte jemand den Beweis der 1/x^n Funktion ausführlich aufschreiben und erklären da ich ihn nicht verstehe.
Danke für die Hilfe

27.02.2010, 18:35

tigerbine

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RE: Beweis der 1/x^n Funktion
Könntest du bitte sinnvolle Fragen stellen. Was soll "der Beweis der Funktion" sein? unglücklich

27.02.2010, 19:06

Iorek

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Es bezeichnet $\begin{eqnarray*} x^n, \ x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ fest, die eindeutig bestimmte Zahl $\begin{eqnarray*} x^n=y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} f: ~ \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \ x\mapsto \frac 1{x^n} \end{eqnarray*}$ wohldefiniert.

Das wäre eine Möglichkeit die du meinen könntest, ich hab keine Lust die anderen 2 Möglichkeiten die mir auf Anhieb einfallen abzutippen (bei näherem Nachdenken finde ich bestimmt auch noch mehr).

27.02.2010, 19:47

Timoaz3

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Beweis der Ableitungsfunktion
Kann mir wer den Beweis bzw. den Rechenweg für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{n} } \end{eqnarray*}$ hier reinschreiben und erklären ?!
Danke

27.02.2010, 19:55

tigerbine

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RE: Beweis der Ableitungsfunktion
Frage vernünftig stellen heißt nicht, neues Thema aufmachen. Ferner liefern wir hier keine kompletten Beweise. Fang an und sag, wo es klemmt.

27.02.2010, 20:03

Timoaz3

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Es hängt generell am Beweis. Ich habe versucht die allgemeine Ableitungsregel der $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{n} } \end{eqnarray*}$ Funktion zubeweisen bzw. zurechnen mithilfe des Differentenquotienten. NUr habe ich ein anderes Ergebnis raus wie ich es im internet mehrfach gelesen habe und nirgends finde ich die Komplette Rechnung um den Fehler zufinden.

27.02.2010, 20:06

Iorek

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Kannst du $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ ableiten? Dann verwende $\begin{eqnarray*} \frac 1{x^n}=x^{-n} \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten wäre es natürlich hilfreich, wenn du uns deine bisherige Rechnung mitteilst, wir wissen auch nicht wo deine Fehler sind wenn du uns keine Rechnung präsentierst.

Edit: Und du musst auch nicht für jeden Post einen neuen Account erstellen, Timoaz reicht völlig aus, Timoaz2 bzw. Timoaz3 dürftest ja auch du sein und es ist unnötig immer unter einem neuen Account zu posten.

27.02.2010, 20:14

giles

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Ich denke nicht, dass es mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ allein geht. Die Ableitung davon wird i.A. mit Induktion+Produktregel bewiesen, gilt also nicht für -n.
Allerdings kann man zusammen mit der Quotientenregel dann auch beweisen, dass es auch für ganzzahlige Exponenten gilt.

28.02.2010, 00:23

Timoaz3

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$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x^{n}+h} -\frac{1}{x^{n} }}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x^{n}-\left(x^{n}+h\right) }{x^{n}\left(x^{n}+h\right)} }{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{-h}{x^{n}\left(x^{n}+h\right)} }{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{-h}{hx^{n}\left(x^{n}+h\right) } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{x^{n}\left(x^{n}+h\right) } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{x^{2n} +x^{n}h} \end{eqnarray*}$

für h gegen 0
= $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{x^{2n}} \end{eqnarray*}$

so das ist das was ich gerechnet hab und im internet hab ich diese lösung gefunden:
$\begin{eqnarray*} -nx^{-n-1} \end{eqnarray*}$

28.02.2010, 01:59

giles

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Deine Herleitung ist leider für die falsche Funktion. Du hast hier sehr richtig die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ hergeleitet:
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{x})'=\lim_{h\to 0} \frac{\frac{1}{x+h} -\frac{1}{x }}{h} =-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$
(vergleich das mal mit deiner Rechnung!)

