Funktionsbestimmung Bedingungen

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28.02.2010, 18:51	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsbestimmung Bedingungen Halli Hallo ich habe ein gaaanz gewaltiges Problem mit den Bedingungen der Funktionsbestimmung. Da wir morgen eine Mathearbeit schreiben, ist dieses Forum hier meine Letzte Rettung. Mein Problem ist, dass ich nur mit sehr großer Mühe die Bedingungen für eine Funktionsbestimmung aus der gegebenen Aufgabe ablesen und umsetzen kann. Hier ist ein Beispiel: Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei x0 = 0 und einen Wendepunkt bei xw = 1. Die Gleichung der Wendetangente lautet f2(x) = -9x+1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f1(x). Die gegebenen Bedingungen sind hier eigentlich völlig klar, aber ich weiß einfach nicht wirklich etwas damit anzufangen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen, damit die Arbeit morgen kein Desaster wird. Vielen Dank schon mal und liebe Grüße Lari
28.02.2010, 18:52	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du denn, wie du allgemein bei so einer Aufgabe vorgehen musst? Schreib doch mal auf, wie weit du bisher kommst, dann gucken wir für die weiteren Schritte mal zusammen da drüber
28.02.2010, 19:02	Larri	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsbestimmung Bedingungen vielen Dank für die Hilfe =D also zuerst muss man ja den Grad bestimmen, die Ableitungen machen und dann die Bedingungen suchen. Bei den Bedingungen scheitert es meistens. Hier erkenne ich jetzt aus Anhieb, dass diese Funktion eine Nullstelle bei x0 = 0 hat. Da hatten wir in der Schule, dass es der Punkt (0\|0) ist. Wie man darauf kommt weiß ich jetzt aber auch nicht genau. Der Wendepunkt bei xw=1 sagt mir, dass man die 2. Ableitung =0 setzen muss. Mit der Tangente kann ich allerdings gar nichts anfangen irgendwie. =/
28.02.2010, 19:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, bis hier hin ist ja schonmal viel richtiges dabei Du hast ja eine Nullstelle, wenn der Graph die x-Achse schneidet, also wenn der Funktionswert an dieser Stelle 0 ist, also haben wir für die y-Koordinate schonmal eine 0. Wenn das ganze jetzt an der Stelle x=0 ist, ist also auch die x-Koordinate 0. Insgesamt also ist es der Punkt (0\|0) Welchen Grad hat denn die Funktion, das sollten wir noch klären bevor wir ans rechnen gehen.
28.02.2010, 19:12	[email protected]	Auf diesen Beitrag antworten »
also das müsste eine Funktion 3. Grades sein, wegen dem Polynom 3. Grades, wie es in der Aufgabe angegeben ist. oder? =)
28.02.2010, 19:18	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Lesen hilft...es steht in der Aufgabe Nagut, also haben wir eine Funktion dritten Grades, wie lautet denn dazu die allgemeine Funktionsgleichung?
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28.02.2010, 19:20	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
ax^3+bx^2+cx+d (p.s.: ich habe es jetzt auch endlich geschafft mich anzumelden ohne, dass ständig mein Username wechselt xD)
28.02.2010, 19:35	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schonmal ein guter Schritt Ok, jetzt haben wir die Funktionsgleichung, konzentrieren wir uns erstmal auf die erste Bedingung. Wir wissen dass der Punkt P(0\|0) auf dem Graphen liegt, was können wir daraus machen?
28.02.2010, 19:39	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
da das ja eine Bedingung ist und wir einen x- und einen y- Wert haben könnte man da für das x überall in der Funktionsgleichung 0 einsetzen. Also kommt da dann d=0 raus..
28.02.2010, 19:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt genau Damit haben wir schon eine Variable Als nächstes brauchen wir die erste und die zweite Ableitung der Funktion, die da lauten...?
28.02.2010, 19:44	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
die müssten lauten: f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b
28.02.2010, 19:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau. Jetzt haben wir bei x=1 einen Wendepunkt. Was muss denn erfült sein, damit es ein Wendepunkt ist?
28.02.2010, 19:54	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
ääähm ich weiß jetzt nicht ganz genau was du mit erfüllt meinst, aber man kann doch den x-Wert von dem Wendepunkt, in dem Fall 1, in die Funktionsgleichung einsetzen und dann bekommt man den y-Wert raus, oder? Obwohl, das ist unlogisch und funzt irgendwie nicht^^ Achja und die 2. Ableitung muss = 0 gesetzt werden, wenn ich mich nicht irre.