Die Ableitung die du suchst, ist aber durchaus schlimmer:
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{x^n})'=\lim_{h\to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^{n}} -\frac{1}{x^{n} }}{h} \end{eqnarray*}$

Allerdings war das nicht ganz umsonst, denn du kannst das jetzt benutzen:
Wenn du die Kettenregel verwenden darfst, so kannst du deine hergeleitete Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ sowie die (bekannte?) Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=x^n \end{eqnarray*}$ nehmen und die Ableitung der Verkettung $\begin{eqnarray*} (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^n} \end{eqnarray*}$ berechnen!

28.02.2010, 13:48

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Timoaz3
Es hängt generell am Beweis. Ich habe versucht die allgemeine Ableitungsregel der $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{n} } \end{eqnarray*}$ Funktion zubeweisen bzw. zurechnen mithilfe des Differentenquotienten. NUr habe ich ein anderes Ergebnis raus wie ich es im internet mehrfach gelesen habe und nirgends finde ich die Komplette Rechnung um den Fehler zufinden.

Beachte:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\frac 1{x_0^nx^n}\frac{x_0^n-x^n}{x_0-x}=-\frac 1{x_0^nx^n}\sum_{k=0}^{n-1}x_0^{n-1-k}x^k \end{eqnarray*}$

28.02.2010, 14:36

Timoaz3

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Die Kettenregel hab ich leider noch nicht gelernt.

So habe mich jetzt mal versucht un hänge bei folgender Stelle:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{h}\frac{x^{n}-\left(x+h\right)^n }{\left(x+h\right)^n x^{n} } \end{eqnarray*}$

Wie löse ich jetzt weiter auf ?!

28.02.2010, 14:56

giles

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Wenn du die Formulierung $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ benutzt, kannst du Kühlkistes hervorragenden Tipp verwenden.

28.02.2010, 15:10

Timoaz3

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Hab ich gemacht und gerechnet:
$\begin{eqnarray*} \left(x^{-n}-x_0^{-n} \right):\left(x-x_0\right) \end{eqnarray*}$

UNd wenn ich dann x gegen x0 laufen lassen bekomm ich:
$\begin{eqnarray*} {x_0^{-n-1} +x_0^{-n-1}+...+x_0^{-n-1}} = -nx_0^{-n-1} \end{eqnarray*}$
UNd das müsstes doch dann sien oder ?

28.02.2010, 20:57

Timoaz3

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Wenn mein Ergebnis stimmt ist nur noch die Frage wie komme ich dann von $\begin{eqnarray*} -nx^{-n-1} \end{eqnarray*}$ auf die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ die dann ja $\begin{eqnarray*} -2x^{-2-1} \end{eqnarray*}$ wäre.
Ist das dann daselbe wie $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{x^{3} } \end{eqnarray*}$ ?

28.02.2010, 21:31

giles

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Zitat:

Original von Timoaz3
Wenn mein Ergebnis stimmt ist nur noch die Frage wie komme ich dann von $\begin{eqnarray*} -nx^{-n-1} \end{eqnarray*}$ auf die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ die dann ja $\begin{eqnarray*} -2x^{-2-1} \end{eqnarray*}$ wäre.
Ist das dann daselbe wie $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{x^{3} } \end{eqnarray*}$ ?

Das kommt ganz darauf an. Ist denn $\begin{eqnarray*} 2+1=3 \end{eqnarray*}$ ?

01.03.2010, 16:24

Timoaz3

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So meine Rechnung bzw. der Beweis den ich als letztes gepostet habe ist falsch, da $\begin{eqnarray*} x^{-n} \end{eqnarray*}$ kein Polynom ist und ich somit keine Polynomdivision machen kann. Nun ist die Frage wie ich die Formel die giles aufgestellt hat: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{x^n})'=\lim_{h\to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^{n}} -\frac{1}{x^{n} }}{h} \end{eqnarray*}$

auflöse da $\begin{eqnarray*} \left(x+h\right)^n \end{eqnarray*}$ ja eine unendliche Formel ist die dann aber für h gegen 0 irgendein Ergebnis haben muss auf welches ich aber nicht komme, da das ganze ziemlich kompliziert ist.

01.03.2010, 20:25

Timoaz3

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Könnte mir nicht einfach mal jemand den kompletten Beweis für die Ableitungsformel der $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{n}} \end{eqnarray*}$ Formel hier reinschreiben ?

01.03.2010, 22:23

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Timoaz3
So meine Rechnung bzw. der Beweis den ich als letztes gepostet habe ist falsch, da $\begin{eqnarray*} x^{-n} \end{eqnarray*}$ kein Polynom ist und ich somit keine Polynomdivision machen kann.

Wer hat Dir denn diesen Unsinn eingeredet?

02.03.2010, 07:57

Timoaz3

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Mein Nachhilfelehrer verwirrt

. Er meinte ich kann da keine Polynomdivison machen, da ein Polynom keine negative Hochzahl hat oder sowas in der Art hat er gesagt.
Deshalb bin ich dabei diesen Käse jetzt mit der Quotientenregel zu Beweisen was sich für mich auch nicht für viel einfacher darstellt.

02.03.2010, 10:39

Iorek

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Wo ist denn das Problem bei der Quotientenregel?

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left(g(x)\right)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac 1{x^n}\right]' \end{eqnarray*}$ ist dann also damit?

02.03.2010, 10:47

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Timoaz3
Mein Nachhilfelehrer verwirrt

Das muss ich wohl nicht verstehen - vor allem weil Du die Aufgabe ja schon gelöst hattest. verwirrt

Zur Ehrenrettung Deines Nachhilfelehrers will ich mal davon ausgehen, dass Du seine Ausführungen hier nicht korrekt wiedergegeben hast...

Also nochmal zur Klärung. Es gibt mehr als eine Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen:

Entweder Du beweist direkt über die Definition der Ableitung (was Du ja schon gemacht hast), dass für $\begin{eqnarray*} f(x):=\frac 1{x^n} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{-n}{x_0^{n+1}}. \end{eqnarray*}$

Oder Du behauptest einfach ganz frech, dass:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-n}{x^{n+1}} \end{eqnarray*}$

und beweist das dann per Induktion über n.

Im Induktionsschritt betrachtest Du dann:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac 1{x^{n+1}}\right)'=\left( \frac 1x\cdot\frac 1{x^n} \right)'=\ldots. \end{eqnarray*}$

Mit Produktregel und Induktionsvoraussetzung bist Du dann auch schnell fertig.

02.03.2010, 11:10

Armada

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@ Kühlkiste

Polynomfunktionen sind ganzrationale Funktionen. Die Variable hat dabei keine negativen ganzen Exponenten.
Hier geht es doch wohl um einen spez.gebrochenratinalen F-term.

02.03.2010, 13:28

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Armada
@ Kühlkiste

Polynomfunktionen sind ganzrationale Funktionen. Die Variable hat dabei keine negativen ganzen Exponenten.
Hier geht es doch wohl um einen spez.gebrochenratinalen F-term.

Ja, und?

Also jetzt mal ganz ausführlich.

Zunächst gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac 1{x^n}-\frac 1{x_0^n}}{x-x_0}=-\frac 1{x^nx_0^n}\cdot\frac{x_0^n-x^n}{x_0-x}. \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du entweder $\begin{eqnarray*} \frac{x_0^n-x^n}{x_0-x} \end{eqnarray*}$ als Differenzenquotienten von $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ entlarven und direkt folgern, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{x_0^n-x^n}{x_0-x}=nx_0^{n-1}. \end{eqnarray*}$

Oder Du machst die Grenzwertbetrachtung mittels:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_0^n-x^n}{x_0-x}=\sum_{k=0}^{n-1}x_0^{n-1-k}x^k, \end{eqnarray*}$

wie bereits geschehen.

Ich sehe da keinen Zusammenhang mit Deinem Einwand oben.

02.03.2010, 17:57

Timoaz3

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Mh thx für die Antworten jetzt müsst es eig klappen.
Um nochmal auf meinen Nachhilfelehrer zukomm, er meinte das ich keine PD machen kann da x^-n kein Polynom sei wenn ich mich recht erinnere.

Jedenfalls glaub ich das ich den Beweis jetzt verstanden habe und falls ich doch noch Fragen hab meld ich mich mal wieder XD.

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