28.02.2010, 19:55	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der 2. Ableitung meine ich. Die 2. Ableitung muss 0 sein damit es ein Wendepunkt ist, wie können wir das jetzt als Bedingung nutzen?
28.02.2010, 20:00	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
okay... da fängt es jetzt schon an mit der Ahnungslosigkeit... also man setzt ja die 2. Ableitung gleich 0 und irgendwie muss man ja versuchen da den Wert einer Variablen raus zu bekommen. Aber wie... keine Ahnung. Vllt indem man den gegebenen x-Wert, also 1, einsetzt?
28.02.2010, 20:00	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der richtige Weg Bei x=1 ist ein Wendepunkt, also muss $\begin{eqnarray} f''(1)=0 \end{eqnarray}$ sein
28.02.2010, 20:06	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
okay und wie komme ich dann auf den richtigen Wert? ich habe ja dann noch 2 Variablen weil ich für das x 1 eingesetzt habe. Mit Raten?
28.02.2010, 20:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist schon richtig dass da noch 2 Variablen stehen. Was bekommst du denn raus? Jetzt kümmern wir uns um die nächste Bedingung, die Gleichung der Wendetangente ist angegeben, also können wir damit etwas über die Steigung in diesem Punkt sagen. Kann es außerdem sein, dass du eine Angabe vergessen hast hinzuschreiben?
28.02.2010, 20:13	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du in der Aufgabe? Nein, ich habe alle hingeschrieben, finde aber auch nicht alle Bedingungen für eine Funktion 3. Grades. Da brauch man doch 4 für, oder? Mit den Variablen komme ich nicht weiter... ich weiß nicht wie ich eine Variable da weg bekomme, so dass ich eine Lösung habe. Die Steigung der Tangente ist -9, also ist die 1. Ableitung -9.
28.02.2010, 20:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst noch keine Variable wegbekommen, wir müssen da erst einmal 2 Variablen stehen lassen, das ist aber richtig so Was bekommst du denn für raus, wenn du $\begin{eqnarray} f''(1)=0 \end{eqnarray}$ einsetzt und berechnest? Die 1. Ableitung ist dann -9, stimmt genau Jetzt machen wir hier das gleiche wie eben mit dem Wendepunkt, bei x=1 ist die Steigung -9. Genau, um das eindeutig lösen zu können braucht man 4 Bedingungen. Steht da vielleicht noch etwas über die Symmetrie?
28.02.2010, 20:22	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich für f''(1)=0 einsetze sind das 0 = 6a+2b oder? Bei der Tangente stehe ich noch ein bisschen auf dem Schlauch. Man hat ja dann -9, was genau muss ich damit jetzt machen? Ansonsten steht nichts mehr in der Aufgabenstellung. Ich habe die Aufgabe genauso abgeschrieben, wie wir sie bekommen haben. =/
28.02.2010, 20:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann müssen wir wohl damit auskommen. Die erste Ableitung an dieser Stelle ist -9, also bekommen wir daraus dann $\begin{eqnarray} f'(1)=-9 \end{eqnarray}$
28.02.2010, 20:28	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
okay.. ist eigentlich logisch weil die Steigung ja die erste Ableitung ist. Aber mein Problem ist, dass ich nichts damit anzufangen weiß. Was muss ich denn dann mit diesen -9 machen?
28.02.2010, 20:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gleiche wie mit der 0 beim Wendepunkt Die Steigung ist -9, also MUSS zwingenderweise die Ableitung an dieser Stelle -9 sein. Daraus kann man dann $\begin{eqnarray} f'(1)=-9 \end{eqnarray}$ bekommen, und jetzt machen wir das gleiche wie eben beim Wendepunkt, wir setzen x=1 ein und bekommen eine Gleichung mit Variablen
28.02.2010, 20:33	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich dann x = 1 in f'(1) einsetze muss ich die -9 ja erstmal nicht berücksichtigen, oder? ich bekomme dann f'(1) = 3a+2b+c raus..
28.02.2010, 20:38	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und das können wir jetzt gleich -9 setzen, dann bekommen wir $\begin{eqnarray} 3a+2b+c=-9 \end{eqnarray}$ raus. Wenn wir jetzt keine weiteren Angaben mehr haben, müssen wir damit weiter arbeiten. Wir haben jetzt zwei Gleichungen; $\begin{eqnarray} 3a+2b+c=-9 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 6a+2b=0 \end{eqnarray}$ . Du hast doch bestimmt schon einmal ein Gleichungssystem gelöst, oder?
28.02.2010, 20:48	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
jaa, habe ich, meistens aber eher weniger erfolgreich^^ also ich würde jetzt: 6a+2b=0\|*(-1) -6a-2b=0 und das dann mit der anderen Gleichung addieren. das sind dann -3a+c = 9 aber dann sind da immer noch 2 Variablen und ich komme auf keine andere Lösung.
28.02.2010, 20:59	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann machen wir das mal. Das Problem hierbei ist, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist, d.h. wir haben mehr Variablen als Gleichungen. Also können wir keine eindeutige Lösung bekommen. Also müssen wir einen Parameter einfügen. Wir haben die beiden Gleichungen: $\begin{eqnarray} 6a+2b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3a+2b+c=-9 \end{eqnarray}$ Und du hast ja schon selbst gesagt, dass wir das nicht auflösen können, also wählen wir uns einen Parameter, z.B. für c. Wir wählen uns jetzt einfach: $\begin{eqnarray} c=t \end{eqnarray}$ , dabei ist das $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ einfach irgendeine, reelle Zahl. Damit haben wir jetzt 3 Gleichungen und können ganz normal auflösen, mit dem Unterschied, dass wir hinten im Ergebnis ein t stehen haben werden. $\begin{eqnarray} 6a+2b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3a+2b+c=-9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=t \end{eqnarray}$
28.02.2010, 21:11	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
c = t \|(-1) -c = -t -> 3a+2b+c=-9 + -c=-t 3a+2b=-9-t\|(-1) -3a-2b=9+t + 6a+2b=0 3a = 0 a=0 6*0+2b=0 b=0 c=t das bekomme ich raus aber irgendwas kann da ja nicht stimmen wenn ich überall 0 raus habe^^
28.02.2010, 21:17	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Überall 0 kann auch nicht rauskommen. $\begin{eqnarray} 6a+2b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3a+2b+c=-9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=t \end{eqnarray}$ Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit (-1) und addieren sie auf die zweite, dann bekommen wir: $\begin{eqnarray} 6a+2b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3a+2b=-9-t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=t \end{eqnarray}$ Jetzt multiplizieren wir die zweite Gleichung mit (-1) und addieren sie auf die erste, dann entfernen wir das b in der ersten Gleichung: $\begin{eqnarray} 3a=9+t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3a+2b=-9-t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=t \end{eqnarray}$ Damit können wir jetzt a ausrechnen und in die zweite Gleichung einsetzen um das b zu bestimmen.
28.02.2010, 21:23	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
kommt bei der ersten Gleichung dann a=3+t raus? mich verwirrt dieses t, da komme ich irgendwie nicht mit klar
28.02.2010, 21:26	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das t ist einfach eine Zahl Um a zu bestimmen musst du durch 3 teilen: $\begin{eqnarray} a=3+\frac t3 \end{eqnarray}$
28.02.2010, 21:31	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann habe ich für b = -13,5 - t/2 - t/3 raus..
28.02.2010, 21:33	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, da stimmt etwas nicht. $\begin{eqnarray} a=3+\frac t3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3a+2b=-9-t \end{eqnarray}$ Setzen wir da den Wert für a ein, kommt etwas anderes raus, rechne das am besten nochmal nach.
28.02.2010, 21:36	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme nicht drauf, tut mir leid :$
28.02.2010, 21:37	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a=3+\frac t3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3(3+\frac t3)+2b=-9-t \end{eqnarray}$ Gehts jetzt?
28.02.2010, 21:39	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
aaaah jetzt habe ich b = -9 -t ich bin verwirrt^^
28.02.2010, 21:40	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt aber Und jetzt sind wir fertig, wir haben a,b und c bestimmt, also können wir das in die Funktionsgleichung einsetzen
28.02.2010, 21:47	Lari	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, also: f(x) = 3+t/3x³ - 9-tx² + tx vielen Dank für deine Hilfe und vor allem deine Geduld... jetzt ist es alles etwas klarer =D
28.02.2010, 21:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nana, richtig die Klammern setzen. $\begin{eqnarray} f_t(x)=(3+t)/3x^3+(-9-t)x^2+tx=\frac{3+t}3 x^3+\frac{-9-t}x^2+tx \end{eqnarray}$

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